Страница 108 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

550. a) $\frac{23 \cdot 35 + 38 \cdot 35}{17 \cdot 61 + 18 \cdot 61};$

б) $\frac{49 \cdot 99 + 28 \cdot 99}{12 \cdot 154 + 21 \cdot 154};$

в) $\frac{75 \cdot 27 + 75 \cdot 37}{37 \cdot 48 - 12 \cdot 48};$

г) $\frac{679 \cdot 846 + 679 \cdot 54}{679 \cdot 846 - 679 \cdot 46}.$

а)

Для решения данного примера воспользуемся распределительным свойством умножения: $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$.

$\frac{23 \cdot 35 + 38 \cdot 35}{17 \cdot 61 + 18 \cdot 61}$

В числителе вынесем общий множитель 35 за скобки: $23 \cdot 35 + 38 \cdot 35 = (23 + 38) \cdot 35 = 61 \cdot 35$.

В знаменателе вынесем общий множитель 61 за скобки: $17 \cdot 61 + 18 \cdot 61 = (17 + 18) \cdot 61 = 35 \cdot 61$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь: $\frac{61 \cdot 35}{35 \cdot 61}$.

Так как числитель и знаменатель равны (согласно переместительному свойству умножения $a \cdot b = b \cdot a$), то значение дроби равно 1. $\frac{61 \cdot 35}{35 \cdot 61} = 1$.

Ответ: 1

б)

$\frac{49 \cdot 99 + 28 \cdot 99}{12 \cdot 154 + 21 \cdot 154}$

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе, используя распределительное свойство.

В числителе: $49 \cdot 99 + 28 \cdot 99 = (49 + 28) \cdot 99 = 77 \cdot 99$.

В знаменателе: $12 \cdot 154 + 21 \cdot 154 = (12 + 21) \cdot 154 = 33 \cdot 154$.

Получим дробь: $\frac{77 \cdot 99}{33 \cdot 154}$.

Теперь последовательно сократим дробь. Сократим 77 и 33 на 11: $\frac{7 \cdot 99}{3 \cdot 154}$.

Сократим 99 и 3 на 3: $\frac{7 \cdot 33}{154}$.

Сократим 7 и 154 на 7 (поскольку $154 = 7 \cdot 22$): $\frac{33}{22}$.

И, наконец, сократим 33 и 22 на 11: $\frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

в)

Для решения этого примера также используем распределительное свойство умножения: $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$ для числителя и $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$ для знаменателя.

$\frac{75 \cdot 27 + 75 \cdot 37}{37 \cdot 48 - 12 \cdot 48}$

Преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель 75: $75 \cdot 27 + 75 \cdot 37 = 75 \cdot (27 + 37) = 75 \cdot 64$.

Преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель 48: $37 \cdot 48 - 12 \cdot 48 = (37 - 12) \cdot 48 = 25 \cdot 48$.

Подставим результаты в дробь: $\frac{75 \cdot 64}{25 \cdot 48}$.

Теперь сократим дробь. Сократим 75 и 25 на 25: $\frac{3 \cdot 64}{1 \cdot 48} = \frac{3 \cdot 64}{48}$.

Сократим 64 и 48 на их наибольший общий делитель, 16 ($64 = 4 \cdot 16$, $48 = 3 \cdot 16$): $\frac{3 \cdot 4}{3}$.

Сократим оставшиеся тройки и получим результат: $4$.

Ответ: 4

г)

$\frac{679 \cdot 846 + 679 \cdot 54}{679 \cdot 846 - 679 \cdot 46}$

Вынесем общий множитель 679 за скобки в числителе и знаменателе.

Числитель: $679 \cdot 846 + 679 \cdot 54 = 679 \cdot (846 + 54) = 679 \cdot 900$.

Знаменатель: $679 \cdot 846 - 679 \cdot 46 = 679 \cdot (846 - 46) = 679 \cdot 800$.

Получим дробь: $\frac{679 \cdot 900}{679 \cdot 800}$.

Сократим общий множитель 679: $\frac{900}{800}$.

Сократим дробь на 100: $\frac{9}{8}$.

Ответ: $\frac{9}{8}$

Вычислите (551-555):

551. а) $\frac{7}{25} - \frac{11}{25} - \frac{2}{25}$;

б) $\frac{1}{72} - \frac{7}{72} - \frac{18}{72}$;

в) $\frac{19}{55} - \frac{18}{55} + \frac{4}{55}$;

г) $\frac{25}{64} - \frac{17}{64} - \frac{15}{64}$;

а) Чтобы вычислить значение выражения $\frac{7}{25} - \frac{11}{25} - \frac{2}{25}$, необходимо выполнить действия с числителями, так как знаменатели у всех дробей одинаковы (равны 25). Оставляем знаменатель без изменений и производим вычисления в числителе.

$\frac{7 - 11 - 2}{25} = \frac{-4 - 2}{25} = \frac{-6}{25} = -\frac{6}{25}$

Ответ: $-\frac{6}{25}$

б) В выражении $-\frac{1}{72} - \frac{7}{72} - \frac{18}{72}$ все дроби имеют общий знаменатель 72. Выполним действия с числителями, учитывая знаки.

$\frac{-1 - 7 - 18}{72} = \frac{-8 - 18}{72} = \frac{-26}{72}$

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. В данном случае, оба числа (26 и 72) делятся на 2.

$\frac{-26 \div 2}{72 \div 2} = -\frac{13}{36}$

Ответ: $-\frac{13}{36}$

в) Для вычисления выражения $-\frac{19}{55} - \frac{18}{55} + \frac{4}{55}$ произведем операции с числителями, так как знаменатель (55) у всех дробей одинаковый.

$\frac{-19 - 18 + 4}{55} = \frac{-37 + 4}{55} = \frac{-33}{55}$

Сократим полученную дробь. Числитель (-33) и знаменатель (55) делятся на 11.

$\frac{-33 \div 11}{55 \div 11} = -\frac{3}{5}$

Ответ: $-\frac{3}{5}$

г) В выражении $\frac{25}{64} - \frac{17}{64} - \frac{15}{64}$ знаменатели дробей одинаковы и равны 64. Выполним вычитание числителей.

$\frac{25 - 17 - 15}{64} = \frac{8 - 15}{64} = \frac{-7}{64} = -\frac{7}{64}$

Дробь является несократимой, так как числитель 7 и знаменатель 64 не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $-\frac{7}{64}$

552. а) $ -\frac{1}{5} + \frac{6}{25} - \frac{8}{25} $;

б) $ -\frac{1}{7} + \frac{2}{21} - \frac{3}{7} $;

в) $ -\frac{8}{49} - \frac{5}{7} - \frac{9}{49} $;

г) $ \frac{7}{10} - \frac{4}{15} - \frac{11}{30} $.

а)

Чтобы выполнить сложение и вычитание дробей $-\frac{1}{5} + \frac{6}{25} - \frac{8}{25}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 25 и 25 это 25. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 5:

$-\frac{1 \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{6}{25} - \frac{8}{25} = -\frac{5}{25} + \frac{6}{25} - \frac{8}{25}$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним операции с числителями:

$\frac{-5 + 6 - 8}{25} = \frac{1 - 8}{25} = \frac{-7}{25} = -\frac{7}{25}$

Ответ: $-\frac{7}{25}$

б)

Чтобы решить пример $-\frac{1}{7} + \frac{2}{21} - \frac{3}{7}$, найдем общий знаменатель для дробей. Наименьший общий знаменатель для 7 и 21 это 21. Приведем дроби со знаменателем 7 к знаменателю 21, домножив их числители и знаменатели на 3:

$-\frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{2}{21} - \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = -\frac{3}{21} + \frac{2}{21} - \frac{9}{21}$

Сложим и вычтем числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{-3 + 2 - 9}{21} = \frac{-1 - 9}{21} = \frac{-10}{21} = -\frac{10}{21}$

Ответ: $-\frac{10}{21}$

в)

Рассмотрим выражение $-\frac{8}{49} - \frac{5}{7} - \frac{9}{49}$. Наименьший общий знаменатель для 49 и 7 это 49. Приведем дробь $\frac{5}{7}$ к знаменателю 49, умножив ее числитель и знаменатель на 7:

$-\frac{8}{49} - \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 7} - \frac{9}{49} = -\frac{8}{49} - \frac{35}{49} - \frac{9}{49}$

Теперь выполним вычитание числителей:

$\frac{-8 - 35 - 9}{49} = \frac{-43 - 9}{49} = \frac{-52}{49} = -\frac{52}{49}$

Результат можно оставить в виде неправильной дроби или перевести в смешанное число: $-\frac{52}{49} = -1\frac{3}{49}$.

Ответ: $-\frac{52}{49}$

г)

Решим пример $\frac{7}{10} - \frac{4}{15} - \frac{11}{30}$. Сначала найдем наименьший общий знаменатель для чисел 10, 15 и 30. Это число 30. Приведем дроби к этому знаменателю:

Для $\frac{7}{10}$ дополнительный множитель 3: $\frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{21}{30}$

Для $\frac{4}{15}$ дополнительный множитель 2: $\frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}$

Третья дробь уже имеет знаменатель 30. Теперь подставим полученные дроби в исходное выражение:

$\frac{21}{30} - \frac{8}{30} - \frac{11}{30} = \frac{21 - 8 - 11}{30}$

Выполним действия в числителе:

$\frac{13 - 11}{30} = \frac{2}{30}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{2 \div 2}{30 \div 2} = \frac{1}{15}$

Ответ: $\frac{1}{15}$

553. a) $ -\frac{33}{80} + \left(\frac{3}{16} - \frac{39}{80}\right) $

б) $ \frac{2}{45} + \left(-\frac{3}{45} + \frac{7}{9}\right) $

в) $ \frac{7}{15} - \left(\frac{4}{15} - \frac{1}{5}\right) $

г) $ -\frac{5}{16} - \left(\frac{1}{16} - \frac{7}{8}\right) $

д) $ -\frac{1}{27} + \left(\frac{7}{9} - \frac{2}{3}\right) $

е) $ \left(-\frac{2}{15} - \frac{4}{5}\right) + \frac{3}{10} $

ж) $ \left(-\frac{2}{15} + \frac{4}{5}\right) - \frac{3}{10} $

з) $ -\left(\frac{5}{8} - \frac{5}{12}\right) + \frac{1}{24} $

а) $-\frac{33}{80} + (\frac{3}{16} - \frac{39}{80})$

Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 80.

$\frac{3}{16} - \frac{39}{80} = \frac{3 \cdot 5}{16 \cdot 5} - \frac{39}{80} = \frac{15}{80} - \frac{39}{80} = \frac{15 - 39}{80} = -\frac{24}{80}$

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$-\frac{33}{80} + (-\frac{24}{80}) = -\frac{33}{80} - \frac{24}{80} = \frac{-33 - 24}{80} = -\frac{57}{80}$

Ответ: $-\frac{57}{80}$

б) $\frac{2}{45} + (-\frac{3}{45} + \frac{7}{9})$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в скобках не меняются.

$\frac{2}{45} - \frac{3}{45} + \frac{7}{9} = (\frac{2}{45} - \frac{3}{45}) + \frac{7}{9} = \frac{2 - 3}{45} + \frac{7}{9} = -\frac{1}{45} + \frac{7}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю 45.

$-\frac{1}{45} + \frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} = -\frac{1}{45} + \frac{35}{45} = \frac{-1 + 35}{45} = \frac{34}{45}$

Ответ: $\frac{34}{45}$

в) $\frac{7}{15} - (\frac{4}{15} - \frac{1}{5})$

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 15.

$\frac{4}{15} - \frac{1}{5} = \frac{4}{15} - \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{4}{15} - \frac{3}{15} = \frac{4 - 3}{15} = \frac{1}{15}$

Теперь вычтем полученный результат из первой дроби:

$\frac{7}{15} - \frac{1}{15} = \frac{7 - 1}{15} = \frac{6}{15}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

г) $-\frac{5}{16} - (\frac{1}{16} - \frac{7}{8})$

Вычислим значение выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 16.

$\frac{1}{16} - \frac{7}{8} = \frac{1}{16} - \frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{1}{16} - \frac{14}{16} = \frac{1 - 14}{16} = -\frac{13}{16}$

Подставим результат в исходное выражение. Вычитание отрицательного числа равносильно сложению.

$-\frac{5}{16} - (-\frac{13}{16}) = -\frac{5}{16} + \frac{13}{16} = \frac{-5 + 13}{16} = \frac{8}{16}$

Сократим полученную дробь на 8.

$\frac{8 \div 8}{16 \div 8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

д) $-\frac{1}{27} + (\frac{7}{9} - \frac{2}{3})$

Найдем значение выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 9.

$\frac{7}{9} - \frac{2}{3} = \frac{7}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{7}{9} - \frac{6}{9} = \frac{7 - 6}{9} = \frac{1}{9}$

Теперь выполним сложение. Общий знаменатель для 27 и 9 - это 27.

$-\frac{1}{27} + \frac{1}{9} = -\frac{1}{27} + \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} = -\frac{1}{27} + \frac{3}{27} = \frac{-1 + 3}{27} = \frac{2}{27}$

Ответ: $\frac{2}{27}$

е) $(-\frac{2}{15} - \frac{4}{5}) + \frac{3}{10}$

Выполним действие в скобках. Общий знаменатель для 15 и 5 - это 15.

$-\frac{2}{15} - \frac{4}{5} = -\frac{2}{15} - \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = -\frac{2}{15} - \frac{12}{15} = \frac{-2 - 12}{15} = -\frac{14}{15}$

Теперь сложим полученный результат с дробью $\frac{3}{10}$. Найдем общий знаменатель для 15 и 10, который равен 30.

$-\frac{14}{15} + \frac{3}{10} = -\frac{14 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = -\frac{28}{30} + \frac{9}{30} = \frac{-28 + 9}{30} = -\frac{19}{30}$

Ответ: $-\frac{19}{30}$

ж) $(-\frac{2}{15} + \frac{4}{5}) - \frac{3}{10}$

Сначала выполним действие в скобках. Общий знаменатель для 15 и 5 - это 15.

$-\frac{2}{15} + \frac{4}{5} = -\frac{2}{15} + \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = -\frac{2}{15} + \frac{12}{15} = \frac{-2 + 12}{15} = \frac{10}{15}$

Теперь вычтем из результата дробь $\frac{3}{10}$. Найдем общий знаменатель для 15 и 10, который равен 30.

$\frac{10}{15} - \frac{3}{10} = \frac{10 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{20}{30} - \frac{9}{30} = \frac{20 - 9}{30} = \frac{11}{30}$

Ответ: $\frac{11}{30}$

з) $-(\frac{5}{8} - \frac{5}{12}) + \frac{1}{24}$

Вычислим значение выражения в скобках. Общий знаменатель для 8 и 12 - это 24.

$\frac{5}{8} - \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{15}{24} - \frac{10}{24} = \frac{15 - 10}{24} = \frac{5}{24}$

Теперь подставим результат в исходное выражение. Знак минус перед скобкой меняет знак результата на противоположный.

$-(\frac{5}{24}) + \frac{1}{24} = -\frac{5}{24} + \frac{1}{24} = \frac{-5 + 1}{24} = -\frac{4}{24}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4.

$-\frac{4 \div 4}{24 \div 4} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$

554. a) $\frac{3}{8} - \frac{2}{7} + \frac{5}{8} - \frac{5}{7};$

б) $\frac{11}{14} - \frac{7}{10} - \frac{21}{100} - \frac{13}{14};$

В) $\frac{12}{19} - \frac{15}{26} + \frac{3}{19} + \frac{9}{19};$

Г) $\frac{2}{7} - \frac{5}{9} - \frac{4}{9} - \frac{4}{7}.$

а) $\frac{3}{8} - \frac{2}{7} + \frac{5}{8} - \frac{5}{7}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями, чтобы упростить вычисления. Это возможно благодаря переместительному и сочетательному законам сложения.

$(\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) + (-\frac{2}{7} - \frac{5}{7}) = (\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) - (\frac{2}{7} + \frac{5}{7})$

Теперь выполним действия в каждой из групп:

$\frac{3+5}{8} - \frac{2+5}{7} = \frac{8}{8} - \frac{7}{7}$

Так как дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице, получаем:

$1 - 1 = 0$

Ответ: $0$.

б) $\frac{11}{14} - \frac{7}{10} - \frac{21}{100} - \frac{13}{14}$

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{11}{14} - \frac{13}{14}) - \frac{7}{10} - \frac{21}{100}$

Выполним вычитание в скобках:

$\frac{11-13}{14} - \frac{7}{10} - \frac{21}{100} = -\frac{2}{14} - \frac{7}{10} - \frac{21}{100}$

Сократим первую дробь $-\frac{2}{14}$ на 2:

$-\frac{1}{7} - \frac{7}{10} - \frac{21}{100}$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 7, 10 и 100 это 700.

$-\frac{1 \cdot 100}{7 \cdot 100} - \frac{7 \cdot 70}{10 \cdot 70} - \frac{21 \cdot 7}{100 \cdot 7} = -\frac{100}{700} - \frac{490}{700} - \frac{147}{700}$

Сложим числители:

$\frac{-100 - 490 - 147}{700} = \frac{-737}{700}$

Выделим целую часть:

$-\frac{737}{700} = -1\frac{37}{700}$

Ответ: $-1\frac{37}{700}$.

в) $-\frac{12}{19} - \frac{15}{26} + \frac{3}{19} + \frac{9}{19}$

Сгруппируем дроби с общим знаменателем 19:

$(-\frac{12}{19} + \frac{3}{19} + \frac{9}{19}) - \frac{15}{26}$

Выполним действия в скобках:

$\frac{-12 + 3 + 9}{19} - \frac{15}{26} = \frac{0}{19} - \frac{15}{26}$

Так как $\frac{0}{19} = 0$, выражение упрощается:

$0 - \frac{15}{26} = -\frac{15}{26}$

Ответ: $-\frac{15}{26}$.

г) $\frac{2}{7} - \frac{5}{9} - \frac{4}{9} - \frac{4}{7}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:

$(\frac{2}{7} - \frac{4}{7}) + (-\frac{5}{9} - \frac{4}{9}) = (\frac{2}{7} - \frac{4}{7}) - (\frac{5}{9} + \frac{4}{9})$

Выполним действия в каждой из групп:

$\frac{2-4}{7} - \frac{5+4}{9} = -\frac{2}{7} - \frac{9}{9}$

Упростим вторую дробь $\frac{9}{9} = 1$:

$-\frac{2}{7} - 1$

Запишем результат в виде смешанного числа:

$-1\frac{2}{7}$

Ответ: $-1\frac{2}{7}$.

555. a) $2 \cdot \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right);$

б) $\left(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}\right) \cdot (-3);$

в) $\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}\right);$

г) $-\frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{4} - \frac{3}{5}\right).$

а)

Сначала выполним действие в скобках. Для вычитания дробей $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{2} $ приведем их к общему знаменателю, который равен 4.

$ \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1 - 2}{4} = -\frac{1}{4} $

Теперь умножим полученный результат на 2:

$ 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} $

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

б)

Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{1}{9} $ и $ \frac{1}{3} $ равен 9.

$ \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9} - \frac{3}{9} = \frac{1 - 3}{9} = -\frac{2}{9} $

Теперь умножим полученный результат на -3. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$ \left(-\frac{2}{9}\right) \cdot (-3) = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $

в)

Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{2}{5} $ равен 15.

$ \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} - \frac{6}{15} = \frac{10 - 6}{15} = \frac{4}{15} $

Теперь умножим полученный результат на $ \frac{1}{2} $:

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{15} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 15} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15} $

Ответ: $ \frac{2}{15} $

г)

Выполним вычитание в скобках. Общий знаменатель для дробей $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{3}{5} $ равен 20.

$ \frac{3}{4} - \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{15}{20} - \frac{12}{20} = \frac{15 - 12}{20} = \frac{3}{20} $

Теперь умножим полученный результат на $ -\frac{1}{3} $:

$ -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{20} = -\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 20} = -\frac{3}{60} = -\frac{1}{20} $

Ответ: $ -\frac{1}{20} $

556. Определите знак произведения:

а) $(-1) \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{7}{13});$

б) $(-\frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot (\frac{-7}{-9});$

В) $(-\frac{8}{9}) \cdot (-\frac{5}{-9}) \cdot (-\frac{1}{5});$

Г) $(\frac{-1}{-5}) \cdot (-\frac{1}{4}) \cdot \frac{1}{5} \cdot (\frac{-8}{7}).$

Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей. Если количество отрицательных множителей четное, то произведение положительно. Если количество отрицательных множителей нечетное, то произведение отрицательно.

Рассмотрим произведение $ (-1) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{7}{13}\right) $.

Для определения знака произведения необходимо сосчитать количество отрицательных множителей. В данном выражении три множителя: $ -1 $, $ -\frac{2}{3} $ и $ -\frac{7}{13} $. Все три множителя являются отрицательными. Так как количество отрицательных множителей (3) является нечетным, то результат произведения будет отрицательным.

Ответ: отрицательный.

Рассмотрим произведение $ \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} \cdot (-1) \cdot \left(\frac{-7}{-9}\right) $.

Определим знак каждого множителя. Множители $ -\frac{1}{3} $ и $ -1 $ являются отрицательными. Множитель $ \frac{1}{2} $ является положительным. Множитель $ \frac{-7}{-9} $ является частным двух отрицательных чисел, следовательно, он положителен ($ \frac{-7}{-9} = \frac{7}{9} $). Таким образом, в произведении два отрицательных множителя. Так как количество отрицательных множителей (2) является четным, то результат произведения будет положительным.

Ответ: положительный.

Рассмотрим произведение $ \left(\frac{-8}{9}\right) \cdot \left(\frac{-5}{-9}\right) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) $.

Определим знак каждого множителя. Множитель $ \frac{-8}{9} $ является отрицательным. Множитель $ \frac{-5}{-9} $ является частным двух отрицательных чисел, следовательно, он положителен ($ \frac{-5}{-9} = \frac{5}{9} $). Множитель $ -\frac{1}{5} $ является отрицательным. В произведении два отрицательных множителя. Так как количество отрицательных множителей (2) является четным, то результат произведения будет положительным.

Ответ: положительный.

Рассмотрим произведение $ \left(-\frac{-1}{-5}\right) \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{-8}{7}\right) $.

Определим знак каждого множителя. Для первого множителя $ -\frac{-1}{-5} $ сначала определим знак дроби $ \frac{-1}{-5} $. Это частное двух отрицательных чисел, значит, дробь положительная: $ \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} $. Тогда весь множитель равен $ -\frac{1}{5} $, что является отрицательным числом. Второй множитель $ -\frac{1}{4} $ также отрицательный. Третий множитель $ \frac{1}{5} $ — положительный. Четвертый множитель $ \frac{-8}{7} $ — отрицательный. Всего в произведении три отрицательных множителя. Так как их количество (3) является нечетным, то результат произведения будет отрицательным.

Ответ: отрицательный.

557. Вычислите:

а) $ \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{3}{4}; $

б) $ \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right). $

а) Чтобы найти произведение трех дробей, сначала определим знак результата. В данном произведении два отрицательных множителя. Так как произведение четного числа отрицательных множителей является положительным числом, результат всего выражения будет положительным.
$(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}$
Теперь перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{2 \cdot 1 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 4}$
Сократим общие множители в числителе и знаменателе (2 и 3):
$\frac{\cancel{2} \cdot 1 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 4} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Определим знак произведения. В данном выражении три отрицательных множителя. Так как произведение нечетного числа отрицательных множителей является отрицательным числом, результат будет отрицательным.
$(-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = - (\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2})$
Перемножим модули дробей, умножая их числители и знаменатели:
$- \frac{4 \cdot 3 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 2}$
Сократим общий множитель 4 в числителе и знаменателе:
$- \frac{\cancel{4} \cdot 3 \cdot 1}{5 \cdot \cancel{4} \cdot 2} = - \frac{3}{10}$
Ответ: $-\frac{3}{10}$

558. Сколько отрицательных множителей может содержать произведение, чтобы оно было:

а) положительным;

б) отрицательным?

Знак произведения зависит от количества отрицательных множителей в нем. Положительные множители не влияют на знак итогового произведения. При этом предполагается, что ни один из множителей не равен нулю, так как в этом случае всё произведение будет равно нулю, а ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

а) Чтобы произведение было положительным.

Основное правило, которое здесь используется: произведение двух отрицательных чисел — число положительное. Например, $ (-a) \cdot (-b) = ab $.

Если в произведении имеется четное количество отрицательных множителей (2, 4, 6 и так далее), их всегда можно сгруппировать попарно. Произведение чисел в каждой такой паре будет положительным. А произведение любого количества положительных чисел всегда дает в результате положительное число.

Например, для четырех отрицательных множителей: $ (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) \cdot (-5) = ((-2) \cdot (-3)) \cdot ((-4) \cdot (-5)) = 6 \cdot 20 = 120 $. Результат положительный.

Отдельно рассмотрим случай, когда отрицательных множителей нет совсем (их количество равно нулю). Если все множители положительны, их произведение также будет положительным. Поскольку 0 — это четное число, этот случай вписывается в общее правило.

Следовательно, чтобы произведение было положительным, оно должно содержать четное число отрицательных множителей.

Ответ: четное число (0, 2, 4, 6, ...).

б) Чтобы произведение было отрицательным.

Если в произведении содержится нечетное количество отрицательных множителей (1, 3, 5 и так далее), то после группировки их по парам один отрицательный множитель всегда останется без пары.

Произведение всех пар, как мы уже знаем, даст положительное число. Когда это положительное число умножается на последний оставшийся отрицательный множитель, итоговый результат становится отрицательным, так как произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.

Например, для трех отрицательных множителей: $ (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = ((-2) \cdot (-3)) \cdot (-4) = 6 \cdot (-4) = -24 $. Результат отрицательный.

Следовательно, чтобы произведение было отрицательным, оно должно содержать нечетное число отрицательных множителей.

Ответ: нечетное число (1, 3, 5, 7, ...).