Страница 107 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2-547. Для рациональных чисел $a$, $b$ и $c$ запишите и сформулируйте:

а) переместительный закон сложения;

$a + b = b + a$

б) сочетательный закон сложения;

$(a + b) + c = a + (b + c)$

в) переместительный закон умножения;

$a \cdot b = b \cdot a$

г) сочетательный закон умножения;

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

д) распределительный закон.

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

а) переместительный закон сложения;

Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство, которое записывается в виде формулы: $a + b = b + a$.

Этот закон формулируется так: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

Ответ: $a + b = b + a$; от перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

б) сочетательный закон сложения;

Для любых рациональных чисел a, b и c справедливо равенство: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Этот закон формулируется так: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

Ответ: $(a + b) + c = a + (b + c)$; чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

в) переместительный закон умножения;

Для любых рациональных чисел a и b справедливо равенство: $a \cdot b = b \cdot a$.

Этот закон формулируется так: от перестановки мест множителей произведение не меняется.

Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$; от перестановки мест множителей произведение не меняется.

г) сочетательный закон умножения;

Для любых рациональных чисел a, b и c справедливо равенство: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.

Этот закон формулируется так: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

Ответ: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$; чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

д) распределительный закон.

Для любых рациональных чисел a, b и c справедливо равенство: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

Этот закон формулируется так: чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Ответ: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$; чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Вычислите, применяя законы сложения и умножения (548–550):

548. а) $80 \cdot 359 \cdot (-125);$

б) $457 + 985 - 57;$

в) $45 \cdot (-39) + 55 \cdot (-39);$

г) $76 \cdot 45 - 26 \cdot 45;$

д) $157 \cdot (-13) - 17 \cdot (-13);$

е) $(-124) \cdot 35 + 24 \cdot 35.$

а) Чтобы вычислить произведение $80 \cdot 359 \cdot (-125)$, применим переместительный и сочетательный законы умножения. Удобнее сначала умножить $80$ на $(-125)$.
$80 \cdot 359 \cdot (-125) = (80 \cdot (-125)) \cdot 359$
Вычислим произведение в скобках:
$80 \cdot (-125) = -(8 \cdot 10 \cdot 125) = -(8 \cdot 125 \cdot 10) = -(1000 \cdot 10) = -10000$
Теперь умножим полученный результат на $359$:
$-10000 \cdot 359 = -3 590 000$
Ответ: $-3 590 000$.

б) В выражении $457 + 985 - 57$ применим переместительный закон сложения, чтобы сгруппировать числа $457$ и $-57$.
$457 + 985 - 57 = 457 - 57 + 985$
Выполним вычитание:
$457 - 57 = 400$
Теперь выполним сложение:
$400 + 985 = 1385$
Ответ: $1385$.

в) В выражении $45 \cdot (-39) + 55 \cdot (-39)$ используем распределительный закон умножения относительно сложения ($a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$). Вынесем общий множитель $(-39)$ за скобки.
$45 \cdot (-39) + 55 \cdot (-39) = (45 + 55) \cdot (-39)$
Вычислим сумму в скобках:
$45 + 55 = 100$
Теперь выполним умножение:
$100 \cdot (-39) = -3900$
Ответ: $-3900$.

г) В выражении $76 \cdot 45 - 26 \cdot 45$ используем распределительный закон умножения относительно вычитания ($a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$). Вынесем общий множитель $45$ за скобки.
$76 \cdot 45 - 26 \cdot 45 = (76 - 26) \cdot 45$
Вычислим разность в скобках:
$76 - 26 = 50$
Теперь выполним умножение:
$50 \cdot 45 = 2250$
Ответ: $2250$.

д) В выражении $157 \cdot (-13) - 17 \cdot (-13)$ используем распределительный закон. Вынесем общий множитель $(-13)$ за скобки.
$157 \cdot (-13) - 17 \cdot (-13) = (157 - 17) \cdot (-13)$
Вычислим разность в скобках:
$157 - 17 = 140$
Теперь выполним умножение:
$140 \cdot (-13) = -(140 \cdot 13) = -(14 \cdot 13 \cdot 10) = -(182 \cdot 10) = -1820$
Ответ: $-1820$.

е) В выражении $(-124) \cdot 35 + 24 \cdot 35$ используем распределительный закон. Вынесем общий множитель $35$ за скобки.
$(-124) \cdot 35 + 24 \cdot 35 = (-124 + 24) \cdot 35$
Вычислим сумму в скобках:
$-124 + 24 = -100$
Теперь выполним умножение:
$-100 \cdot 35 = -3500$
Ответ: $-3500$.

549. а) $\frac{4}{15} + \frac{5}{36} + \frac{11}{15} + \frac{31}{36}$;

б) $\frac{7}{25} + \frac{32}{33} - \frac{7}{25}$;

в) $\frac{39}{40} \cdot \frac{124}{125} : \frac{124}{125}$;

г) $\frac{4}{35} \cdot \frac{17}{18} + \frac{17}{18} \cdot \frac{31}{35}$;

д) $\frac{45}{46} \cdot \frac{49}{51} - \frac{45}{46} \cdot \frac{3}{51}$;

е) $\frac{72}{73} \cdot \frac{34}{65} + \frac{72}{73} \cdot \frac{39}{65}$.

а) Для решения этого примера воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения, чтобы сгруппировать дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{4}{15} + \frac{5}{36} + \frac{11}{15} + \frac{31}{36} = (\frac{4}{15} + \frac{11}{15}) + (\frac{5}{36} + \frac{31}{36})$
Теперь выполним сложение в каждой группе:
$\frac{4+11}{15} + \frac{5+31}{36} = \frac{15}{15} + \frac{36}{36}$
Так как числитель равен знаменателю в каждой дроби, то каждая дробь равна 1:
$1 + 1 = 2$
Ответ: 2

б) В данном примере можно заметить, что два слагаемых являются противоположными по знаку, но одинаковыми по модулю. Сгруппируем их:
$\frac{7}{25} + \frac{32}{33} - \frac{7}{25} = (\frac{7}{25} - \frac{7}{25}) + \frac{32}{33}$
Результат вычитания в скобках равен нулю:
$0 + \frac{32}{33} = \frac{32}{33}$
Ответ: $\frac{32}{33}$

в) В этом примере есть операция деления на дробь, которую можно заменить умножением на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{39}{40} \cdot \frac{124}{125} \div \frac{124}{125} = \frac{39}{40} \cdot \frac{124}{125} \cdot \frac{125}{124}$
Произведение дроби на обратную ей дробь равно единице:
$\frac{124}{125} \cdot \frac{125}{124} = 1$
Следовательно, выражение упрощается:
$\frac{39}{40} \cdot 1 = \frac{39}{40}$
Ответ: $\frac{39}{40}$

г) Здесь можно применить распределительное свойство умножения относительно сложения, вынеся общий множитель $\frac{17}{18}$ за скобки:
$\frac{4}{35} \cdot \frac{17}{18} + \frac{17}{18} \cdot \frac{31}{35} = \frac{17}{18} \cdot (\frac{4}{35} + \frac{31}{35})$
Выполним сложение дробей в скобках:
$\frac{17}{18} \cdot \frac{4+31}{35} = \frac{17}{18} \cdot \frac{35}{35}$
Так как $\frac{35}{35} = 1$, получаем:
$\frac{17}{18} \cdot 1 = \frac{17}{18}$
Ответ: $\frac{17}{18}$

д) Применим распределительное свойство умножения относительно вычитания, вынеся общий множитель $\frac{45}{46}$ за скобки:
$\frac{45}{46} \cdot \frac{49}{51} - \frac{45}{46} \cdot \frac{3}{51} = \frac{45}{46} \cdot (\frac{49}{51} - \frac{3}{51})$
Выполним вычитание дробей в скобках:
$\frac{45}{46} \cdot \frac{49-3}{51} = \frac{45}{46} \cdot \frac{46}{51}$
Сократим 46 в числителе и знаменателе:
$\frac{45}{51}$
Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$\frac{45 \div 3}{51 \div 3} = \frac{15}{17}$
Ответ: $\frac{15}{17}$

е) Вынесем общий множитель $\frac{72}{73}$ за скобки, используя распределительное свойство умножения:
$\frac{72}{73} \cdot \frac{34}{65} + \frac{72}{73} \cdot \frac{39}{65} = \frac{72}{73} \cdot (\frac{34}{65} + \frac{39}{65})$
Сложим дроби в скобках:
$\frac{72}{73} \cdot \frac{34+39}{65} = \frac{72}{73} \cdot \frac{73}{65}$
Сократим 73 в числителе и знаменателе:
$\frac{72}{65}$
Можно оставить ответ в виде неправильной дроби или перевести в смешанное число: $1\frac{7}{65}$.
Ответ: $\frac{72}{65}$