Страница 89 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

435. Запишите три отрицательные дроби.

Отрицательная дробь — это дробь, значение которой меньше нуля. Чтобы записать отрицательную дробь, перед положительной дробью ставится знак «минус». Числитель и знаменатель самой дроби при этом являются положительными числами.

Запишем три примера отрицательных дробей:

1. Возьмем правильную дробь $\frac{3}{4}$ (дробь, у которой числитель меньше знаменателя) и поставим перед ней знак минус. Получим отрицательную дробь: $-\frac{3}{4}$.

2. Возьмем неправильную дробь $\frac{8}{5}$ (дробь, у которой числитель больше знаменателя) и поставим перед ней знак минус. Получим отрицательную дробь: $-\frac{8}{5}$.

3. Возьмем еще одну дробь, например, $\frac{1}{10}$, и сделаем ее отрицательной: $-\frac{1}{10}$.

Можно привести бесконечно много примеров таких дробей, выбрав любые натуральные числа в качестве числителя и знаменателя и поставив знак минус перед дробью.

Ответ: $-\frac{3}{4}$, $-\frac{8}{5}$, $-\frac{1}{10}$.

436. Какие числа называют противоположными? Приведите примеры.

Какие числа называют противоположными?

Противоположными называют два числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Они имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но на координатной прямой находятся на равном расстоянии от начала отсчета (нуля) в разных направлениях.

Основное свойство противоположных чисел заключается в том, что их сумма всегда равна нулю. Для любого числа $a$ противоположным ему будет число $-a$. $$a + (-a) = 0$$ Единственное число, которое противоположно самому себе, — это нуль, так как $-0 = 0$.

Ответ: Противоположные числа — это числа, имеющие одинаковые модули, но разные знаки.

Приведите примеры

Вот несколько примеров пар противоположных чисел:

• Числу $8$ противоположно число $-8$.
• Числу $-21$ противоположно число $21$.
• Числу $0.5$ противоположно число $-0.5$.
• Числу $-\frac{1}{3}$ противоположно число $\frac{1}{3}$.
• Числу $0$ противоположно число $0$.

Ответ: Примеры пар противоположных чисел: 8 и -8; -21 и 21; 0.5 и -0.5.

437. Какое число противоположно:

а) числу нуль;

б) положительному числу;

в) отрицательному числу?

Противоположные числа — это два числа, которые имеют одинаковую абсолютную величину (модуль), но разные знаки. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$. На координатной прямой они расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчета (нуля), но в разных направлениях. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$.

а) числу нуль;
Число нуль не является ни положительным, ни отрицательным. Чтобы найти число, противоположное нулю, воспользуемся общим правилом: для числа $a=0$ противоположным будет $-a = -0$. Так как $-0$ равно $0$, то число, противоположное нулю, это сам нуль.
Ответ: нуль.

б) положительному числу;
Пусть дано произвольное положительное число $a$, то есть $a > 0$. Число, противоположное ему, равно $-a$. Поскольку $a$ — положительное число, то $-a$ будет отрицательным числом. Например, для числа 15 противоположным является число -15.
Ответ: отрицательное число.

в) отрицательному числу?
Пусть дано произвольное отрицательное число $b$, то есть $b < 0$. Число, противоположное ему, равно $-b$. Так как $b$ — отрицательное число (например, $b = -9$), то $-b$ будет равно $-(-9) = 9$, что является положительным числом. Следовательно, число, противоположное отрицательному числу, всегда является положительным.
Ответ: положительное число.

438. Что называют модулем:

а) положительной дроби;

б) отрицательной дроби;

в) нуля?

Модулем (или абсолютной величиной) числа называется расстояние от начала отсчета (точки 0) до точки на координатной прямой, которая соответствует этому числу. Так как расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа — это всегда неотрицательная величина. Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$.

а) положительной дроби
Модулем положительной дроби является сама эта дробь. Положительное число уже находится на положительной части координатной оси, и расстояние от нуля до него равно самому этому числу.
Например, для дроби $\frac{3}{4}$ ее модуль будет равен $\frac{3}{4}$.
Математически это записывается так: $|\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$.
В общем виде, если $a > 0$, то $|a| = a$.
Ответ: Модулем положительной дроби является сама эта дробь.

б) отрицательной дроби
Модулем отрицательной дроби является противоположная ей положительная дробь. Чтобы найти модуль отрицательного числа, нужно отбросить знак «минус». Расстояние от нуля до отрицательного числа на координатной прямой равно расстоянию до соответствующего положительного числа.
Например, для дроби $-\frac{7}{8}$ ее модуль будет равен $\frac{7}{8}$.
Математически это записывается так: $|-\frac{7}{8}| = \frac{7}{8}$.
В общем виде, если $a < 0$, то $|a| = -a$.
Ответ: Модулем отрицательной дроби является противоположная ей положительная дробь.

в) нуля
Модуль нуля равен нулю. Это следует из определения, так как расстояние от точки 0 до самой себя равно нулю.
Математически это записывается так: $|0| = 0$.
Ответ: Модуль нуля равен нулю.

439. Какие из дробей являются положительными, какие отрицательными: $\frac{1}{6}$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{0}{4}$, $-\frac{2}{7}$, $\frac{3}{1}$, $-\frac{0}{2}$?

Для определения знака дроби необходимо проанализировать ее значение. Число является положительным, если оно больше нуля, и отрицательным, если оно меньше нуля. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Положительными

Положительными являются дроби, значение которых больше нуля. Из данного набора это:

$\frac{1}{6}$ (это число больше 0)

$\frac{3}{1}$ (эта дробь равна 3, что больше 0)

Ответ: $\frac{1}{6}$, $\frac{3}{1}$.

Отрицательными

Отрицательными являются дроби, значение которых меньше нуля. На это указывает знак "минус" перед дробью:

$-\frac{1}{3}$ (это число меньше 0)

$-\frac{2}{7}$ (это число меньше 0)

Ответ: $-\frac{1}{3}$, $-\frac{2}{7}$.

Дроби $\frac{0}{4}$ и $-\frac{0}{2}$ заслуживают отдельного рассмотрения. Любая дробь с числителем 0 и ненулевым знаменателем равна нулю. Таким образом, $\frac{0}{4} = 0$ и $-\frac{0}{2} = 0$. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

440. Назовите дроби, противоположные дробям: $ \frac{1}{2} $, $ \frac{2}{9} $, $ -\frac{1}{3} $, $ -\frac{3}{7} $, $ \frac{-4}{11} $.

Противоположные числа (или дроби) — это числа, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но разные знаки. Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю. Чтобы найти число, противоположное данному, нужно просто изменить его знак на противоположный (с «+» на «−» и с «−» на «+»).

$\frac{1}{2}$

Дробь $\frac{1}{2}$ — положительное число. Противоположным для него будет такое же число, но со знаком минус.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

$\frac{2}{9}$

Дробь $\frac{2}{9}$ — положительное число. Противоположным для него будет число с отрицательным знаком.

Ответ: $-\frac{2}{9}$.

$-\frac{1}{3}$

Дробь $-\frac{1}{3}$ — отрицательное число. Противоположным для него будет такое же число, но со знаком плюс (который обычно не пишется).

Противоположное число: $-(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

$-\frac{3}{7}$

Дробь $-\frac{3}{7}$ — отрицательное число. Противоположным для него будет положительное число.

Противоположное число: $-(-\frac{3}{7}) = \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{3}{7}$.

$\frac{-4}{11}$

Дробь $\frac{-4}{11}$ является отрицательным числом (знак минус может стоять как перед дробью, так и в числителе). Противоположным для него будет положительное число.

Противоположное число: $-(\frac{-4}{11}) = \frac{4}{11}$.

Ответ: $\frac{4}{11}$.

?441. Какое число противоположно самому себе?

Противоположными называются числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Например, для числа 7 противоположным является число -7, а для числа -3 противоположным является 3. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.

Нам нужно найти такое число, которое равно своему противоположному числу. Обозначим это искомое число буквой $x$. Тогда его противоположное число будет $-x$. По условию задачи эти числа должны быть равны:

$x = -x$

Для решения этого уравнения перенесем $-x$ из правой части в левую, изменив при этом знак на противоположный:

$x + x = 0$

$2x = 0$

Отсюда следует, что $x = 0$.

Действительно, ноль — это единственное число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Противоположное ему число — это $-0$, что равно 0.

Ответ: 0

Упростите запись по образцу (442–443):

442. а) $ |8|=8; $

б) $ |-7|=7; $

в) $ |\frac{1}{9}|=\frac{1}{9}; $

г) $ |-\frac{2}{3}|=\frac{2}{3}; $

д) $ |2|; $

е) $ |-3|; $

ж) $ |0|; $

з) $ |\frac{1}{4}|; $

и) $ |-\frac{1}{5}|; $

к) $ |\frac{2}{7}|. $

д) Модуль (абсолютная величина) положительного числа равен самому числу. Таким образом, мы убираем знак модуля:

$|2| = 2$

Ответ: 2.

е) Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. Таким образом, мы убираем знак модуля и знак "минус":

$|-3| = 3$

Ответ: 3.

ж) Модуль нуля равен нулю.

$|0| = 0$

Ответ: 0.

з) Модуль положительной дроби, как и любого положительного числа, равен самой этой дроби.

$|\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

и) Модуль отрицательной дроби равен противоположной ей положительной дроби.

$|-\frac{1}{5}| = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

к) Модуль положительной дроби равен самой этой дроби.

$|\frac{2}{7}| = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$.

443. а) $ \left|-\frac{1}{4}\right|; $

б) $ \left|-\frac{2}{9}\right|; $

в) $ \left|-\frac{1}{8}\right|; $

г) $ \left|-\frac{8}{15}\right|; $

д) $ -\left|\frac{3}{8}\right|; $

е) $ -\left|\frac{8}{9}\right|; $

ж) $ -\left|-\frac{1}{2}\right|; $

з) $ -\left|-\frac{1}{5}\right|. $

а) Модуль (абсолютная величина) числа – это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
Таким образом, модуль числа $-\frac{1}{4}$ равен $\frac{1}{4}$.
$|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) Найдем модуль дроби $\frac{-2}{9}$. Эта запись эквивалентна $|-\frac{2}{9}|$.
По определению модуля, модуль отрицательного числа есть число положительное.
$|\frac{-2}{9}| = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

в) Найдем модуль дроби $\frac{-1}{8}$, что то же самое, что и $|-\frac{1}{8}|$.
Модуль отрицательного числа $-\frac{1}{8}$ равен положительному числу $\frac{1}{8}$.
$|\frac{-1}{8}| = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

г) Найдем модуль дроби $\frac{-8}{15}$, что эквивалентно $|-\frac{8}{15}|$.
Модуль отрицательного числа $-\frac{8}{15}$ равен противоположному ему положительному числу.
$|\frac{-8}{15}| = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$.

д) Найдем модуль числа $-\frac{3}{8}$.
Так как число под знаком модуля отрицательное, его модуль будет равен противоположному ему положительному числу.
$|-\frac{3}{8}| = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$.

е) Найдем модуль числа $-\frac{8}{9}$.
Модуль отрицательного числа $-\frac{8}{9}$ равен положительному числу $\frac{8}{9}$.
$|-\frac{8}{9}| = \frac{8}{9}$.
Ответ: $\frac{8}{9}$.

ж) В данном выражении необходимо сначала найти модуль числа, а затем применить к результату знак минуса, стоящий перед модулем.
1. Вычислим модуль: $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
2. Подставим полученное значение обратно в выражение: $-(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$.
$-|-\frac{1}{2}| = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

з) Это выражение решается аналогично предыдущему. Сначала вычисляется значение модуля, а затем применяется знак минуса перед ним.
1. Найдем модуль числа: $|-\frac{1}{5}| = \frac{1}{5}$.
2. Учтем знак минуса перед модулем: $-(\frac{1}{5}) = -\frac{1}{5}$.
$-|-\frac{1}{5}| = -\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{5}$.

444. Сравните:

a) $\left|\frac{2}{3}\right|$ и $\left|-\frac{2}{3}\right|$

б) $\left|-5\right|$ и $\left|-\frac{1}{2}\right|$

в) $\left|-\frac{1}{5}\right|$ и $\left|\frac{1}{4}\right|$

а) Чтобы сравнить $|\frac{2}{3}|$ и $|-\frac{2}{3}|$, сначала найдем значение каждого модуля. Модуль (абсолютная величина) числа — это расстояние от нуля до этого числа на координатной прямой, поэтому модуль всегда неотрицателен. Модуль положительного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
$|\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$
$|-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$
Так как $\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$, то и исходные выражения равны.
Ответ: $|\frac{2}{3}| = |-\frac{2}{3}|$.

б) Чтобы сравнить $|-5|$ и $|-\frac{1}{2}|$, найдем значение каждого модуля.
$|-5| = 5$
$|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$
Теперь сравним полученные значения: $5$ и $\frac{1}{2}$. Так как $5$ — это целое число, а $\frac{1}{2}$ — это правильная дробь (меньше единицы), то очевидно, что $5 > \frac{1}{2}$.
Следовательно, $|-5| > |-\frac{1}{2}|$.
Ответ: $|-5| > |-\frac{1}{2}|$.

в) Чтобы сравнить $|-\frac{1}{5}|$ и $|\frac{1}{4}|$, найдем значение каждого модуля.
$|-\frac{1}{5}| = \frac{1}{5}$
$|\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$
Теперь необходимо сравнить дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{4}$. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 5 и 4 является 20.
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$
Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: так как $4 < 5$, то $\frac{4}{20} < \frac{5}{20}$.
Следовательно, $\frac{1}{5} < \frac{1}{4}$, а значит $|-\frac{1}{5}| < |\frac{1}{4}|$.
Ответ: $|-\frac{1}{5}| < |\frac{1}{4}|$.

445. Запишите дробь так, чтобы знак «-» стоял в числителе по образцу:

а) $ -\frac{3}{4} = \frac{-3}{4}; $

б) $ -\frac{5}{7}; $

в) $ -\frac{7}{3}; $

г) $ -\frac{4}{9}; $

д) $ -\frac{1}{9}; $

е) $ -\frac{13}{12}. $

Для выполнения данного задания необходимо использовать свойство рациональных чисел, которое гласит, что отрицательная дробь может быть записана с отрицательным числителем. То есть, для любой дроби $\frac{a}{b}$ справедливо равенство: $-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b}$.

Следуя этому правилу и образцу $а) -\frac{3}{4} = \frac{-3}{4}$, преобразуем каждую из дробей.

б)

Для дроби $-\frac{5}{7}$ перенесем знак минус из-перед дроби в числитель:

$-\frac{5}{7} = \frac{-5}{7}$

Ответ: $\frac{-5}{7}$

в)

Для дроби $-\frac{7}{3}$ выполним аналогичное преобразование, поместив знак минус в числитель:

$-\frac{7}{3} = \frac{-7}{3}$

Ответ: $\frac{-7}{3}$

г)

Для дроби $-\frac{4}{9}$ переносим знак минус в числитель:

$-\frac{4}{9} = \frac{-4}{9}$

Ответ: $\frac{-4}{9}$

д)

Для дроби $-\frac{1}{9}$ также переносим знак минус в числитель:

$-\frac{1}{9} = \frac{-1}{9}$

Ответ: $\frac{-1}{9}$

е)

Для дроби $-\frac{13}{12}$ производим то же действие, перемещая знак минус в числитель:

$-\frac{13}{12} = \frac{-13}{12}$

Ответ: $\frac{-13}{12}$

446. Запишите дробь так, чтобы знак «–» стоял в знаменателе по образцу:

а) $ -\frac{3}{4} = \frac{3}{-4}; $

б) $ -\frac{6}{5}; $

в) $ -\frac{7}{8}; $

г) $ -\frac{8}{9}; $

д) $ -\frac{17}{18}; $

е) $ -\frac{18}{17}. $

Основное свойство, которое мы будем использовать, заключается в том, что для любой дроби $\frac{a}{b}$ верны следующие равенства:

$-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$

Согласно заданию, нам нужно преобразовать дробь из вида $-\frac{a}{b}$ в вид $\frac{a}{-b}$, то есть перенести знак «-» в знаменатель.

б)

Для дроби $-\frac{6}{5}$ числитель равен 6, а знаменатель равен 5. Перенесем знак «-» в знаменатель, оставив числитель положительным.

$-\frac{6}{5} = \frac{6}{-5}$

Ответ: $\frac{6}{-5}$

в)

Для дроби $-\frac{7}{8}$ перенесем знак «-» в знаменатель по тому же правилу.

$-\frac{7}{8} = \frac{7}{-8}$

Ответ: $\frac{7}{-8}$

г)

Для дроби $-\frac{8}{9}$ переместим знак «-», стоящий перед дробью, в знаменатель.

$-\frac{8}{9} = \frac{8}{-9}$

Ответ: $\frac{8}{-9}$

д)

Для дроби $-\frac{17}{18}$ выполним аналогичное преобразование.

$-\frac{17}{18} = \frac{17}{-18}$

Ответ: $\frac{17}{-18}$

е)

Для дроби $-\frac{18}{17}$ запишем ее так, чтобы знак «-» стоял в знаменателе.

$-\frac{18}{17} = \frac{18}{-17}$

Ответ: $\frac{18}{-17}$