Номер 431, страница 85 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Целые числа. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 431, страница 85.

Условие.

431. Приехав в город, Ходжа Насреддин постучал в ворота первого дома и попросил хозяина пустить его переночевать. Денег у Насреддина не было, но была золотая цепочка из семи звеньев. Хозяин согласился приютить путника на семь дней с такими условиями:

1) за один день Насреддин платит одним звеном цепочки;

2) расплачиваться он должен ежедневно;

3) хозяин соглашался принять не более одного распиленного звена.

Смог ли Ходжа Насреддин расплатиться с хозяином?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Да, Ходжа Насреддин смог расплатиться с хозяином, проявив смекалку. Для этого ему нужно было сделать всего один распил, но в правильном месте.

Ключ к решению — создать с помощью одного распила такие части цепочки, комбинациями которых можно оплатить любую сумму от 1 до 7. Это похоже на двоичную систему счисления, где числа составляются из степеней двойки ($1, 2, 4, 8, ...$). Чтобы получить возможность составлять числа от 1 до 7 ($1+2+4=7$), Насреддину нужно было получить части цепочки размером в 1, 2 и 4 звена.

Для этого он должен был распилить третье звено. В результате он получил:

• Одно отдельное, распиленное звено (это и есть то единственное распиленное звено, которое согласен принять хозяин).
• Отрезок из двух нетронутых звеньев (первое и второе).
• Отрезок из четырех нетронутых звеньев (с четвертого по седьмое).

Далее расчет происходил следующим образом:

День 1: Насреддин отдает хозяину одно распиленное звено. Хозяин имеет 1 звено.

День 2: Насреддин забирает у хозяина распиленное звено и взамен отдает отрезок из двух звеньев. Хозяин имеет 2 звена.

День 3: Насреддин отдает хозяину распиленное звено (которое он получил обратно днем ранее). Теперь у хозяина отрезок из двух звеньев и одно отдельное звено. Всего 3 звена.

День 4: Насреддин забирает у хозяина все, что дал ему ранее (отрезок из 2-х и отдельное звено), и взамен отдает самый большой отрезок из четырех звеньев. Хозяин имеет 4 звена.

День 5: Насреддин отдает хозяину отдельное распиленное звено. Теперь у хозяина отрезок из четырех звеньев и одно отдельное звено. Всего 5 звеньев.

День 6: Насреддин забирает у хозяина отдельное звено и отдает ему отрезок из двух звеньев. Теперь у хозяина отрезки из четырех и двух звеньев. Всего 6 звеньев.

День 7: Насреддин отдает хозяину последнее, что у него осталось — отдельное распиленное звено. У хозяина оказываются все три части: отрезок из 4-х, отрезок из 2-х и одно отдельное звено. Всего 7 звеньев.

Таким образом, все условия были соблюдены: оплата производилась ежедневно, и хозяину было передано только одно распиленное звено.

Ответ: Да, смог. Для этого ему нужно было распилить третье звено цепочки, разделив ее на три части: из одного, двух и четырех звеньев.