Страница 109 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

559. а) Произведение пяти множителей — положительное число. Можно ли утверждать, что все множители — положительные числа?

б) Произведение четырёх множителей — положительное число. Можно ли утверждать, что все множители — положительные числа?

а) Для того чтобы произведение нескольких чисел было положительным, необходимо, чтобы количество отрицательных множителей было чётным (0, 2, 4, ...). В случае пяти множителей, их произведение будет положительным, если:
1. Все пять множителей положительные (количество отрицательных равно 0).
2. Два множителя отрицательные, а три — положительные (количество отрицательных равно 2).
3. Четыре множителя отрицательные, а один — положительный (количество отрицательных равно 4).
Поскольку существуют случаи (2 и 3), когда произведение положительно, но не все множители положительные, то сделать однозначный вывод нельзя.
Например, произведение $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 120$. Число $120$ положительное, но среди множителей есть два отрицательных числа.
Ответ: нет, нельзя.

б) Аналогично пункту а), произведение четырех множителей будет положительным, если количество отрицательных множителей чётно. Для четырех множителей это означает, что отрицательных чисел может быть:
1. Ноль (все множители положительные).
2. Два (два множителя отрицательные и два положительные).
3. Четыре (все множители отрицательные).
Так как существуют варианты, при которых не все множители положительны, утверждать это с уверенностью нельзя.
Например, произведение $ (-2) \cdot (-3) \cdot 5 \cdot 6 = 180 $. Произведение положительное, но два множителя отрицательные.
Другой пример: $ (-1) \cdot (-2) \cdot (-3) \cdot (-4) = 24 $. Произведение положительное, но все множители отрицательные.
Ответ: нет, нельзя.

560. Сформулируйте и докажите свойства деления рациональных чисел, которые выражаются следующими равенствами:

a) $a : b = (a \cdot n) : (b \cdot n)$;

б) $a : b = (a : n) : (b : n)$;

в) $(a + b) : n = a : n + b : n$, где $b \neq 0$ и $n \neq 0$.

а) Свойство, выражаемое равенством $a : b = (a \cdot n) : (b \cdot n)$, формулируется следующим образом: частное двух рациональных чисел не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же ненулевое рациональное число.

Доказательство: преобразуем правую часть равенства, используя определение деления как умножения на обратное число. Для корректности операции необходимо, чтобы делители не были равны нулю, то есть $b \neq 0$ и $n \neq 0$.

$(a \cdot n) : (b \cdot n) = (a \cdot n) \cdot \frac{1}{b \cdot n}$

Используя свойства умножения, перепишем выражение:

$a \cdot n \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{n}$

Сгруппируем множители, применяя сочетательный и переместительный законы умножения:

$(a \cdot \frac{1}{b}) \cdot (n \cdot \frac{1}{n})$

Произведение числа $n$ на обратное ему число $\frac{1}{n}$ равно 1, поэтому:

$(a \cdot \frac{1}{b}) \cdot 1 = a \cdot \frac{1}{b}$

Заменяя умножение на обратное число делением, получаем $a:b$, что равно левой части исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: свойство сформулировано и доказано.

б) Свойство, выражаемое равенством $a : b = (a : n) : (b : n)$, формулируется так: частное двух рациональных чисел не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же ненулевое рациональное число.

Доказательство: преобразуем правую часть, представив деление в виде дробей. Условия для выполнения операции: $b \neq 0$ и $n \neq 0$.

$(a : n) : (b : n) = \frac{a}{n} : \frac{b}{n}$

По правилу деления дробей (деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь):

$\frac{a}{n} \cdot \frac{n}{b} = \frac{a \cdot n}{n \cdot b}$

Так как $n \neq 0$, мы можем сократить дробь на $n$:

$\frac{a}{b} = a:b$

Правая часть равна левой. Равенство доказано.

Ответ: свойство сформулировано и доказано.

в) Равенство $(a + b) : n = a : n + b : n$ выражает дистрибутивное (распределительное) свойство деления относительно сложения: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные частные сложить.

Доказательство: преобразуем левую часть равенства, заменив деление на умножение на обратное число. Условие: делитель $n \neq 0$.

$(a + b) : n = (a + b) \cdot \frac{1}{n}$

Применим распределительное свойство умножения относительно сложения:

$(a + b) \cdot \frac{1}{n} = a \cdot \frac{1}{n} + b \cdot \frac{1}{n}$

Теперь заменим умножение на обратное число обратно на деление:

$a : n + b : n$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства, следовательно, равенство доказано. Условие $b \neq 0$, указанное в задаче, для данного свойства не является необходимым, но требуется для свойств а) и б).

Ответ: свойство сформулировано и доказано.

Вычислите (561–563):

561. a) $-\frac{3}{4} : \frac{5}{6} + \frac{15}{16} \cdot \frac{2}{5} - 1 : \frac{1}{9}$;

б) $2 : \left(-\frac{3}{5}\right) + \frac{3}{5} : 2 - \frac{3}{2} : 6 + 6 : \frac{3}{2}$;

В) $\frac{11}{4} : \left(\frac{2}{5} - \frac{3}{2}\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{5}{6}\right) : \left(-\frac{25}{8}\right)$;

г) $\left(\frac{2}{15} + \frac{19}{12}\right) \cdot \frac{30}{103} - \left(1 : \frac{9}{4}\right) \cdot \left(-\frac{9}{16}\right)$.

а) $-\frac{3}{4} : \frac{5}{6} + \frac{15}{16} \cdot \frac{2}{5} - 1 : \frac{1}{9}$

Решим по действиям, соблюдая порядок: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

1. Выполним первое деление: $-\frac{3}{4} : \frac{5}{6} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 5} = -\frac{18}{20} = -\frac{9}{10}$.

2. Выполним умножение: $\frac{15}{16} \cdot \frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 2}{16 \cdot 5} = \frac{(3 \cdot 5) \cdot 2}{(8 \cdot 2) \cdot 5} = \frac{3}{8}$.

3. Выполним второе деление: $1 : \frac{1}{9} = 1 \cdot 9 = 9$.

4. Подставим результаты в исходное выражение: $-\frac{9}{10} + \frac{3}{8} - 9$.

5. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 10 и 8 - это 40. $-\frac{9 \cdot 4}{10 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} - 9 = -\frac{36}{40} + \frac{15}{40} - 9 = \frac{-36+15}{40} - 9 = -\frac{21}{40} - 9$.

6. Вычтем 9: $-\frac{21}{40} - 9 = -\frac{21}{40} - \frac{9 \cdot 40}{40} = -\frac{21}{40} - \frac{360}{40} = \frac{-21-360}{40} = -\frac{381}{40} = -9\frac{21}{40}$.

Ответ: $-9\frac{21}{40}$.

б) $2 : (-\frac{3}{5}) + \frac{3}{5} : 2 - \frac{3}{2} : 6 + 6 : \frac{3}{2}$

Решим по действиям, выполняя деление слева направо, а затем сложение и вычитание.

1. $2 : (-\frac{3}{5}) = 2 \cdot (-\frac{5}{3}) = -\frac{10}{3}$.

2. $\frac{3}{5} : 2 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$.

3. $\frac{3}{2} : 6 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

4. $6 : \frac{3}{2} = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

5. Теперь сложим и вычтем полученные результаты: $-\frac{10}{3} + \frac{3}{10} - \frac{1}{4} + 4$.

6. Найдем общий знаменатель для 3, 10 и 4. Это 60. Приведем все дроби к этому знаменателю: $-\frac{10 \cdot 20}{3 \cdot 20} + \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 15}{4 \cdot 15} + \frac{4 \cdot 60}{60} = -\frac{200}{60} + \frac{18}{60} - \frac{15}{60} + \frac{240}{60}$.

7. Выполним сложение и вычитание числителей: $\frac{-200 + 18 - 15 + 240}{60} = \frac{-182 - 15 + 240}{60} = \frac{-197 + 240}{60} = \frac{43}{60}$.

Ответ: $\frac{43}{60}$.

в) $\frac{11}{4} : (\frac{2}{5} - \frac{3}{2}) + (\frac{3}{4} + \frac{5}{6}) : (-\frac{25}{8})$

Сначала выполним действия в скобках, затем деление, и в конце - сложение.

1. Вычислим значение в первой скобке: $\frac{2}{5} - \frac{3}{2}$. Общий знаменатель 10. $\frac{2 \cdot 2}{10} - \frac{3 \cdot 5}{10} = \frac{4 - 15}{10} = -\frac{11}{10}$.

2. Вычислим значение во второй скобке: $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$. Общий знаменатель 12. $\frac{3 \cdot 3}{12} + \frac{5 \cdot 2}{12} = \frac{9 + 10}{12} = \frac{19}{12}$.

3. Теперь выражение выглядит так: $\frac{11}{4} : (-\frac{11}{10}) + \frac{19}{12} : (-\frac{25}{8})$.

4. Выполним первое деление: $\frac{11}{4} : (-\frac{11}{10}) = \frac{11}{4} \cdot (-\frac{10}{11}) = -\frac{11 \cdot 10}{4 \cdot 11} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2}$.

5. Выполним второе деление: $\frac{19}{12} : (-\frac{25}{8}) = \frac{19}{12} \cdot (-\frac{8}{25}) = -\frac{19 \cdot 8}{12 \cdot 25} = -\frac{19 \cdot 2}{3 \cdot 25} = -\frac{38}{75}$.

6. Сложим результаты: $-\frac{5}{2} + (-\frac{38}{75}) = -\frac{5}{2} - \frac{38}{75}$. Общий знаменатель 150. $-\frac{5 \cdot 75}{150} - \frac{38 \cdot 2}{150} = -\frac{375}{150} - \frac{76}{150} = \frac{-375 - 76}{150} = -\frac{451}{150}$.

7. Переведем неправильную дробь в смешанное число: $-\frac{451}{150} = -3\frac{1}{150}$.

Ответ: $-3\frac{1}{150}$.

г) $(\frac{2}{15} + \frac{19}{12}) \cdot \frac{30}{103} - (1 : \frac{9}{4}) \cdot (-\frac{9}{16})$

Порядок действий: сначала вычисления в скобках, затем умножение, и в конце - вычитание.

1. Вычислим значение в первой скобке: $\frac{2}{15} + \frac{19}{12}$. Общий знаменатель для 15 и 12 равен 60. $\frac{2 \cdot 4}{60} + \frac{19 \cdot 5}{60} = \frac{8 + 95}{60} = \frac{103}{60}$.

2. Вычислим значение во второй скобке: $1 : \frac{9}{4} = 1 \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$.

3. Теперь выражение выглядит так: $\frac{103}{60} \cdot \frac{30}{103} - \frac{4}{9} \cdot (-\frac{9}{16})$.

4. Выполним первое умножение: $\frac{103}{60} \cdot \frac{30}{103} = \frac{103 \cdot 30}{60 \cdot 103} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$.

5. Выполним второе умножение: $\frac{4}{9} \cdot (-\frac{9}{16}) = -\frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$.

6. Выполним вычитание: $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$.

7. Приведем к общему знаменателю 4: $\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

562. а) $\frac{8}{9} \cdot \frac{7}{24} - \frac{8}{9} \cdot \frac{5}{24}$;

б) $\frac{3}{25} \cdot \left(-\frac{5}{49}\right) + \frac{22}{25} \cdot \left(-\frac{5}{49}\right)$.

а) Для решения данного примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания, которое гласит $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$. В данном случае общим множителем является дробь $\frac{8}{9}$. Вынесем его за скобки:
$\frac{8}{9} \cdot \frac{7}{24} - \frac{8}{9} \cdot \frac{5}{24} = \frac{8}{9} \cdot \left(\frac{7}{24} - \frac{5}{24}\right)$
Сначала выполним действие в скобках. Так как у дробей одинаковый знаменатель, вычитаем их числители:
$\frac{7}{24} - \frac{5}{24} = \frac{7-5}{24} = \frac{2}{24}$
Сократим полученную дробь $\frac{2}{24}$, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2 \div 2}{24 \div 2} = \frac{1}{12}$
Теперь умножим результат на вынесенный за скобки множитель:
$\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12}$
Перед тем как перемножить дроби, сократим их. Число 8 в числителе первой дроби и число 12 в знаменателе второй дроби делятся на 4:
$\frac{8 \div 4}{9} \cdot \frac{1}{12 \div 4} = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{3}$
Теперь перемножим числители и знаменатели:
$\frac{2 \cdot 1}{9 \cdot 3} = \frac{2}{27}$
Ответ: $\frac{2}{27}$

б) Для решения этого примера используем распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$. Здесь общим множителем является дробь $\frac{5}{49}$. Вынесем его за скобки:
$\frac{3}{25} \cdot \frac{5}{49} + \frac{22}{25} \cdot \frac{5}{49} = \left(\frac{3}{25} + \frac{22}{25}\right) \cdot \frac{5}{49}$
Сначала выполним сложение в скобках. Так как знаменатели одинаковые, складываем числители:
$\frac{3}{25} + \frac{22}{25} = \frac{3+22}{25} = \frac{25}{25} = 1$
Теперь умножим полученный результат на общий множитель:
$1 \cdot \frac{5}{49} = \frac{5}{49}$
Ответ: $\frac{5}{49}$

563. a) $ -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) $

б) $ -\frac{10}{11} \cdot \left(-\frac{11}{12}\right) \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{13}{14}\right) \cdot \left(-\frac{14}{15}\right) $

а)

Чтобы найти произведение нескольких чисел, сначала определим знак результата. В данном произведении четыре множителя, и все они отрицательные. Так как количество отрицательных множителей четное (4), результат будет положительным.

Теперь перемножим модули этих чисел:

$(-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{3}{4}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}$

При умножении дробей можно сокращать числитель любой дроби со знаменателем любой другой дроби. В данном случае мы видим, что числитель каждой последующей дроби сокращается со знаменателем предыдущей:

$\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \cdot \frac{\cancel{4}}{5} = \frac{1}{5}$

После сокращения в числителе остается 1, а в знаменателе 5.

Ответ: $\frac{1}{5}$

б)

Определим знак произведения. В этом выражении пять множителей, и все они отрицательные. Так как количество отрицательных множителей нечетное (5), результат будет отрицательным.

Теперь перемножим модули этих чисел, помня, что в итоге нужно поставить знак минус:

$-\frac{10}{11} \cdot (-\frac{11}{12}) \cdot (-\frac{12}{13}) \cdot (-\frac{13}{14}) \cdot (-\frac{14}{15}) = -(\frac{10}{11} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{14} \cdot \frac{14}{15})$

Выполним сокращение дробей. Числитель каждой дроби (кроме первой) сокращается со знаменателем предыдущей дроби:

$-(\frac{10}{\cancel{11}} \cdot \frac{\cancel{11}}{\cancel{12}} \cdot \frac{\cancel{12}}{\cancel{13}} \cdot \frac{\cancel{13}}{\cancel{14}} \cdot \frac{\cancel{14}}{15}) = - \frac{10}{15}$

Осталась дробь $\frac{10}{15}$, которую можно сократить на 5:

$-\frac{10}{15} = -\frac{10 \div 5}{15 \div 5} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$