Страница 90 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

447. Запишите дроби $ \frac{-2}{7} $, $ \frac{-6}{11} $, $ \frac{-2}{13} $, $ \frac{5}{-7} $, $ \frac{4}{-9} $, $ \frac{12}{-7} $ так, чтобы знак «-» стоял перед чертой дроби.

Для того чтобы записать дроби так, чтобы знак «-» стоял перед чертой дроби, нужно использовать правило работы со знаками в дробях. Если в дроби отрицателен либо только числитель, либо только знаменатель, то вся дробь является отрицательной, и знак минуса можно вынести перед всей дробью. Это свойство можно выразить формулой: $\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}$.

Применим это правило к каждой из данных дробей.

$\frac{-2}{7}$

Знак минус стоит в числителе. Выносим его перед дробью: $\frac{-2}{7} = -\frac{2}{7}$.
Ответ: $-\frac{2}{7}$.

$\frac{-6}{11}$

Знак минус стоит в числителе. Выносим его перед дробью: $\frac{-6}{11} = -\frac{6}{11}$.
Ответ: $-\frac{6}{11}$.

$\frac{-2}{13}$

Знак минус стоит в числителе. Выносим его перед дробью: $\frac{-2}{13} = -\frac{2}{13}$.
Ответ: $-\frac{2}{13}$.

$\frac{5}{-7}$

Знак минус стоит в знаменателе. Выносим его перед дробью: $\frac{5}{-7} = -\frac{5}{7}$.
Ответ: $-\frac{5}{7}$.

$\frac{4}{-9}$

Знак минус стоит в знаменателе. Выносим его перед дробью: $\frac{4}{-9} = -\frac{4}{9}$.
Ответ: $-\frac{4}{9}$.

$\frac{12}{-7}$

Знак минус стоит в знаменателе. Выносим его перед дробью: $\frac{12}{-7} = -\frac{12}{7}$.
Ответ: $-\frac{12}{7}$.

448. Равны ли дроби:

а) $- \frac{2}{3}$ и $\frac{-2}{3}$;

б) $\frac{-5}{8}$ и $- \frac{5}{8}$;

в) $\frac{4}{9}$ и $\frac{-4}{9}$;

г) $- \frac{5}{7}$ и $\frac{5}{7}$?

а) Чтобы определить, равны ли дроби $ -\frac{2}{3} $ и $ \frac{-2}{3} $, нужно вспомнить правило записи отрицательных рациональных чисел. Знак "минус" у дроби может стоять перед всей дробью, в числителе или в знаменателе, и это будет означать одно и то же число. Существует правило: $ -\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} $. В данном случае мы сравниваем $ -\frac{2}{3} $ и $ \frac{-2}{3} $, что соответствует формам $ -\frac{a}{b} $ и $ \frac{-a}{b} $. Следовательно, эти дроби равны.
Ответ: да.

б) Сравниваем дроби $ \frac{-5}{8} $ и $ -\frac{5}{8} $. Аналогично предыдущему пункту, знак "минус", стоящий в числителе, эквивалентен знаку "минус", стоящему перед всей дробью. Согласно правилу $ \frac{-a}{b} = -\frac{a}{b} $, данные дроби равны.
Ответ: да.

в) Сравниваем дроби $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{-4}{9} $. Первая дробь, $ \frac{4}{9} $, является положительным числом, так как и числитель (4), и знаменатель (9) положительны. Вторая дробь, $ \frac{-4}{9} $, является отрицательным числом, так как числитель (-4) отрицателен, а знаменатель (9) положителен. Положительное число не может быть равно отрицательному числу (кроме нуля, но здесь не тот случай). Таким образом, $ \frac{4}{9} \neq \frac{-4}{9} $.
Ответ: нет.

г) Сравниваем дроби $ -\frac{5}{7} $ и $ \frac{5}{7} $. Первая дробь, $ -\frac{5}{7} $, является отрицательным числом. Вторая дробь, $ \frac{5}{7} $, является положительным числом, так как её числитель и знаменатель положительны. Отрицательное число не может быть равно положительному. Следовательно, данные дроби не равны.
Ответ: нет.

449. Найдите модуль числа:

а) $-\frac{1}{2}$;

б) $-\frac{2}{3}$;

в) $\frac{3}{4}$;

г) $\frac{5}{-9}$;

д) $0$;

е) $-\frac{5}{4}$.

Модуль числа (или абсолютная величина) — это неотрицательное число, которое показывает расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Модуль обозначается двумя вертикальными чертами: $|a|$.

• Модуль положительного числа равен самому числу: $|a| = a$, если $a > 0$.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу: $|a| = -a$, если $a < 0$.
• Модуль нуля равен нулю: $|0| = 0$.

а) Найдём модуль числа $-\frac{1}{2}$.

Число $-\frac{1}{2}$ является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему числу.

$|-\frac{1}{2}| = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Найдём модуль числа $-\frac{2}{3}$.

Число $-\frac{2}{3}$ является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему числу.

$|-\frac{2}{3}| = -(-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

в) Найдём модуль числа $\frac{3}{4}$.

Число $\frac{3}{4}$ является положительным, поэтому его модуль равен самому числу.

$|\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

г) Найдём модуль числа $\frac{5}{-9}$.

Сначала представим число в стандартном виде: $\frac{5}{-9} = -\frac{5}{9}$. Число является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему числу.

$|\frac{5}{-9}| = |-\frac{5}{9}| = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$.

д) Найдём модуль числа $0$.

Модуль нуля равен нулю.

$|0| = 0$

Ответ: $0$.

е) Найдём модуль числа $-\frac{5}{4}$.

Число $-\frac{5}{4}$ является отрицательным, поэтому его модуль равен противоположному ему числу.

$|-\frac{5}{4}| = -(-\frac{5}{4}) = \frac{5}{4}$

Ответ: $\frac{5}{4}$.

450. Вычислите:

а) $|-\frac{1}{2}| + |\frac{1}{2}|;$

б) $|\frac{2}{3}| + |-\frac{1}{3}|;$

в) $|-\frac{13}{23}| - |\frac{13}{23}|;$

г) $|-3\frac{2}{3}| - |-2\frac{2}{3}|;$

д) $|-3\frac{1}{3}| \cdot |-2\frac{2}{5}|;$

е) $|2\frac{3}{5}| : |-5\frac{1}{5}|.$

а)

Вычислим значение выражения $|-\frac{1}{2}| + |\frac{1}{2}|$.

Модуль (абсолютная величина) числа — это неотрицательное число, равное расстоянию от этого числа до нуля на числовой прямой. Модуль положительного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа — противоположному ему положительному числу.

Таким образом, $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ и $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Теперь сложим полученные значения:

$|-\frac{1}{2}| + |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1

б)

Вычислим значение выражения $|\frac{2}{3}| + |-\frac{1}{3}|$.

Найдем модули чисел:

$|\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$

$|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$

Теперь выполним сложение:

$|\frac{2}{3}| + |-\frac{1}{3}| = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Ответ: 1

в)

Вычислим значение выражения $|-\frac{13}{23}| - |\frac{13}{23}|$.

Найдем модули чисел:

$|-\frac{13}{23}| = \frac{13}{23}$

$|\frac{13}{23}| = \frac{13}{23}$

Теперь выполним вычитание:

$|-\frac{13}{23}| - |\frac{13}{23}| = \frac{13}{23} - \frac{13}{23} = 0$.

Ответ: 0

г)

Вычислим значение выражения $|-3\frac{2}{3}| - |-2\frac{2}{3}|$.

Найдем модули смешанных чисел:

$|-3\frac{2}{3}| = 3\frac{2}{3}$

$|-2\frac{2}{3}| = 2\frac{2}{3}$

Теперь выполним вычитание смешанных чисел:

$3\frac{2}{3} - 2\frac{2}{3} = (3 - 2) + (\frac{2}{3} - \frac{2}{3}) = 1 + 0 = 1$.

Ответ: 1

д)

Вычислим значение выражения $|-3\frac{1}{3}| \cdot |-2\frac{2}{5}|$.

Найдем модули смешанных чисел:

$|-3\frac{1}{3}| = 3\frac{1}{3}$

$|-2\frac{2}{5}| = 2\frac{2}{5}$

Для выполнения умножения переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

$2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

Теперь выполним умножение дробей и сократим:

$\frac{10}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{10 \cdot 12}{3 \cdot 5} = \frac{2 \cdot \cancel{5} \cdot 4 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot \cancel{5}} = 2 \cdot 4 = 8$.

Ответ: 8

е)

Вычислим значение выражения $|2\frac{3}{5}| : |-5\frac{1}{5}|$.

Найдем модули смешанных чисел:

$|2\frac{3}{5}| = 2\frac{3}{5}$

$|-5\frac{1}{5}| = 5\frac{1}{5}$

Для выполнения деления переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$

$5\frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{26}{5}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{13}{5} : \frac{26}{5} = \frac{13}{5} \cdot \frac{5}{26} = \frac{13 \cdot 5}{5 \cdot 26}$.

Сократим дробь:

$\frac{13 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot 26} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$