Номер 434, страница 86 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Целые числа. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 434, страница 86.

Условие.

434. Задачи С. А. Рачинского.

а) В будущем (1892) году думаю провести в Петербурге столько минут, сколько часов проведу в деревне. Сколько времени я проведу в Петербурге? (Время на переезды не учитывается.)

б) У меня пять детей. Дал я им пряников поровну. Трое из них съели по 5 пряников, и тогда у всех троих осталось столько пряников, сколько у двух остальных. Сколько всех пряников роздано?

в) От Москвы до Тамбова 450 вёрст. Выехали одновременно навстречу друг другу из Москвы почтовый, а из Тамбова товарный поезд. Второй мог бы пройти весь путь за 18 ч, а первый вдвое быстрее. Через сколько часов они встретятся?

г) Дочь ткёт по 3 аршина в день, 4 дня она ткала одна, но затем стала ткать и мать, которая ткёт по 5 аршинов в день. Когда их ткань стала поровну, они прекратили работу. Сколько соткали они вдвоём?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Пусть $T_p$ — время, проведённое в Петербурге в минутах, а $T_d$ — время, проведённое в деревне в часах. По условию задачи, $T_p = T_d$. Действие происходит в 1892 году, который является високосным, следовательно, в нём 366 дней. Общее время в году составляет $366 \text{ дней} \times 24 \frac{\text{часа}}{\text{день}} = 8784$ часа. Время, проведённое в Петербурге, можно выразить в часах как $\frac{T_p}{60}$. Суммарное время, проведённое в Петербурге и в деревне, равно общему времени в году: $\frac{T_p}{60} \text{ (часов в Петербурге)} + T_d \text{ (часов в деревне)} = 8784 \text{ часа}$. Так как $T_p = T_d$, заменим $T_d$ на $T_p$ в уравнении: $\frac{T_p}{60} + T_p = 8784$ Приведём к общему знаменателю: $\frac{T_p + 60T_p}{60} = 8784$ $\frac{61T_p}{60} = 8784$ $T_p = \frac{8784 \times 60}{61}$ $T_p = 144 \times 60 = 8640$ минут. Это время, проведённое в Петербурге. Для наглядности переведём его в дни: $8640 \text{ минут} \div 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 144$ часа. $144 \text{ часа} \div 24 \frac{\text{часа}}{\text{день}} = 6$ дней. Ответ: 6 дней.

б) Пусть $x$ — количество пряников, которое получил каждый из пяти детей. Трое детей съели по 5 пряников, у каждого из них осталось по $(x - 5)$ пряников. Суммарно у этих троих осталось $3 \times (x - 5)$ пряников. У двух других детей осталось по $x$ пряников, что в сумме составляет $2x$. По условию, количество оставшихся у троих пряников равно количеству пряников у двух других: $3(x - 5) = 2x$ $3x - 15 = 2x$ $3x - 2x = 15$ $x = 15$. Каждый ребёнок получил по 15 пряников. Всего было роздано: $5 \text{ детей} \times 15 \frac{\text{пряников}}{\text{ребёнок}} = 75$ пряников. Ответ: 75 пряников.

в) Расстояние между Москвой и Тамбовом $S = 450$ вёрст. Пусть $v_1$ — скорость почтового поезда, а $v_2$ — скорость товарного. Товарный поезд (второй) проходит весь путь за 18 часов. Его скорость: $v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{450}{18} = 25$ вёрст/ч. Почтовый поезд (первый) вдвое быстрее, значит его скорость: $v_1 = 2 \times v_2 = 2 \times 25 = 50$ вёрст/ч. Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = v_1 + v_2 = 50 + 25 = 75$ вёрст/ч. Время до встречи находится делением расстояния на скорость сближения: $t_{встречи} = \frac{S}{v_{сближения}} = \frac{450}{75} = 6$ часов. Ответ: 6 часов.

г) Скорость работы дочери — 3 аршина в день. Скорость работы матери — 5 аршинов в день. За первые 4 дня дочь, работая одна, соткала: $4 \text{ дня} \times 3 \frac{\text{аршина}}{\text{день}} = 12$ аршин. После этого к ней присоединилась мать. Пусть $t$ — количество дней, которые они работали вместе. За это время дочь соткала ещё $3t$ аршин, и общее количество её ткани стало $12 + 3t$. Мать за это же время соткала $5t$ аршин. Они прекратили работу, когда количество их ткани стало поровну: $12 + 3t = 5t$ $12 = 5t - 3t$ $12 = 2t$ $t = 6$ дней. Они работали вместе 6 дней. Вопрос "Сколько соткали они вдвоём?" означает общее количество ткани, произведённое обеими к моменту остановки. Количество ткани у дочери: $12 + 3 \times 6 = 12 + 18 = 30$ аршин. Количество ткани у матери: $5 \times 6 = 30$ аршин. Общее количество сотканой ткани: $30 + 30 = 60$ аршин. Ответ: 60 аршин.