Страница 101 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

514. а) $ -\frac{1}{5} + \frac{3}{10} - \frac{7}{20} $

б) $ -\frac{3}{20} - \frac{7}{30} + \frac{2}{40} $

в) $ \frac{11}{60} - \frac{23}{30} - \frac{17}{20} $

а)

Чтобы найти значение выражения $-\frac{1}{5} + \frac{3}{10} - \frac{7}{20}$, необходимо привести все дроби к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: 5, 10 и 20. Наименьшим общим кратным (НОК) для этих чисел является 20.
Приведём каждую дробь к знаменателю 20, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
Для дроби $-\frac{1}{5}$ дополнительный множитель $20 \div 5 = 4$:
$-\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = -\frac{4}{20}$
Для дроби $\frac{3}{10}$ дополнительный множитель $20 \div 10 = 2$:
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{6}{20}$
Дробь $-\frac{7}{20}$ уже имеет нужный знаменатель.
Теперь выполним действия с дробями с одинаковыми знаменателями:
$-\frac{4}{20} + \frac{6}{20} - \frac{7}{20} = \frac{-4 + 6 - 7}{20} = \frac{2 - 7}{20} = \frac{-5}{20}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{-5}{20} = \frac{-5 \div 5}{20 \div 5} = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}$

б)

Рассмотрим выражение $-\frac{3}{20} - \frac{7}{30} + \frac{2}{40}$.
Сначала можно упростить последнюю дробь $\frac{2}{40}$, сократив её на 2:
$\frac{2}{40} = \frac{2 \div 2}{40 \div 2} = \frac{1}{20}$
Выражение примет вид: $-\frac{3}{20} - \frac{7}{30} + \frac{1}{20}$.
Сгруппируем дроби с одинаковым знаменателем 20:
$(-\frac{3}{20} + \frac{1}{20}) - \frac{7}{30} = \frac{-3+1}{20} - \frac{7}{30} = -\frac{2}{20} - \frac{7}{30}$
Сократим дробь $-\frac{2}{20}$ на 2: $-\frac{2 \div 2}{20 \div 2} = -\frac{1}{10}$.
Теперь задача сводится к вычислению $-\frac{1}{10} - \frac{7}{30}$.
Общий знаменатель для 10 и 30 равен 30. Приведём первую дробь к этому знаменателю:
$-\frac{1}{10} = -\frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = -\frac{3}{30}$
Выполним вычитание:
$-\frac{3}{30} - \frac{7}{30} = \frac{-3 - 7}{30} = \frac{-10}{30}$
Сократим результат на 10:
$\frac{-10}{30} = \frac{-10 \div 10}{30 \div 10} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

в)

Чтобы найти значение выражения $\frac{11}{60} - \frac{23}{30} - \frac{17}{20}$, приведём все дроби к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: 60, 30 и 20. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел равно 60.
Приведём дроби к знаменателю 60:
Дробь $\frac{11}{60}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для дроби $\frac{23}{30}$ дополнительный множитель $60 \div 30 = 2$:
$\frac{23}{30} = \frac{23 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{46}{60}$
Для дроби $\frac{17}{20}$ дополнительный множитель $60 \div 20 = 3$:
$\frac{17}{20} = \frac{17 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{51}{60}$
Подставим полученные дроби в выражение и выполним вычитание:
$\frac{11}{60} - \frac{46}{60} - \frac{51}{60} = \frac{11 - 46 - 51}{60}$
Вычислим числитель:
$11 - 46 = -35$
$-35 - 51 = -86$
Получаем дробь $\frac{-86}{60}$.
Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{-86 \div 2}{60 \div 2} = -\frac{43}{30}$
Это несократимая дробь, так как 43 — простое число.
Ответ: $-\frac{43}{30}$

515. Найдите число $x$, для которого верно равенство:

а) $x + \frac{1}{8} = -\frac{5}{8};$

б) $\frac{1}{7} + x = -\frac{3}{7};$

в) $x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2};$

г) $x - \frac{1}{6} = \frac{1}{3};$

д) $\frac{2}{3} - x = -\frac{1}{7};$

е) $\frac{1}{6} - x = -\frac{4}{9}.$

а) Чтобы найти $x$ в уравнении $x + \frac{1}{8} = -\frac{5}{8}$, необходимо из суммы ($-\frac{5}{8}$) вычесть известное слагаемое ($\frac{1}{8}$).
$x = -\frac{5}{8} - \frac{1}{8}$
Поскольку знаменатели дробей одинаковы, выполняем вычитание числителей:
$x = \frac{-5-1}{8} = -\frac{6}{8}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = -\frac{3}{4}$
Ответ: $-\frac{3}{4}$

б) Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$ в уравнении $\frac{1}{7} + x = -\frac{3}{7}$, нужно из суммы ($-\frac{3}{7}$) вычесть известное слагаемое ($\frac{1}{7}$).
$x = -\frac{3}{7} - \frac{1}{7}$
Выполняем вычитание числителей:
$x = \frac{-3-1}{7} = -\frac{4}{7}$
Ответ: $-\frac{4}{7}$

в) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$ в уравнении $x - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}$, нужно к разности ($-\frac{1}{2}$) прибавить вычитаемое ($\frac{1}{4}$).
$x = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
Приведем дроби к общему знаменателю 4:
$x = -\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{1}{4}$
Теперь выполним сложение:
$x = \frac{-2+1}{4} = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}$

г) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $x$ в уравнении $x - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$, нужно к разности ($\frac{1}{3}$) прибавить вычитаемое ($\frac{1}{6}$).
$x = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$x = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6}$
Выполним сложение:
$x = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6}$
Сократим дробь на 3:
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

д) Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$ в уравнении $\frac{2}{3} - x = -\frac{1}{7}$, нужно из уменьшаемого ($\frac{2}{3}$) вычесть разность ($-\frac{1}{7}$).
$x = \frac{2}{3} - (-\frac{1}{7})$
Вычитание отрицательного числа эквивалентно сложению:
$x = \frac{2}{3} + \frac{1}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю 21:
$x = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{14}{21} + \frac{3}{21}$
Сложим дроби:
$x = \frac{14+3}{21} = \frac{17}{21}$
Ответ: $\frac{17}{21}$

е) Чтобы найти неизвестное вычитаемое $x$ в уравнении $\frac{1}{6} - x = -\frac{4}{9}$, нужно из уменьшаемого ($\frac{1}{6}$) вычесть разность ($-\frac{4}{9}$).
$x = \frac{1}{6} - (-\frac{4}{9})$
$x = \frac{1}{6} + \frac{4}{9}$
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен 18:
$x = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{3}{18} + \frac{8}{18}$
Выполним сложение:
$x = \frac{3+8}{18} = \frac{11}{18}$
Ответ: $\frac{11}{18}$

516. Найдите число, которое:

а) на $ \frac{1}{2} $ больше числа $ -\frac{1}{2} $;

б) на $ \frac{1}{4} $ меньше числа $ \frac{1}{6} $.

а) Чтобы найти число, которое на $\frac{1}{2}$ больше числа $-\frac{1}{2}$, необходимо выполнить сложение. К исходному числу $-\frac{1}{2}$ прибавляем $\frac{1}{2}$.

Вычислим сумму:

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю.

Ответ: $0$.

б) Чтобы найти число, которое на $\frac{1}{4}$ меньше числа $\frac{1}{6}$, необходимо выполнить вычитание. Из исходного числа $\frac{1}{6}$ вычитаем $\frac{1}{4}$.

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 6 и 4 равно 12. Это и будет наш общий знаменатель.

Приведем каждую дробь к знаменателю 12:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2}{12} - \frac{3}{12} = \frac{2 - 3}{12} = -\frac{1}{12}$

Ответ: $-\frac{1}{12}$.

517. Запишите разность дробей в виде равной ей суммы дробей:

а) $\frac{1}{3} - \frac{4}{3}$

б) $-\frac{1}{5} - \frac{1}{5}$

в) $\frac{-4}{7} - \frac{-8}{7}$

Для того чтобы представить разность дробей в виде равной ей суммы, необходимо воспользоваться правилом, согласно которому вычитание одного числа из другого равносильно прибавлению к уменьшаемому числа, противоположного вычитаемому. Это можно записать в виде формулы: $a - b = a + (-b)$.

а)

В данном выражении $\frac{1}{3} - \frac{4}{3}$ уменьшаемое равно $\frac{1}{3}$, а вычитаемое равно $\frac{4}{3}$.

Число, противоположное вычитаемому $\frac{4}{3}$, это $-\frac{4}{3}$.

Заменим вычитание на сложение с противоположным числом:

$\frac{1}{3} - \frac{4}{3} = \frac{1}{3} + (-\frac{4}{3})$

Ответ: $\frac{1}{3} + (-\frac{4}{3})$.

б)

В выражении $-\frac{1}{5} - \frac{1}{5}$ уменьшаемое равно $-\frac{1}{5}$, а вычитаемое равно $\frac{1}{5}$.

Число, противоположное вычитаемому $\frac{1}{5}$, это $-\frac{1}{5}$.

Заменим вычитание на сложение с противоположным числом:

$-\frac{1}{5} - \frac{1}{5} = -\frac{1}{5} + (-\frac{1}{5})$

Ответ: $-\frac{1}{5} + (-\frac{1}{5})$.

в)

В выражении $\frac{-4}{7} - \frac{-8}{7}$ уменьшаемое равно $\frac{-4}{7}$, а вычитаемое равно $\frac{-8}{7}$.

Число, противоположное вычитаемому $\frac{-8}{7}$, это $-(-\frac{8}{7}) = \frac{8}{7}$.

Заменим вычитание на сложение с противоположным числом:

$\frac{-4}{7} - \frac{-8}{7} = \frac{-4}{7} + \frac{8}{7}$

Ответ: $\frac{-4}{7} + \frac{8}{7}$.

518. Вычислите, предварительно заменив разность дробей равной суммой:

а) $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3});$

б) $\frac{4}{9} - (-\frac{7}{9});$

в) $\frac{9}{16} - (-\frac{3}{8});$

г) $-\frac{1}{2} - (-\frac{3}{8});$

д) $-\frac{9}{10} - (-\frac{15}{16});$

е) $\frac{25}{26} - (-\frac{11}{13}).$

а) Чтобы вычесть из числа $\frac{1}{2}$ отрицательное число $-\frac{1}{3}$, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому, то есть $\frac{1}{3}$. Таким образом, заменяем разность на сумму:
$\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$.
Далее приводим дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$.

б) Заменяем вычитание отрицательной дроби на сложение с противоположной ей положительной дробью:
$\frac{4}{9} - (-\frac{7}{9}) = \frac{4}{9} + \frac{7}{9}$.
Так как знаменатели у дробей одинаковые, складываем их числители:
$\frac{4+7}{9} = \frac{11}{9}$.
Ответ: $\frac{11}{9}$.

в) Заменяем разность дробей на равную ей сумму:
$-\frac{9}{16} - (-\frac{3}{8}) = -\frac{9}{16} + \frac{3}{8}$.
Приводим дроби к общему знаменателю 16:
$-\frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = -\frac{9}{16} + \frac{6}{16} = \frac{-9+6}{16} = -\frac{3}{16}$.
Ответ: $-\frac{3}{16}$.

г) Заменяем вычитание отрицательной дроби на сложение:
$-\frac{1}{2} - (-\frac{3}{8}) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{8}$.
Общий знаменатель для 2 и 8 — это 8. Приводим первую дробь к этому знаменателю:
$-\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8} = -\frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{-4+3}{8} = -\frac{1}{8}$.
Ответ: $-\frac{1}{8}$.

д) Заменяем разность дробей на сумму:
$-\frac{9}{10} - (-\frac{15}{16}) = -\frac{9}{10} + \frac{15}{16}$.
Находим наименьший общий знаменатель для 10 и 16. НОК(10, 16) = 80.
Приводим дроби к знаменателю 80:
$-\frac{9 \cdot 8}{10 \cdot 8} + \frac{15 \cdot 5}{16 \cdot 5} = -\frac{72}{80} + \frac{75}{80} = \frac{-72+75}{80} = \frac{3}{80}$.
Ответ: $\frac{3}{80}$.

е) Заменяем разность на сумму, прибавляя к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому:
$\frac{25}{26} - (-\frac{11}{13}) = \frac{25}{26} + \frac{11}{13}$.
Общий знаменатель для 26 и 13 — это 26. Приводим вторую дробь к этому знаменателю:
$\frac{25}{26} + \frac{11 \cdot 2}{13 \cdot 2} = \frac{25}{26} + \frac{22}{26} = \frac{25+22}{26} = \frac{47}{26}$.
Ответ: $\frac{47}{26}$.