Страница 96 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

481. а) $ \frac{37}{452} $ и $ \frac{207}{388} $;

б) $ \frac{456}{729} $ и $ \frac{895}{891} $;

в) $ \frac{999}{1000} $ и $ \frac{1000}{1001} $.

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{37}{452} $ и $ \frac{207}{388} $, можно сравнить каждую из них с $ \frac{1}{2} $.

Для первой дроби $ \frac{37}{452} $: половина знаменателя равна $ 452 \div 2 = 226 $. Так как числитель $ 37 < 226 $, то дробь $ \frac{37}{452} < \frac{226}{452} $, то есть $ \frac{37}{452} < \frac{1}{2} $.

Для второй дроби $ \frac{207}{388} $: половина знаменателя равна $ 388 \div 2 = 194 $. Так как числитель $ 207 > 194 $, то дробь $ \frac{207}{388} > \frac{194}{388} $, то есть $ \frac{207}{388} > \frac{1}{2} $.

Поскольку $ \frac{37}{452} < \frac{1}{2} $ и $ \frac{207}{388} > \frac{1}{2} $, то $ \frac{37}{452} < \frac{207}{388} $.

Ответ: $ \frac{37}{452} < \frac{207}{388} $.

б) Чтобы сравнить дроби $ \frac{456}{729} $ и $ \frac{895}{891} $, сравним каждую из них с 1.

Дробь $ \frac{456}{729} $ является правильной, так как её числитель (456) меньше знаменателя (729). Следовательно, $ \frac{456}{729} < 1 $.

Дробь $ \frac{895}{891} $ является неправильной, так как её числитель (895) больше знаменателя (891). Следовательно, $ \frac{895}{891} > 1 $.

Поскольку $ \frac{456}{729} < 1 $ и $ \frac{895}{891} > 1 $, то $ \frac{456}{729} < \frac{895}{891} $.

Ответ: $ \frac{456}{729} < \frac{895}{891} $.

в) Чтобы сравнить дроби $ \frac{999}{1000} $ и $ \frac{1000}{1001} $, которые обе близки к 1, найдем, на сколько каждая из них меньше единицы.

Для первой дроби: $ 1 - \frac{999}{1000} = \frac{1000}{1000} - \frac{999}{1000} = \frac{1}{1000} $.

Для второй дроби: $ 1 - \frac{1000}{1001} = \frac{1001}{1001} - \frac{1000}{1001} = \frac{1}{1001} $.

Теперь сравним полученные разности: $ \frac{1}{1000} $ и $ \frac{1}{1001} $. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $ 1000 < 1001 $, то $ \frac{1}{1000} > \frac{1}{1001} $.

Это означает, что дробь $ \frac{999}{1000} $ "отстоит" от единицы на большее расстояние, чем дробь $ \frac{1000}{1001} $. Следовательно, $ \frac{999}{1000} < \frac{1000}{1001} $.

Ответ: $ \frac{999}{1000} < \frac{1000}{1001} $.

482. а) $\frac{6}{7}$ и $\frac{8}{7}$;

б) 1 и $\frac{7}{8}$;

в) 1 и $\frac{9}{8}$;

г) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

а) Сравнить дроби $ \frac{6}{7} $ и $ \frac{8}{7} $.

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь больше, у которой числитель больше, и меньше та, у которой числитель меньше.

В данном случае знаменатели обеих дробей равны 7. Сравним их числители: 6 и 8.

Поскольку $ 6 < 8 $, то и дробь $ \frac{6}{7} $ меньше дроби $ \frac{8}{7} $.

Ответ: $ \frac{6}{7} < \frac{8}{7} $

б) Сравнить 1 и $ \frac{7}{8} $.

Для сравнения числа 1 и дроби, можно представить 1 в виде дроби с таким же знаменателем. Знаменатель дроби $ \frac{7}{8} $ равен 8, поэтому представим 1 в виде дроби $ \frac{8}{8} $.

Теперь сравним дроби $ \frac{8}{8} $ и $ \frac{7}{8} $. Так как у них одинаковые знаменатели, сравниваем их числители.

Поскольку $ 8 > 7 $, то $ \frac{8}{8} > \frac{7}{8} $.

Следовательно, $ 1 > \frac{7}{8} $.

Также можно рассуждать иначе: дробь $ \frac{7}{8} $ является правильной, так как ее числитель (7) меньше знаменателя (8). Любая правильная дробь меньше единицы.

Ответ: $ 1 > \frac{7}{8} $

в) Сравнить 1 и $ \frac{9}{8} $.

Представим число 1 в виде дроби со знаменателем 8, то есть $ 1 = \frac{8}{8} $.

Теперь сравним дроби $ \frac{8}{8} $ и $ \frac{9}{8} $. У них одинаковые знаменатели, поэтому сравниваем их числители.

Поскольку $ 8 < 9 $, то $ \frac{8}{8} < \frac{9}{8} $.

Следовательно, $ 1 < \frac{9}{8} $.

Также можно рассуждать иначе: дробь $ \frac{9}{8} $ является неправильной, так как ее числитель (9) больше знаменателя (8). Любая неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, всегда больше единицы.

Ответ: $ 1 < \frac{9}{8} $

г) Сравнить дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 2 и 3. Наименьшее общее кратное для 2 и 3 равно 6.

Приведем дробь $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 6. Для этого умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель $ 6 \div 2 = 3 $:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} $

Приведем дробь $ \frac{1}{3} $ к знаменателю 6. Для этого умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель $ 6 \div 3 = 2 $:

$ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} $

Теперь сравним полученные дроби $ \frac{3}{6} $ и $ \frac{2}{6} $. Так как знаменатели одинаковы, сравниваем числители.

Поскольку $ 3 > 2 $, то $ \frac{3}{6} > \frac{2}{6} $.

Следовательно, $ \frac{1}{2} > \frac{1}{3} $.

Другой способ: из двух дробей с одинаковыми числителями (в данном случае 1) больше та, у которой знаменатель меньше. Сравнивая знаменатели 2 и 3, видим, что $ 2 < 3 $, значит $ \frac{1}{2} > \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} > \frac{1}{3} $

483. а) -1 и -2;

б) -12 и -7;

в) $-\frac{1}{2}$ и 0;

г) 0 и $-\frac{3}{4}$.

а) Чтобы сравнить два отрицательных числа, таких как $-1$ и $-2$, можно расположить их на числовой оси. Число, которое находится правее, будет больше. Число $-1$ находится правее числа $-2$, следовательно, $-1$ больше, чем $-2$. Другой способ — сравнить их модули (абсолютные значения). У отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Модуль числа $-1$ равен $|-1| = 1$. Модуль числа $-2$ равен $|-2| = 2$. Так как $1 < 2$, то $-1 > -2$.
Ответ: $-1 > -2$.

б) Сравним отрицательные числа $-12$ и $-7$. Используем правило сравнения модулей: из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Найдем модули данных чисел: $|-12| = 12$ и $|-7| = 7$. Поскольку $7 < 12$, то число $-7$ больше числа $-12$. На числовой оси $-7$ расположено правее, чем $-12$.
Ответ: $-12 < -7$.

в) Сравним числа $-\frac{1}{2}$ и $0$. Любое отрицательное число всегда меньше нуля. Так как $-\frac{1}{2}$ — это отрицательное число, оно меньше $0$. На числовой оси все отрицательные числа находятся левее нуля.
Ответ: $-\frac{1}{2} < 0$.

г) Сравним числа $0$ и $-\frac{3}{4}$. Нуль всегда больше любого отрицательного числа. Так как $-\frac{3}{4}$ — это отрицательное число, оно меньше $0$. На числовой оси $0$ расположен правее любого отрицательного числа.
Ответ: $0 > -\frac{3}{4}$.

484. а) $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$;

б) $-\frac{4}{5}$ и $-\frac{3}{5}$;

в) $-\frac{1}{7}$ и $\frac{-3}{7}$;

г) $\frac{-3}{8}$ и $\frac{5}{-8}$.

а) Сравним числа $ -\frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{2} $.

Число $ -\frac{1}{2} $ является отрицательным, а число $ \frac{1}{2} $ — положительным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $ -\frac{1}{2} < \frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} < \frac{1}{2} $.

б) Сравним числа $ -\frac{4}{5} $ и $ -\frac{3}{5} $.

Оба числа являются отрицательными и имеют одинаковый знаменатель. Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то число, модуль которого меньше.

Модуль первого числа: $ |-\frac{4}{5}| = \frac{4}{5} $.

Модуль второго числа: $ |-\frac{3}{5}| = \frac{3}{5} $.

Сравниваем модули: так как числители $ 4 > 3 $, то $ \frac{4}{5} > \frac{3}{5} $.

Поскольку модуль числа $ -\frac{4}{5} $ больше модуля числа $ -\frac{3}{5} $, то само число $ -\frac{4}{5} $ меньше, чем $ -\frac{3}{5} $.

Следовательно, $ -\frac{4}{5} < -\frac{3}{5} $.

Ответ: $ -\frac{4}{5} < -\frac{3}{5} $.

в) Сравним числа $ -\frac{1}{7} $ и $ \frac{-3}{7} $.

Запись $ \frac{-3}{7} $ эквивалентна записи $ -\frac{3}{7} $. Таким образом, нам нужно сравнить числа $ -\frac{1}{7} $ и $ -\frac{3}{7} $.

Оба числа отрицательные с одинаковым знаменателем. Сравним их модули.

Модуль первого числа: $ |-\frac{1}{7}| = \frac{1}{7} $.

Модуль второго числа: $ |-\frac{3}{7}| = \frac{3}{7} $.

Сравниваем модули: так как $ 1 < 3 $, то $ \frac{1}{7} < \frac{3}{7} $.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $ |-\frac{1}{7}| < |-\frac{3}{7}| $, то $ -\frac{1}{7} > -\frac{3}{7} $.

Следовательно, $ -\frac{1}{7} > \frac{-3}{7} $.

Ответ: $ -\frac{1}{7} > \frac{-3}{7} $.

г) Сравним числа $ \frac{-3}{8} $ и $ \frac{5}{-8} $.

Приведем дроби к стандартному виду. Запись $ \frac{-3}{8} $ эквивалентна $ -\frac{3}{8} $. Запись $ \frac{5}{-8} $ эквивалентна $ -\frac{5}{8} $.

Таким образом, мы сравниваем числа $ -\frac{3}{8} $ и $ -\frac{5}{8} $.

Оба числа являются отрицательными и имеют одинаковый знаменатель. Сравним их модули.

Модуль первого числа: $ |-\frac{3}{8}| = \frac{3}{8} $.

Модуль второго числа: $ |-\frac{5}{8}| = \frac{5}{8} $.

Сравниваем модули: так как $ 3 < 5 $, то $ \frac{3}{8} < \frac{5}{8} $.

Так как модуль числа $ -\frac{3}{8} $ меньше модуля числа $ -\frac{5}{8} $, то само число $ -\frac{3}{8} $ больше, чем $ -\frac{5}{8} $.

Следовательно, $ \frac{-3}{8} > \frac{5}{-8} $.

Ответ: $ \frac{-3}{8} > \frac{5}{-8} $.

485. Запишите в порядке возрастания числа:

$-\frac{1}{8}$, $-\frac{5}{8}$, $-\frac{6}{8}$, $-\frac{2}{8}$, $-\frac{9}{8}$, $-1$, $-\frac{3}{8}$, $-\frac{4}{8}$.

Для того чтобы записать данные числа в порядке возрастания, нужно их сравнить между собой. Все числа в задании являются отрицательными. Для удобства сравнения приведем все числа к общему знаменателю, который равен 8. Число $-1$ можно представить в виде дроби со знаменателем 8:

$-1 = -\frac{8}{8}$

Теперь исходный набор чисел для сравнения выглядит так: $-\frac{1}{8}, -\frac{5}{8}, -\frac{6}{8}, -\frac{2}{8}, -\frac{9}{8}, -\frac{8}{8}, -\frac{3}{8}, -\frac{4}{8}$.

Поскольку все дроби имеют одинаковый знаменатель и являются отрицательными, для их упорядочивания достаточно сравнить их числители. Чем меньше числитель, тем меньше значение дроби.

Выпишем числители всех дробей: $-1, -5, -6, -2, -9, -8, -3, -4$.

Расположим эти числители в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему):

$-9 < -8 < -6 < -5 < -4 < -3 < -2 < -1$

Соответственно, дроби в порядке возрастания будут расположены в том же порядке, что и их числители:

$-\frac{9}{8}, -\frac{8}{8}, -\frac{6}{8}, -\frac{5}{8}, -\frac{4}{8}, -\frac{3}{8}, -\frac{2}{8}, -\frac{1}{8}$

Теперь вернемся к исходному виду чисел, заменив дробь $-\frac{8}{8}$ на $-1$, и получим итоговый упорядоченный ряд.

Ответ: $-\frac{9}{8}, -1, -\frac{6}{8}, -\frac{5}{8}, -\frac{4}{8}, -\frac{3}{8}, -\frac{2}{8}, -\frac{1}{8}$.

486. Запишите в порядке убывания числа: $-\frac{7}{4}$, $-\frac{1}{4}$, $-\frac{15}{4}$, $-\frac{3}{4}$, $-2$.

Чтобы расположить данные числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), необходимо их сравнить. Для удобства сравнения приведем все числа к общему знаменателю. Большинство дробей уже имеют знаменатель 4, поэтому представим целое число $-2$ в виде дроби со знаменателем 4.

Представим число $-2$ как дробь:

$ -2 = -\frac{2 \cdot 4}{4} = -\frac{8}{4} $

Теперь у нас есть следующий ряд чисел, которые нужно сравнить:

$ -\frac{7}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{15}{4}, \frac{3}{4}, -\frac{8}{4} $

Сравнение чисел:

1. Сначала выберем самые большие числа. Это положительные дроби: $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{3}{4} $. Поскольку у них одинаковые знаменатели, мы сравниваем их числители. Так как $ 3 > 1 $, то $ \frac{3}{4} > \frac{1}{4} $. Это два самых больших числа.

2. Теперь сравним оставшиеся отрицательные числа: $ -\frac{7}{4}, -\frac{15}{4}, -\frac{8}{4} $. Из отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше. Сравним их числители: $ -7, -15, -8 $. Наибольший из них $ -7 $, затем $ -8 $, и наименьший $ -15 $. Следовательно, порядок убывания для отрицательных дробей будет таким: $ -\frac{7}{4} > -\frac{8}{4} > -\frac{15}{4} $.

Теперь объединим все числа в один ряд в порядке убывания, помня, что любое положительное число больше любого отрицательного:

$ \frac{3}{4} $ (самое большое)

$ \frac{1}{4} $

$ -\frac{7}{4} $

$ -\frac{8}{4} $ (что равно исходному числу $ -2 $)

$ -\frac{15}{4} $ (самое маленькое)

Запишем итоговый ряд, используя исходные числа.

Ответ: $ \frac{3}{4}, \frac{1}{4}, -\frac{7}{4}, -2, -\frac{15}{4} $

487. Найдите дробь, которая больше одной из данных дробей, но меньше другой:

а) $-\frac{1}{5}$ и $-\frac{4}{5}$;

б) $-\frac{9}{10}$ и $-\frac{3}{10}$;

в) $\frac{-12}{13}$ и $\frac{4}{-13}$;

г) $\frac{-8}{11}$ и $-\frac{5}{11}$;

д) $-\frac{1}{8}$ и $-\frac{7}{8}$;

е) $-\frac{3}{7}$ и $-\frac{5}{7}$.

а) $-\frac{1}{5}$ и $-\frac{4}{5}$

Чтобы найти дробь, которая находится между двумя данными дробями с одинаковыми знаменателями, сначала сравним эти дроби. Сравниваем дроби $-\frac{1}{5}$ и $-\frac{4}{5}$. Так как у них одинаковые знаменатели, сравним их числители: $-1$ и $-4$. Поскольку $-1 > -4$, то и дробь $-\frac{1}{5}$ больше, чем дробь $-\frac{4}{5}$.

Нам нужно найти такую дробь $x$, для которой выполняется двойное неравенство: $-\frac{4}{5} < x < -\frac{1}{5}$.Будем искать такую дробь с тем же знаменателем 5. Тогда ее числитель должен быть целым числом, заключенным между -4 и -1. Этому условию удовлетворяют числа -3 и -2.Выберем любое из них, например, -2. Тогда искомая дробь будет $-\frac{2}{5}$.

Проверка: $-\frac{4}{5} < -\frac{2}{5}$ (так как $-4 < -2$) и $-\frac{2}{5} < -\frac{1}{5}$ (так как $-2 < -1$). Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{2}{5}$

б) $-\frac{9}{10}$ и $-\frac{3}{10}$

Сравниваем дроби $-\frac{9}{10}$ и $-\frac{3}{10}$. У них одинаковые знаменатели, поэтому сравниваем числители: $-9$ и $-3$. Так как $-3 > -9$, то $-\frac{3}{10} > -\frac{9}{10}$.

Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству: $-\frac{9}{10} < x < -\frac{3}{10}$.Найдем дробь с таким же знаменателем 10. Ее числитель должен быть целым числом между -9 и -3. Например, таким числом может быть -8, -7, -6, -5 или -4.Возьмем, например, числитель -7. Получим дробь $-\frac{7}{10}$.

Проверка: $-\frac{9}{10} < -\frac{7}{10}$ (так как $-9 < -7$) и $-\frac{7}{10} < -\frac{3}{10}$ (так как $-7 < -3$). Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{7}{10}$

в) $\frac{-12}{13}$ и $\frac{4}{-13}$

Сначала приведем дроби к стандартному виду: $\frac{-12}{13} = -\frac{12}{13}$ и $\frac{4}{-13} = -\frac{4}{13}$.Теперь сравним дроби $-\frac{12}{13}$ и $-\frac{4}{13}$. Знаменатели одинаковы, поэтому сравниваем числители: -12 и -4. Так как $-4 > -12$, то $-\frac{4}{13} > -\frac{12}{13}$.

Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству: $-\frac{12}{13} < x < -\frac{4}{13}$.Будем искать дробь со знаменателем 13. Ее числитель должен быть целым числом между -12 и -4. Этому условию удовлетворяют числа от -11 до -5.Выберем любое из них, например, -10. Искомая дробь $-\frac{10}{13}$.

Проверка: $-\frac{12}{13} < -\frac{10}{13}$ (так как $-12 < -10$) и $-\frac{10}{13} < -\frac{4}{13}$ (так как $-10 < -4$). Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{10}{13}$

г) $\frac{-8}{11}$ и $\frac{5}{11}$

Сравниваем дроби $\frac{-8}{11}$ (то есть $-\frac{8}{11}$) и $\frac{5}{11}$. Первая дробь отрицательная, а вторая — положительная. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $\frac{5}{11} > -\frac{8}{11}$.

Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству: $-\frac{8}{11} < x < \frac{5}{11}$.Будем искать дробь со знаменателем 11. Ее числитель должен быть целым числом между -8 и 5. Таких чисел много: -7, -6, ..., 0, 1, ..., 4.Самый простой вариант — выбрать числитель 0. Тогда дробь будет $\frac{0}{11} = 0$.

Проверка: $-\frac{8}{11} < 0$ (верно, так как отрицательное число меньше нуля) и $0 < \frac{5}{11}$ (верно, так как ноль меньше положительного числа). Условие выполняется.

Ответ: $0$

д) $-\frac{1}{8}$ и $-\frac{7}{8}$

Сравниваем дроби $-\frac{1}{8}$ и $-\frac{7}{8}$. Знаменатели одинаковы, сравниваем числители: -1 и -7. Так как $-1 > -7$, то $-\frac{1}{8} > -\frac{7}{8}$.

Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству: $-\frac{7}{8} < x < -\frac{1}{8}$.Будем искать дробь со знаменателем 8. Ее числитель должен быть целым числом между -7 и -1. Такими числами являются -6, -5, -4, -3, -2.Выберем, например, числитель -3. Получим дробь $-\frac{3}{8}$.

Проверка: $-\frac{7}{8} < -\frac{3}{8}$ (так как $-7 < -3$) и $-\frac{3}{8} < -\frac{1}{8}$ (так как $-3 < -1$). Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{3}{8}$

е) $-\frac{3}{7}$ и $-\frac{5}{7}$

Сравниваем дроби $-\frac{3}{7}$ и $-\frac{5}{7}$. Знаменатели одинаковы, сравниваем числители: -3 и -5. Так как $-3 > -5$, то $-\frac{3}{7} > -\frac{5}{7}$.

Искомая дробь $x$ должна удовлетворять неравенству: $-\frac{5}{7} < x < -\frac{3}{7}$.Будем искать дробь со знаменателем 7. Ее числитель должен быть целым числом между -5 и -3. Единственное такое целое число — это -4.Следовательно, искомая дробь — это $-\frac{4}{7}$.

Проверка: $-\frac{5}{7} < -\frac{4}{7}$ (так как $-5 < -4$) и $-\frac{4}{7} < -\frac{3}{7}$ (так как $-4 < -3$). Условие выполняется.

Ответ: $-\frac{4}{7}$

488. Сравните числа:

а) $- \frac{1}{2}$ и $- \frac{1}{3}$; б) $- \frac{1}{5}$ и $- \frac{1}{2}$; в) $- \frac{1}{6}$ и $- \frac{4}{11}$;

г) $- \frac{1}{2}$ и $- \frac{3}{4}$; д) $- \frac{3}{5}$ и $- \frac{7}{10}$; е) $- \frac{5}{9}$ и $- \frac{2}{3}$;

ж) $- \frac{11}{24}$ и $- \frac{1}{2}$; з) $- \frac{5}{28}$ и $- \frac{1}{7}$; и) $- \frac{25}{32}$ и $- \frac{5}{8}$;

к) $- \frac{9}{10}$ и $- \frac{14}{15}$; л) $- \frac{1}{4}$ и $- \frac{7}{8}$; м) $- \frac{13}{24}$ и $- \frac{17}{36}$.

Для сравнения двух отрицательных чисел необходимо сравнить их модули (абсолютные величины). Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

а) Сравним $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{3}$.

Сначала сравним их модули: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$

Так как $3 > 2$, то $\frac{3}{6} > \frac{2}{6}$, следовательно, $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$.

Поскольку модуль числа $-\frac{1}{2}$ больше модуля числа $-\frac{1}{3}$, то $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{2} < -\frac{1}{3}$.

б) Сравним $-\frac{1}{5}$ и $-\frac{1}{2}$.

Сравним модули: $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{2}$. Общий знаменатель 10:

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$

Так как $2 < 5$, то $\frac{2}{10} < \frac{5}{10}$, следовательно, $\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$.

Поскольку модуль числа $-\frac{1}{5}$ меньше модуля числа $-\frac{1}{2}$, то $-\frac{1}{5} > -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{5} > -\frac{1}{2}$.

в) Сравним $-\frac{1}{6}$ и $-\frac{4}{11}$.

Сравним модули: $\frac{1}{6}$ и $\frac{4}{11}$. Общий знаменатель 66:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 11}{6 \cdot 11} = \frac{11}{66}$

$\frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 6}{11 \cdot 6} = \frac{24}{66}$

Так как $11 < 24$, то $\frac{11}{66} < \frac{24}{66}$, следовательно, $\frac{1}{6} < \frac{4}{11}$.

Значит, $-\frac{1}{6} > -\frac{4}{11}$.

Ответ: $-\frac{1}{6} > -\frac{4}{11}$.

г) Сравним $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{3}{4}$.

Сравним модули: $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{4}$. Общий знаменатель 4:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$

Так как $2 < 3$, то $\frac{2}{4} < \frac{3}{4}$, следовательно, $\frac{1}{2} < \frac{3}{4}$.

Значит, $-\frac{1}{2} > -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{2} > -\frac{3}{4}$.

д) Сравним $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{7}{10}$.

Сравним модули: $\frac{3}{5}$ и $\frac{7}{10}$. Общий знаменатель 10:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$

Так как $6 < 7$, то $\frac{6}{10} < \frac{7}{10}$, следовательно, $\frac{3}{5} < \frac{7}{10}$.

Значит, $-\frac{3}{5} > -\frac{7}{10}$.

Ответ: $-\frac{3}{5} > -\frac{7}{10}$.

е) Сравним $-\frac{5}{9}$ и $-\frac{2}{3}$.

Сравним модули: $\frac{5}{9}$ и $\frac{2}{3}$. Общий знаменатель 9:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9}$

Так как $5 < 6$, то $\frac{5}{9} < \frac{6}{9}$, следовательно, $\frac{5}{9} < \frac{2}{3}$.

Значит, $-\frac{5}{9} > -\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{5}{9} > -\frac{2}{3}$.

ж) Сравним $-\frac{11}{24}$ и $-\frac{1}{2}$.

Сравним модули: $\frac{11}{24}$ и $\frac{1}{2}$. Общий знаменатель 24:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24}$

Так как $11 < 12$, то $\frac{11}{24} < \frac{12}{24}$, следовательно, $\frac{11}{24} < \frac{1}{2}$.

Значит, $-\frac{11}{24} > -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{11}{24} > -\frac{1}{2}$.

з) Сравним $-\frac{5}{28}$ и $-\frac{1}{7}$.

Сравним модули: $\frac{5}{28}$ и $\frac{1}{7}$. Общий знаменатель 28:

$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{4}{28}$

Так как $5 > 4$, то $\frac{5}{28} > \frac{4}{28}$, следовательно, $\frac{5}{28} > \frac{1}{7}$.

Значит, $-\frac{5}{28} < -\frac{1}{7}$.

Ответ: $-\frac{5}{28} < -\frac{1}{7}$.

и) Сравним $-\frac{25}{32}$ и $-\frac{5}{8}$.

Сравним модули: $\frac{25}{32}$ и $\frac{5}{8}$. Общий знаменатель 32:

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 4} = \frac{20}{32}$

Так как $25 > 20$, то $\frac{25}{32} > \frac{20}{32}$, следовательно, $\frac{25}{32} > \frac{5}{8}$.

Значит, $-\frac{25}{32} < -\frac{5}{8}$.

Ответ: $-\frac{25}{32} < -\frac{5}{8}$.

к) Сравним $-\frac{9}{10}$ и $-\frac{14}{15}$.

Сравним модули: $\frac{9}{10}$ и $\frac{14}{15}$. Общий знаменатель 30:

$\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{27}{30}$

$\frac{14}{15} = \frac{14 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{28}{30}$

Так как $27 < 28$, то $\frac{27}{30} < \frac{28}{30}$, следовательно, $\frac{9}{10} < \frac{14}{15}$.

Значит, $-\frac{9}{10} > -\frac{14}{15}$.

Ответ: $-\frac{9}{10} > -\frac{14}{15}$.

л) Сравним $-\frac{1}{4}$ и $-\frac{7}{8}$.

Сравним модули: $\frac{1}{4}$ и $\frac{7}{8}$. Общий знаменатель 8:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$

Так как $2 < 7$, то $\frac{2}{8} < \frac{7}{8}$, следовательно, $\frac{1}{4} < \frac{7}{8}$.

Значит, $-\frac{1}{4} > -\frac{7}{8}$.

Ответ: $-\frac{1}{4} > -\frac{7}{8}$.

м) Сравним $-\frac{13}{24}$ и $-\frac{17}{36}$.

Сравним модули: $\frac{13}{24}$ и $\frac{17}{36}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 24 и 36. Это НОК(24, 36) = 72.

Приведем дроби к знаменателю 72:

$\frac{13}{24} = \frac{13 \cdot 3}{24 \cdot 3} = \frac{39}{72}$

$\frac{17}{36} = \frac{17 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{34}{72}$

Так как $39 > 34$, то $\frac{39}{72} > \frac{34}{72}$, следовательно, $\frac{13}{24} > \frac{17}{36}$.

Значит, $-\frac{13}{24} < -\frac{17}{36}$.

Ответ: $-\frac{13}{24} < -\frac{17}{36}$.

489. Запишите дроби $- \frac{1}{2}$, $- \frac{2}{3}$, $- \frac{3}{4}$ в порядке возрастания.

Чтобы записать дроби $-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{4}$ в порядке возрастания, нужно сравнить их значения. В наборе есть два отрицательных числа и одно положительное.

1. Любое положительное число больше любого отрицательного. Поэтому дробь $\frac{2}{3}$ является самой большой из трех.

2. Теперь сравним два отрицательных числа: $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{3}{4}$. Чтобы их сравнить, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 2 и 4 равно 4. Это и будет наш общий знаменатель.

Приведем дробь $-\frac{1}{2}$ к знаменателю 4, умножив ее числитель и знаменатель на 2:

$-\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = -\frac{2}{4}$

Теперь сравним дроби $-\frac{2}{4}$ и $-\frac{3}{4}$.

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Сравним их модули:

$|-\frac{2}{4}| = \frac{2}{4}$

$|-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$

Так как $\frac{3}{4} > \frac{2}{4}$, то $-\frac{3}{4} < -\frac{2}{4}$.

Это означает, что $-\frac{3}{4} < -\frac{1}{2}$.

3. Теперь мы можем расположить все три дроби в порядке возрастания (от наименьшей к наибольшей):

$-\frac{3}{4}$ (наименьшее), $-\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$ (наибольшее).

Ответ: $-\frac{3}{4}; -\frac{1}{2}; \frac{2}{3}$

490. Запишите дроби $-\frac{1}{2}$, $\frac{5}{6}$, $-\frac{1}{3}$ в порядке убывания.

Чтобы записать дроби $\frac{1}{2}$, $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{3}$ в порядке убывания, то есть от наибольшей к наименьшей, их необходимо сравнить между собой. Для сравнения дробей с разными знаменателями их нужно привести к общему знаменателю.

Знаменатели данных дробей: 2, 6 и 3. Наименьшим общим знаменателем будет наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. НОК(2, 3, 6) = 6.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 6, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:

Для дроби $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель равен $6 \div 2 = 3$:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$

Дробь $\frac{5}{6}$ уже имеет знаменатель 6, поэтому она остается без изменений.

Для дроби $\frac{1}{3}$ дополнительный множитель равен $6 \div 3 = 2$:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6}$

Теперь у нас есть три дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{3}{6}$, $\frac{5}{6}$ и $\frac{2}{6}$. Из дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Сравним числители: $5 > 3 > 2$.

Следовательно, дроби в порядке убывания располагаются так: $\frac{5}{6}$, $\frac{3}{6}$, $\frac{2}{6}$.

Заменив дроби на их исходные значения, получим итоговый ряд:

$\frac{5}{6}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{6}; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}$.

491. Верно ли, что если $ - \frac{4}{7} > - \frac{2}{3} $ и $ - \frac{2}{3} > - \frac{4}{5} $, то $ - \frac{4}{7} > - \frac{4}{5} $?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить истинность логического утверждения. Утверждение построено по принципу транзитивности для неравенств: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$. Это свойство всегда верно для чисел. Нам нужно проверить, являются ли исходные неравенства (условия) верными, и, следовательно, является ли верным всё утверждение.

1. Проверка первого условия: $-\frac{4}{7} > -\frac{2}{3}$

Для сравнения двух дробей приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 3 равен 21.

$-\frac{4}{7} = -\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = -\frac{12}{21}$

$-\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = -\frac{14}{21}$

Теперь сравним полученные дроби: $-\frac{12}{21}$ и $-\frac{14}{21}$. Поскольку числитель $-12$ больше, чем числитель $-14$ ($-12 > -14$), то и дробь $-\frac{12}{21}$ больше дроби $-\frac{14}{21}$.

Таким образом, неравенство $-\frac{4}{7} > -\frac{2}{3}$ является верным.

2. Проверка второго условия: $-\frac{2}{3} > -\frac{4}{5}$

Приведём эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 равен 15.

$-\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -\frac{10}{15}$

$-\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = -\frac{12}{15}$

Сравниваем дроби $-\frac{10}{15}$ и $-\frac{12}{15}$. Так как $-10 > -12$, то $-\frac{10}{15} > -\frac{12}{15}$.

Таким образом, неравенство $-\frac{2}{3} > -\frac{4}{5}$ также является верным.

3. Проверка заключения: $-\frac{4}{7} > -\frac{4}{5}$

Так как оба условия ($-\frac{4}{7} > -\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{3} > -\frac{4}{5}$) верны, то в силу свойства транзитивности заключение ($-\frac{4}{7} > -\frac{4}{5}$) также должно быть верным. Выполним прямую проверку.

Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 5 равен 35.

$-\frac{4}{7} = -\frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = -\frac{20}{35}$

$-\frac{4}{5} = -\frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = -\frac{28}{35}$

Сравниваем дроби $-\frac{20}{35}$ и $-\frac{28}{35}$. Так как $-20 > -28$, то $-\frac{20}{35} > -\frac{28}{35}$.

Таким образом, неравенство $-\frac{4}{7} > -\frac{4}{5}$ тоже является верным.

Все части утверждения (оба условия и заключение) являются истинными. Следовательно, всё утверждение целиком является верным.

Ответ: да, утверждение верно.