Номер 428, страница 85 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Целые числа. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 428, страница 85.

Условие.

428. Решите предыдущую задачу для:

а) четырёх мешков;

б) пяти мешков;

в) десяти мешков.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения этой задачи, которая является классической головоломкой, используется метод, позволяющий определить мешок с фальшивыми монетами за одно взвешивание на точных весах. Условие "предыдущей задачи" обычно подразумевает, что известен вес настоящей монеты, вес фальшивой, и в одном из мешков все монеты фальшивые.

Общий алгоритм решения таков:

1. Пронумеровать все мешки от 1 до $N$, где $N$ - общее количество мешков.
2. Взять из мешка с номером $k$ ровно $k$ монет (из мешка №1 - 1 монету, из мешка №2 - 2 монеты и так далее до мешка №$N$).
3. Взвесить все взятые монеты вместе.
4. Рассчитать ожидаемый (эталонный) вес, который получился бы, если бы все монеты были настоящими.
5. Сравнить фактический вес с эталонным. Разница в весе укажет на номер мешка с фальшивыми монетами.

Пусть вес настоящей монеты равен $W_{н}$, а фальшивой — $W_{ф}$. Предположим, что фальшивые монеты легче, то есть $W_{н} > W_{ф}$. Разница в весе одной монеты составляет $\Delta w = W_{н} - W_{ф}$. Если фальшивые монеты находятся в мешке с номером $k$, то в нашей пробе будет ровно $k$ фальшивых монет. Общая недостача веса по сравнению с эталоном составит $k \times \Delta w$. Таким образом, номер искомого мешка можно найти по формуле: $k = \frac{W_{эталон} - W_{факт}}{\Delta w}$.

а) четырёх мешков

1. Пронумеруем мешки от 1 до 4.

2. Возьмём 1 монету из мешка №1, 2 монеты из мешка №2, 3 монеты из мешка №3 и 4 монеты из мешка №4.

3. Общее количество монет для взвешивания: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ монет.

4. Для наглядности предположим, что вес настоящей монеты $W_{н} = 10$ г, а фальшивой $W_{ф} = 9$ г. Тогда разница в весе одной монеты $\Delta w = 10 - 9 = 1$ г.

5. Эталонный вес 10 настоящих монет составил бы: $W_{эталон} = 10 \times 10 = 100$ г.

6. Взвешиваем все 10 монет и получаем фактический вес $W_{факт}$.

7. Номер мешка с фальшивыми монетами $k$ определяется по недостаче веса. Так как $\Delta w = 1$ г, то $k = 100 - W_{факт}$.

• Если $W_{факт} = 99$ г, недостача составляет 1 г. Фальшивые монеты в мешке №1.
• Если $W_{факт} = 98$ г, недостача составляет 2 г. Фальшивые монеты в мешке №2.
• Если $W_{факт} = 97$ г, недостача составляет 3 г. Фальшивые монеты в мешке №3.
• Если $W_{факт} = 96$ г, недостача составляет 4 г. Фальшивые монеты в мешке №4.

Ответ: Нужно пронумеровать мешки от 1 до 4, взять из каждого мешка количество монет, соответствующее его номеру, и взвесить их все вместе. Разделив разницу между эталонным и фактическим весом на разницу в весе одной монеты, мы получим номер мешка с фальшивыми монетами.

б) пяти мешков

1. Пронумеруем мешки от 1 до 5.

2. Возьмём из мешка №1 одну монету, из №2 - две, и так далее до мешка №5, из которого возьмём пять монет.

3. Общее количество монет для взвешивания: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ монет.

4. При тех же условиях ($W_{н} = 10$ г, $W_{ф} = 9$ г, $\Delta w = 1$ г), эталонный вес 15 настоящих монет будет: $W_{эталон} = 15 \times 10 = 150$ г.

5. Взвешиваем монеты и находим недостачу веса $D = 150 - W_{факт}$. Номер мешка с фальшивками $k = D$.

Например, если фактический вес $W_{факт} = 146$ г, то недостача веса $D = 150 - 146 = 4$ г. Следовательно, фальшивые монеты находятся в мешке №4.

Ответ: Необходимо пронумеровать мешки от 1 до 5, взять из каждого мешка количество монет, соответствующее его номеру, и взвесить их все вместе. Если разница в весе монет составляет 1 г, то разница в граммах между эталонным (150 г) и фактическим весом укажет на номер мешка с фальшивыми монетами.

в) десяти мешков

1. Пронумеруем мешки от 1 до 10.

2. Возьмём из каждого мешка $k$ количество монет, где $k$ - номер мешка.

3. Общее количество монет для взвешивания равно сумме арифметической прогрессии: $S_{10} = \sum_{i=1}^{10} i = \frac{10(10+1)}{2} = 55$ монет.

4. При тех же условиях ($W_{н} = 10$ г, $W_{ф} = 9$ г, $\Delta w = 1$ г), эталонный вес 55 настоящих монет составит: $W_{эталон} = 55 \times 10 = 550$ г.

5. Взвесив все монеты, получим $W_{факт}$. Номер мешка с фальшивками $k$ найдем по формуле: $k = \frac{550 - W_{факт}}{1}$.

Например, если фактический вес окажется 543 г, то недостача составит $550 - 543 = 7$ г. Это означает, что в нашей пробе 7 фальшивых монет, которые были взяты из мешка №7.

Ответ: Необходимо пронумеровать мешки от 1 до 10, взять из каждого мешка количество монет, равное его номеру (всего 55 монет), и взвесить их все вместе. Номер мешка с фальшивыми монетами будет равен разнице между ожидаемым весом (если бы все монеты были настоящими) и фактическим весом, делённой на разницу в весе одной монеты.