Номер 560, страница 109 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.6. Законы сложения и умножения. Глава 3. Рациональные числа - номер 560, страница 109.

Условие.

560. Сформулируйте и докажите свойства деления рациональных чисел, которые выражаются следующими равенствами:

a) $a : b = (a \cdot n) : (b \cdot n)$;

б) $a : b = (a : n) : (b : n)$;

в) $(a + b) : n = a : n + b : n$, где $b \neq 0$ и $n \neq 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Свойство, выражаемое равенством $a : b = (a \cdot n) : (b \cdot n)$, формулируется следующим образом: частное двух рациональных чисел не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же ненулевое рациональное число.

Доказательство: преобразуем правую часть равенства, используя определение деления как умножения на обратное число. Для корректности операции необходимо, чтобы делители не были равны нулю, то есть $b \neq 0$ и $n \neq 0$.

$(a \cdot n) : (b \cdot n) = (a \cdot n) \cdot \frac{1}{b \cdot n}$

Используя свойства умножения, перепишем выражение:

$a \cdot n \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{n}$

Сгруппируем множители, применяя сочетательный и переместительный законы умножения:

$(a \cdot \frac{1}{b}) \cdot (n \cdot \frac{1}{n})$

Произведение числа $n$ на обратное ему число $\frac{1}{n}$ равно 1, поэтому:

$(a \cdot \frac{1}{b}) \cdot 1 = a \cdot \frac{1}{b}$

Заменяя умножение на обратное число делением, получаем $a:b$, что равно левой части исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: свойство сформулировано и доказано.

б) Свойство, выражаемое равенством $a : b = (a : n) : (b : n)$, формулируется так: частное двух рациональных чисел не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же ненулевое рациональное число.

Доказательство: преобразуем правую часть, представив деление в виде дробей. Условия для выполнения операции: $b \neq 0$ и $n \neq 0$.

$(a : n) : (b : n) = \frac{a}{n} : \frac{b}{n}$

По правилу деления дробей (деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь):

$\frac{a}{n} \cdot \frac{n}{b} = \frac{a \cdot n}{n \cdot b}$

Так как $n \neq 0$, мы можем сократить дробь на $n$:

$\frac{a}{b} = a:b$

Правая часть равна левой. Равенство доказано.

Ответ: свойство сформулировано и доказано.

в) Равенство $(a + b) : n = a : n + b : n$ выражает дистрибутивное (распределительное) свойство деления относительно сложения: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные частные сложить.

Доказательство: преобразуем левую часть равенства, заменив деление на умножение на обратное число. Условие: делитель $n \neq 0$.

$(a + b) : n = (a + b) \cdot \frac{1}{n}$

Применим распределительное свойство умножения относительно сложения:

$(a + b) \cdot \frac{1}{n} = a \cdot \frac{1}{n} + b \cdot \frac{1}{n}$

Теперь заменим умножение на обратное число обратно на деление:

$a : n + b : n$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства, следовательно, равенство доказано. Условие $b \neq 0$, указанное в задаче, для данного свойства не является необходимым, но требуется для свойств а) и б).

Ответ: свойство сформулировано и доказано.