Страница 99 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

497. Сформулируйте правила сложения и вычитания дробей с общим положительным знаменателем.

Правило сложения дробей с общим положительным знаменателем

Чтобы сложить две или несколько дробей с одинаковым положительным знаменателем, необходимо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

В общем виде это правило записывается следующей формулой: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $, где $c > 0$.

Пример: Сложим дроби $ \frac{2}{9} $ и $ \frac{5}{9} $. Знаменатели у дробей одинаковые и равны 9. Складываем числители: $2 + 5 = 7$. Знаменатель оставляем прежним.
$ \frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{2+5}{9} = \frac{7}{9} $

Ответ: Чтобы сложить дроби с общим положительным знаменателем, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Правило вычитания дробей с общим положительным знаменателем

Чтобы из одной дроби вычесть другую с таким же положительным знаменателем, необходимо из числителя первой дроби (уменьшаемого) вычесть числитель второй дроби (вычитаемого), а знаменатель оставить без изменений.

В общем виде это правило записывается следующей формулой: $ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $, где $c > 0$.

Пример: Найдем разность дробей $ \frac{11}{15} $ и $ \frac{4}{15} $. Знаменатели у дробей одинаковые и равны 15. Вычитаем из числителя первой дроби числитель второй: $11 - 4 = 7$. Знаменатель оставляем прежним.
$ \frac{11}{15} - \frac{4}{15} = \frac{11-4}{15} = \frac{7}{15} $

Ответ: Чтобы вычесть дроби с общим положительным знаменателем, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же.

498 Чему равна сумма противоположных дробей?

Противоположными называются два числа (включая дроби), которые равны по модулю (абсолютной величине), но имеют разные знаки. Для любой дроби, например $ \frac{a}{b} $, противоположной ей будет дробь $ -\frac{a}{b} $.

Сумма двух любых противоположных чисел всегда равна нулю. Проверим это правило для дробей. Для этого найдем сумму дроби $ \frac{a}{b} $ и противоположной ей дроби $ -\frac{a}{b} $:

$ \frac{a}{b} + (-\frac{a}{b}) $

Сложение отрицательного числа эквивалентно вычитанию, поэтому выражение можно переписать так:

$ \frac{a}{b} - \frac{a}{b} = \frac{a-a}{b} = \frac{0}{b} = 0 $

Таким образом, мы видим, что результат вычитания дроби из самой себя всегда равен нулю (при условии, что знаменатель $ b $ не равен нулю).

Рассмотрим конкретный пример. Возьмем дробь $ \frac{4}{9} $ и противоположную ей дробь $ -\frac{4}{9} $. Их сумма будет равна:

$ \frac{4}{9} + (-\frac{4}{9}) = \frac{4}{9} - \frac{4}{9} = \frac{4-4}{9} = \frac{0}{9} = 0 $

Следовательно, сумма противоположных дробей всегда равна нулю.

Ответ: 0

492. Как вычислить сумму или разность дробей с разными знаменателями?

Чтобы вычислить сумму или разность дробей с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Для этого следует выполнить следующий алгоритм:

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ).

В качестве общего знаменателя удобнее всего использовать наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей исходных дробей. Это число и будет наименьшим общим знаменателем.

2. Найти дополнительные множители для каждой дроби.

Для каждой дроби необходимо найти свой дополнительный множитель. Для этого новый общий знаменатель (НОЗ) делят на знаменатель данной дроби.

3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Эта операция приводит к получению дробей, равных исходным, но имеющих одинаковый (общий) знаменатель.

4. Выполнить сложение или вычитание.

Теперь, когда у дробей одинаковые знаменатели, можно сложить или вычесть их числители. Знаменатель при этом остается неизменным.

5. При необходимости, упростить результат.

Если числитель и знаменатель полученной дроби имеют общие делители, дробь следует сократить. Если дробь неправильная (числитель больше знаменателя), из неё можно выделить целую часть.

Пример вычисления суммы: $ \frac{5}{6} + \frac{1}{4} $

1. Находим НОК знаменателей 6 и 4. НОК(6, 4) = 12. Значит, НОЗ = 12.

2. Находим дополнительные множители: для первой дроби $ 12 \div 6 = 2 $; для второй дроби $ 12 \div 4 = 3 $.

3. Умножаем: $ \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12} $ и $ \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $.

4. Складываем: $ \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{10 + 3}{12} = \frac{13}{12} $.

5. Упрощаем: $ \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12} $.

Пример вычисления разности: $ \frac{7}{8} - \frac{5}{12} $

1. Находим НОК знаменателей 8 и 12. НОК(8, 12) = 24. Значит, НОЗ = 24.

2. Находим дополнительные множители: для первой дроби $ 24 \div 8 = 3 $; для второй дроби $ 24 \div 12 = 2 $.

3. Умножаем: $ \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24} $ и $ \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24} $.

4. Вычитаем: $ \frac{21}{24} - \frac{10}{24} = \frac{21 - 10}{24} = \frac{11}{24} $.

5. Дробь $ \frac{11}{24} $ несократимая и правильная, поэтому упрощение не требуется.

Ответ: Чтобы вычислить сумму или разность дробей с разными знаменателями, нужно: 1) привести дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сложить или вычесть их числители, оставив знаменатель тот же; 3) при необходимости сократить полученную дробь и/или выделить целую часть.

Выполните действия (500–501):

500. а) $\frac{8}{9} + \frac{5}{9}$;

б) $\frac{17}{25} - \frac{8}{25}$;

в) $\frac{31}{32} + \frac{63}{64}$;

г) $\frac{23}{68} - \frac{5}{17}$;

д) $\frac{50}{49} + \frac{15}{56}$.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
$ \frac{8}{9} + \frac{5}{9} = \frac{8+5}{9} = \frac{13}{9} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число. Для этого разделим числитель на знаменатель. Частное будет целой частью, остаток — числителем дробной части, а делитель — знаменателем.
$ 13 \div 9 = 1 $ (остаток $4$)
$ \frac{13}{9} = 1\frac{4}{9} $
Ответ: $ 1\frac{4}{9} $.

б) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
$ \frac{17}{25} - \frac{8}{25} = \frac{17-8}{25} = \frac{9}{25} $
Ответ: $ \frac{9}{25} $.

в) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 32 и 64 равен 64. Дополнительный множитель для первой дроби равен $64 \div 32 = 2$.
$ \frac{31}{32} + \frac{63}{64} = \frac{31 \cdot 2}{32 \cdot 2} + \frac{63}{64} = \frac{62}{64} + \frac{63}{64} $
Теперь складываем числители:
$ \frac{62+63}{64} = \frac{125}{64} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ 125 \div 64 = 1 $ (остаток $61$)
$ \frac{125}{64} = 1\frac{61}{64} $
Ответ: $ 1\frac{61}{64} $.

г) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 68 и 17 равен 68, так как $68 = 17 \cdot 4$. Дополнительный множитель для второй дроби равен 4.
$ \frac{23}{68} - \frac{5}{17} = \frac{23}{68} - \frac{5 \cdot 4}{17 \cdot 4} = \frac{23}{68} - \frac{20}{68} $
Теперь вычитаем числители:
$ \frac{23-20}{68} = \frac{3}{68} $
Ответ: $ \frac{3}{68} $.

д) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 49 и 56.
Разложим знаменатели на простые множители:
$ 49 = 7 \cdot 7 = 7^2 $
$ 56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7 $
НОК(49, 56) = $ 2^3 \cdot 7^2 = 8 \cdot 49 = 392 $.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $ 392 \div 49 = 8 $.
Для второй дроби: $ 392 \div 56 = 7 $.
Приводим дроби к общему знаменателю и складываем:
$ \frac{50}{49} + \frac{15}{56} = \frac{50 \cdot 8}{49 \cdot 8} + \frac{15 \cdot 7}{56 \cdot 7} = \frac{400}{392} + \frac{105}{392} = \frac{400+105}{392} = \frac{505}{392} $
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$ 505 \div 392 = 1 $ (остаток $113$)
$ \frac{505}{392} = 1\frac{113}{392} $
Ответ: $ 1\frac{113}{392} $.

501. а) $(-56)+17$;

б) $42+(-29)$;

в) $(-39)+(-57)$;

г) $(-48)+81$;

д) $37+(-82)$;

е) $(-68)+(-51)$.

а) Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из модуля большего слагаемого вычесть модуль меньшего и перед полученным результатом поставить знак слагаемого с большим модулем.
Модули слагаемых: $|-56| = 56$ и $|17| = 17$.
Поскольку $|-56| > |17|$, результат будет со знаком минус.
Вычисляем разность модулей: $56 - 17 = 39$.
Таким образом, $(-56) + 17 = -39$.
Ответ: $-39$

б) Складываем числа с разными знаками: $42 + (-29)$.
Модули слагаемых: $|42| = 42$ и $|-29| = 29$.
Поскольку $|42| > |-29|$, результат будет со знаком плюс (положительным).
Вычисляем разность модулей: $42 - 29 = 13$.
Таким образом, $42 + (-29) = 13$.
Ответ: $13$

в) Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученной суммой поставить знак минус.
Складываем модули слагаемых: $|-39| + |-57| = 39 + 57 = 96$.
Ставим перед результатом знак минус.
Таким образом, $(-39) + (-57) = -96$.
Ответ: $-96$

г) Складываем числа с разными знаками: $(-48) + 81$.
Модули слагаемых: $|-48| = 48$ и $|81| = 81$.
Поскольку $|81| > |-48|$, результат будет со знаком плюс (положительным).
Вычисляем разность модулей: $81 - 48 = 33$.
Таким образом, $(-48) + 81 = 33$.
Ответ: $33$

д) Складываем числа с разными знаками: $37 + (-82)$.
Модули слагаемых: $|37| = 37$ и $|-82| = 82$.
Поскольку $|-82| > |37|$, результат будет со знаком минус.
Вычисляем разность модулей: $82 - 37 = 45$.
Таким образом, $37 + (-82) = -45$.
Ответ: $-45$

е) Складываем два отрицательных числа: $(-68) + (-51)$.
Складываем их модули: $|-68| + |-51| = 68 + 51 = 119$.
Ставим перед полученной суммой знак минус.
Таким образом, $(-68) + (-51) = -119$.
Ответ: $-119$

?502. По каким формулам можно складывать и вычитать дроби?

Складывать и вычитать дроби можно по разным формулам, в зависимости от того, одинаковые у них знаменатели или разные.

Сложение дробей

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Формула: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

2. Сложение дробей с разными знаменателями.
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их необходимо сначала привести к общему знаменателю. Для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, затем для каждой дроби вычисляют дополнительный множитель и умножают на него числитель. После этого полученные дроби складывают по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Общая формула выглядит так: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$

Ответ: Формула для сложения дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$. Формула для сложения дробей с разными знаменателями: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}$.

Вычитание дробей

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Чтобы вычесть одну дробь из другой с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. Формула: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

2. Вычитание дробей с разными знаменателями.
Как и при сложении, дроби сначала приводят к общему знаменателю. Затем выполняют вычитание по правилу для дробей с одинаковыми знаменателями. Общая формула: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$

Ответ: Формула для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$. Формула для вычитания дробей с разными знаменателями: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d}$.

Вычислите (503–514):

503. а) $ -\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} $;

б) $ -\frac{1}{3} + \frac{-1}{3} $;

в) $ -\frac{2}{3} + \frac{-1}{3} $;

г) $ -\frac{2}{7} + \frac{-5}{7} $;

д) $ -\frac{7}{12} + \frac{-1}{12} $.

а) Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

$ \frac{-1}{2} + \frac{-1}{2} = \frac{-1 + (-1)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

Ответ: $ -1 $

б) Складываем дроби с одинаковым знаменателем 3.

$ \frac{-1}{3} + \frac{-1}{3} = \frac{-1 + (-1)}{3} = \frac{-2}{3} $

Ответ: $ -\frac{2}{3} $

в) Складываем дроби с одинаковым знаменателем 3.

$ \frac{-2}{3} + \frac{-1}{3} = \frac{-2 + (-1)}{3} = \frac{-3}{3} = -1 $

Ответ: $ -1 $

г) Складываем дроби с одинаковым знаменателем 7.

$ \frac{-2}{7} + \frac{-5}{7} = \frac{-2 + (-5)}{7} = \frac{-7}{7} = -1 $

Ответ: $ -1 $

д) Складываем дроби с одинаковым знаменателем 12. После сложения числителей сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4.

$ \frac{-7}{12} + \frac{-1}{12} = \frac{-7 + (-1)}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = -\frac{2}{3} $

Ответ: $ -\frac{2}{3} $