Номер 430, страница 85 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Целые числа. Дополнения к главе 2. Занимательные задачи - номер 430, страница 85.

Условие.

430. Решите предыдущую задачу для пяти пилоток — двух синих и трёх красных и трёх учащихся. Какие случаи следует рассмотреть?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для того чтобы найти общее количество способов распределить 2 синие и 3 красные пилотки между 3 учащимися, задачу следует разбить на два независимых этапа: распределение пилоток синего цвета и распределение пилоток красного цвета. Общее число способов будет равно произведению числа способов на каждом этапе.

Сначала найдем количество способов распределить 2 одинаковые синие пилотки между 3 различными учащимися. Эта задача эквивалентна нахождению числа неотрицательных целочисленных решений уравнения $x_1 + x_2 + x_3 = 2$, где $x_i$ — количество пилоток у $i$-го учащегося. Число таких решений находится по формуле сочетаний с повторениями: $C_{n+k-1}^{k-1}$, где $n=2$ (пилотки) и $k=3$ (учащиеся). Получаем $C_{2+3-1}^{3-1} = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ способов.

Затем найдем количество способов распределить 3 одинаковые красные пилотки между 3 учащимися. Аналогично, это эквивалентно нахождению числа неотрицательных целочисленных решений уравнения $y_1 + y_2 + y_3 = 3$. По той же формуле, где $n=3$ и $k=3$, получаем $C_{3+3-1}^{3-1} = C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ способов.

По правилу умножения в комбинаторике, общее количество способов распределить все пилотки равно произведению найденных количеств: $6 \cdot 10 = 60$.

Ответ: 60.

Какие случаи следует рассмотреть?

При решении задачи целесообразно рассмотреть её как два независимых процесса, для каждого из которых нужно перебрать все возможные варианты (случаи) распределения:

1. Случаи распределения синих пилоток. Необходимо рассмотреть все варианты распределения 2 синих пилоток между 3 учащимися. Эти 6 вариантов можно сгруппировать в два типа:
   • Один учащийся получает обе пилотки (например, (2,0,0)). Таких комбинаций 3.
   • Два разных учащихся получают по одной пилотке (например, (1,1,0)). Таких комбинаций 3.
2. Случаи распределения красных пилоток. Необходимо рассмотреть все варианты распределения 3 красных пилоток между 3 учащимися. Эти 10 вариантов можно сгруппировать в три типа:
   • Один учащийся получает все три пилотки (например, (3,0,0)). Таких комбинаций 3.
   • Один учащийся получает две пилотки, а другой — одну (например, (2,1,0)). Таких комбинаций 6.
   • Каждый из трёх учащихся получает по одной пилотке (1,1,1). Такая комбинация одна.

Таким образом, основной подход к решению — это рассмотрение случаев распределения пилоток каждого цвета по отдельности.

Ответ: Следует рассмотреть по отдельности все возможные способы распределения синих пилоток и все возможные способы распределения красных пилоток между учащимися.