Страница 106 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

540. а) $-\frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)$;б) $\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{5}{7}\right)$;в) $-\frac{3}{7} : \left(-\frac{4}{5}\right)$;г) $\frac{3}{5} : \left(-\frac{2}{3}\right)$;д) $-\frac{15}{16} \cdot \left(-\frac{48}{25}\right)$;е) $-\frac{5}{3} : \frac{25}{27}$;ж) $-\frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right)$;з) $-\frac{2}{3} : \left(-\frac{4}{5}\right)$.

а) Произведение двух отрицательных чисел — число положительное. Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $-\frac{3}{5} \cdot (-\frac{2}{5}) = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 5} = \frac{6}{25}$. Ответ: $\frac{6}{25}$

б) Произведение чисел с разными знаками — число отрицательное. Перемножаем модули дробей, то есть сами дроби без учета знаков, и ставим знак минус перед результатом: $\frac{2}{3} \cdot (-\frac{5}{7}) = -(\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7}) = -\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 7} = -\frac{10}{21}$. Ответ: $-\frac{10}{21}$

в) Частное от деления двух отрицательных чисел — число положительное. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую): $-\frac{3}{7} \div (-\frac{4}{5}) = \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 4} = \frac{15}{28}$. Ответ: $\frac{15}{28}$

г) Частное от деления чисел с разными знаками — число отрицательное. Деление заменяем умножением на обратную дробь и ставим знак минус перед результатом: $\frac{3}{5} \div (-\frac{2}{3}) = -(\frac{3}{5} \div \frac{2}{3}) = -(\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2}) = -\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 2} = -\frac{9}{10}$. Ответ: $-\frac{9}{10}$

д) Произведение двух отрицательных чисел положительно. Перед умножением дробей сокращаем числитель и знаменатель на общие делители для упрощения вычислений. 15 и 25 делятся на 5, 48 и 16 делятся на 16: $-\frac{15}{16} \cdot (-\frac{48}{25}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{48}{25} = \frac{15 \cdot 48}{16 \cdot 25} = \frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{9}{5}$. Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$. Ответ: $1\frac{4}{5}$

е) Частное от деления отрицательного числа на положительное отрицательно. Деление заменяем умножением на обратную дробь и сокращаем. 5 и 25 делятся на 5, 27 и 3 делятся на 3: $-\frac{5}{3} \div \frac{25}{27} = -(\frac{5}{3} \cdot \frac{27}{25}) = -(\frac{5 \cdot 27}{3 \cdot 25}) = -(\frac{1 \cdot 9}{1 \cdot 5}) = -\frac{9}{5}$. Переведем в смешанное число: $-\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5}$. Ответ: $-1\frac{4}{5}$

ж) Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сокращаем общий множитель 4 в числителе и знаменателе: $-\frac{3}{4} \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 5} = \frac{3}{5}$. Ответ: $\frac{3}{5}$

з) Частное от деления двух отрицательных чисел положительно. Деление заменяем умножением на обратную дробь и сокращаем. 2 и 4 делятся на 2: $-\frac{2}{3} \div (-\frac{4}{5}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$. Ответ: $\frac{5}{6}$

541. Найдите число $x$, для которого верно равенство:

а) $x \cdot \frac{3}{5} = -\frac{4}{15}$;

б) $-\frac{2}{3} \cdot x = \frac{4}{7}$;

в) $x : \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$;

г) $\frac{2}{7} : x = -\frac{22}{21}$.

а)

Дано равенство: $x \cdot \frac{3}{5} = -\frac{4}{15}$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($-\frac{4}{15}$) разделить на известный множитель ($\frac{3}{5}$).
$x = -\frac{4}{15} \div \frac{3}{5}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю:
$x = -\frac{4}{15} \cdot \frac{5}{3}$
Выполним умножение и сократим общие множители (число 5 в числителе и 15 в знаменателе можно сократить на 5):
$x = -\frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 3} = -\frac{4 \cdot 1}{3 \cdot 3} = -\frac{4}{9}$
Ответ: $x = -\frac{4}{9}$.

б)

Дано равенство: $-\frac{2}{3} \cdot x = \frac{4}{7}$.
Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($\frac{4}{7}$) разделить на известный множитель ($-\frac{2}{3}$).
$x = \frac{4}{7} \div (-\frac{2}{3})$
При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$x = -\left(\frac{4}{7} \cdot \frac{3}{2}\right)$
Выполним умножение и сократим общие множители (число 4 в числителе и 2 в знаменателе можно сократить на 2):
$x = -\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 2} = -\frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 1} = -\frac{6}{7}$
Ответ: $x = -\frac{6}{7}$.

в)

Дано равенство: $x \div \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.
Чтобы найти неизвестное делимое $x$, нужно частное ($-\frac{1}{4}$) умножить на делитель ($\frac{1}{2}$).
$x = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$
Выполним умножение числителей и знаменателей:
$x = -\frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 2} = -\frac{1}{8}$
Ответ: $x = -\frac{1}{8}$.

г)

Дано равенство: $\frac{2}{7} \div x = -\frac{22}{21}$.
Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое ($\frac{2}{7}$) разделить на частное ($-\frac{22}{21}$).
$x = \frac{2}{7} \div (-\frac{22}{21})$
При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
$x = -\left(\frac{2}{7} \cdot \frac{21}{22}\right)$
Выполним умножение и сократим общие множители (2 и 22 сокращаем на 2; 21 и 7 сокращаем на 7):
$x = -\frac{2 \cdot 21}{7 \cdot 22} = -\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 11} = -\frac{3}{11}$
Ответ: $x = -\frac{3}{11}$.

542. Вычислите:

а) $(-\frac{2}{3})^3$;

б) $(\frac{3}{-4})^2$;

в) $(\frac{1}{-10})^3$;

г) $(-\frac{5}{6})^2$;

д) $(-\frac{6}{7})^2$;

е) $(-\frac{3}{4})^3$;

ж) $(-\frac{3}{10})^4$;

з) $(-\frac{1}{2})^5$;

и) $(-\frac{1}{3})^3$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. Поскольку основание степени $(-\frac{2}{3})$ является отрицательным числом, а показатель степени (3) — нечетным, результат будет отрицательным.
$(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3} = -\frac{8}{27}$.
Ответ: $-\frac{8}{27}$.

б) Дробь $\frac{3}{-4}$ можно записать как $-\frac{3}{4}$. Поскольку основание степени является отрицательным числом, а показатель степени (2) — четным, результат будет положительным.
$(\frac{3}{-4})^2 = (-\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{3 \times 3}{4 \times 4} = \frac{9}{16}$.
Ответ: $\frac{9}{16}$.

в) Дробь $\frac{1}{-10}$ можно записать как $-\frac{1}{10}$. Основание степени отрицательное, а показатель степени (3) — нечетный, следовательно, результат будет отрицательным.
$(\frac{1}{-10})^3 = (-\frac{1}{10})^3 = -\frac{1^3}{10^3} = -\frac{1 \times 1 \times 1}{10 \times 10 \times 10} = -\frac{1}{1000}$.
Ответ: $-\frac{1}{1000}$.

г) Дробь $\frac{-5}{6}$ можно записать как $-\frac{5}{6}$. Основание степени отрицательное, а показатель степени (2) — четный, поэтому результат будет положительным.
$(\frac{-5}{6})^2 = (-\frac{5}{6})^2 = \frac{5^2}{6^2} = \frac{5 \times 5}{6 \times 6} = \frac{25}{36}$.
Ответ: $\frac{25}{36}$.

д) Основание степени $(-\frac{6}{7})$ является отрицательным числом, а показатель степени (2) — четным, значит, результат будет положительным.
$(-\frac{6}{7})^2 = \frac{6^2}{7^2} = \frac{6 \times 6}{7 \times 7} = \frac{36}{49}$.
Ответ: $\frac{36}{49}$.

е) Основание степени $(-\frac{3}{4})$ является отрицательным числом, а показатель степени (3) — нечетным, поэтому результат будет отрицательным.
$(-\frac{3}{4})^3 = -\frac{3^3}{4^3} = -\frac{3 \times 3 \times 3}{4 \times 4 \times 4} = -\frac{27}{64}$.
Ответ: $-\frac{27}{64}$.

ж) Основание степени $(-\frac{3}{10})$ является отрицательным числом, а показатель степени (4) — четным. Следовательно, результат будет положительным.
$(-\frac{3}{10})^4 = \frac{3^4}{10^4} = \frac{3 \times 3 \times 3 \times 3}{10 \times 10 \times 10 \times 10} = \frac{81}{10000}$.
Ответ: $\frac{81}{10000}$.

з) Основание степени $(-\frac{1}{2})$ является отрицательным числом, а показатель степени (5) — нечетным. Это значит, что результат будет отрицательным.
$(-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1^5}{2^5} = -\frac{1}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = -\frac{1}{32}$.
Ответ: $-\frac{1}{32}$.

и) Основание степени $(-\frac{1}{3})$ является отрицательным числом, а показатель степени (3) — нечетным, поэтому результат будет отрицательным.
$(-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1^3}{3^3} = -\frac{1 \times 1 \times 1}{3 \times 3 \times 3} = -\frac{1}{27}$.
Ответ: $-\frac{1}{27}$.

543. Положительным или отрицательным числом является степень отрицательной дроби:

а) с чётным показателем;

б) с нечётным показателем?

а) с чётным показателем
При возведении отрицательного числа, в том числе и отрицательной дроби, в чётную степень, результат всегда является положительным числом.
Пусть у нас есть отрицательная дробь $(-\frac{a}{b})$ и чётный показатель степени $n$. Любое чётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ - натуральное число.
Возведение в степень $n$ — это умножение числа на себя $n$ раз:
$\left(-\frac{a}{b}\right)^n = \left(-\frac{a}{b}\right)^{2k} = \underbrace{\left(-\frac{a}{b}\right) \cdot \left(-\frac{a}{b}\right) \cdot \ldots \cdot \left(-\frac{a}{b}\right)}_{2k \text{ множителей}}$
Так как количество множителей чётно (равно $2k$), мы можем сгруппировать их попарно. Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно:
$\left(-\frac{a}{b}\right) \cdot \left(-\frac{a}{b}\right) = \frac{a^2}{b^2} > 0$
В результате мы получаем произведение $k$ пар, каждая из которых даёт положительный результат. Произведение положительных чисел всегда положительно.
Например: $\left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: положительным.

б) с нечётным показателем
При возведении отрицательного числа, в том числе и отрицательной дроби, в нечётную степень, результат всегда является отрицательным числом.
Пусть у нас есть отрицательная дробь $(-\frac{a}{b})$ и нечётный показатель степени $m$. Любое нечётное число $m$ можно представить в виде $m = 2k+1$, где $k$ - целое неотрицательное число.
Запишем степень с нечётным показателем:
$\left(-\frac{a}{b}\right)^m = \left(-\frac{a}{b}\right)^{2k+1} = \underbrace{\left(-\frac{a}{b}\right) \cdot \ldots \cdot \left(-\frac{a}{b}\right)}_{2k \text{ множителей}} \cdot \left(-\frac{a}{b}\right)$
Как мы выяснили в пункте (а), произведение чётного числа отрицательных сомножителей является положительным числом: $\left(-\frac{a}{b}\right)^{2k} > 0$.
Следовательно, наше выражение превращается в произведение положительного числа на отрицательное:
$\left(-\frac{a}{b}\right)^{2k+1} = \left(-\frac{a}{b}\right)^{2k} \cdot \left(-\frac{a}{b}\right) = (\text{положительное число}) \cdot (\text{отрицательное число})$
Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.
Например: $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8}$.
Ответ: отрицательным.

Определите порядок действий, вычислите (544–546):

544. а) $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}$;

б) $\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right)^2$;

в) $\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \frac{1}{9}$;

г) $\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^3$.

а) В выражении $(-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$ сначала выполняется возведение в степень, а затем вычитание.
1. Возведем в квадрат отрицательную дробь. Так как степень четная (2), результат будет положительным:
$(-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.
2. Теперь выполним вычитание:
$\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$.
Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю 4:
$\frac{1}{4} - \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1 - 2}{4} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

б) В выражении $\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})^2$ сначала выполняется возведение в степень, а затем вычитание.
1. Возведем в квадрат отрицательную дробь. Результат будет положительным:
$(-\frac{1}{3})^2 = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}$.
2. Выполним вычитание:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 9:
$\frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{3 - 1}{9} = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

в) В выражении $(-\frac{1}{3})^3 - \frac{1}{9}$ сначала выполняется возведение в степень, а затем вычитание.
1. Возведем в куб отрицательную дробь. Так как степень нечетная (3), результат будет отрицательным:
$(-\frac{1}{3})^3 = (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{27}$.
2. Выполним вычитание:
$-\frac{1}{27} - \frac{1}{9}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 27:
$-\frac{1}{27} - \frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} = -\frac{1}{27} - \frac{3}{27} = \frac{-1 - 3}{27} = -\frac{4}{27}$.
Ответ: $-\frac{4}{27}$.

г) В выражении $\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})^3$ сначала выполняется возведение в степень, а затем вычитание.
1. Возведем в куб отрицательную дробь. Результат будет отрицательным:
$(-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}$.
2. Выполним вычитание. Вычитание отрицательного числа заменяется сложением:
$\frac{1}{2} - (-\frac{1}{8}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4 + 1}{8} = \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{5}{8}$.

545. a) $ \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 $;

б) $ -\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{7} - \left(-\frac{1}{7}\right)^2 $;

В) $ -\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} - \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{25} $;

Г) $ \frac{3}{10} \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) + \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) $.

а) Выполним действия по порядку: сначала умножение и возведение в степень, затем сложение.
1. $\frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.
2. $(-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.
3. $-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12: $-\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = -\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{-4+3}{12} = -\frac{1}{12}$.
Ответ: $-\frac{1}{12}$.

б) Выполним действия по порядку: сначала умножение и возведение в степень, затем вычитание.
1. $-\frac{3}{4} \cdot \frac{12}{7} = -\frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 7}$. Сократим 12 и 4 на 4: $-\frac{3 \cdot 3}{7} = -\frac{9}{7}$.
2. $(-\frac{1}{7})^2 = \frac{1}{49}$.
3. $-\frac{9}{7} - \frac{1}{49}$. Приведем дроби к общему знаменателю 49: $-\frac{9 \cdot 7}{7 \cdot 7} - \frac{1}{49} = -\frac{63}{49} - \frac{1}{49} = \frac{-63-1}{49} = -\frac{64}{49}$.
Ответ: $-\frac{64}{49}$.

в) Выполним действия по порядку: сначала два умножения, затем вычитание.
1. $-\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = -\frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 5}$. Сократим 6 и 3 на 3: $-\frac{1 \cdot 2}{5} = -\frac{2}{5}$.
2. $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{25} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 25}$. Сократим 5 и 25 на 5, а 3 и 6 на 3: $\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$.
3. $-\frac{2}{5} - \frac{1}{10}$. Приведем дроби к общему знаменателю 10: $-\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10} = -\frac{4}{10} - \frac{1}{10} = \frac{-4-1}{10} = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) Выполним действия по порядку: сначала два умножения, затем сложение.
1. $\frac{3}{10} \cdot (-\frac{5}{6}) = -\frac{3 \cdot 5}{10 \cdot 6}$. Сократим 3 и 6 на 3, а 5 и 10 на 5: $-\frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$.
2. $\frac{2}{3} \cdot (-\frac{3}{8}) = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 8}$. Сократим 2 и 8 на 2, а 3 и 3 на 3: $-\frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 4} = -\frac{1}{4}$.
3. $-\frac{1}{4} + (-\frac{1}{4}) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \frac{-1-1}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

546. a) $ -\frac{5}{9} \cdot \left(-\frac{18}{25}\right) - \frac{14}{27} \cdot \left(-\frac{18}{35}\right); $

б) $ -\frac{27}{20} \cdot \left(-\frac{5}{9}\right) - \frac{5}{24} \cdot \left(-\frac{22}{5}\right); $

в) $ \frac{21}{20} \cdot \left(-\frac{8}{21}\right) + \frac{7}{72} \cdot \left(-\frac{36}{5}\right); $

г) $ -\frac{36}{60} \cdot \left(-\frac{5}{18}\right) - \left(-\frac{21}{56}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right). $

а)

Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок: сначала умножение, затем вычитание.

1. Найдем первое произведение. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:

$-\frac{5}{9} \cdot (-\frac{18}{25}) = \frac{5 \cdot 18}{9 \cdot 25}$

Сократим дробь: 5 и 25 делятся на 5; 18 и 9 делятся на 9.

$\frac{5 \cdot 18}{9 \cdot 25} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$

2. Найдем второе произведение. Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом:

$\frac{14}{27} \cdot (-\frac{18}{35}) = - \frac{14 \cdot 18}{27 \cdot 35}$

Сократим дробь: 14 и 35 делятся на 7; 18 и 27 делятся на 9.

$- \frac{14 \cdot 18}{27 \cdot 35} = - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 5} = -\frac{4}{15}$

3. Выполним вычитание. Вычесть отрицательное число — то же самое, что прибавить противоположное ему положительное число:

$\frac{2}{5} - (-\frac{4}{15}) = \frac{2}{5} + \frac{4}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{4}{15} = \frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{10}{15}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

б)

Выполним вычисления по действиям.

1. Первое произведение. Произведение двух отрицательных чисел положительно:

$-\frac{27}{20} \cdot (-\frac{5}{9}) = \frac{27 \cdot 5}{20 \cdot 9}$

Сократим дробь: 27 и 9 делятся на 9; 20 и 5 делятся на 5.

$\frac{27 \cdot 5}{20 \cdot 9} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 1} = \frac{3}{4}$

2. Второе произведение:

$\frac{5}{24} \cdot (-\frac{22}{5}) = - \frac{5 \cdot 22}{24 \cdot 5}$

Сократим дробь: 5 и 5 делятся на 5; 22 и 24 делятся на 2.

$- \frac{5 \cdot 22}{24 \cdot 5} = - \frac{22}{24} = -\frac{11}{12}$

3. Выполним вычитание:

$\frac{3}{4} - (-\frac{11}{12}) = \frac{3}{4} + \frac{11}{12}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{11}{12} = \frac{9}{12} + \frac{11}{12} = \frac{20}{12}$

Сократим полученную дробь на 4:

$\frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$.

в)

Выполним вычисления по действиям: сначала умножение, затем сложение.

1. Первое произведение:

$\frac{21}{20} \cdot (-\frac{8}{21}) = - \frac{21 \cdot 8}{20 \cdot 21}$

Сократим дробь на 21, а затем 8 и 20 на 4:

$- \frac{8}{20} = -\frac{2}{5}$

2. Второе произведение:

$\frac{7}{72} \cdot (-\frac{36}{5}) = - \frac{7 \cdot 36}{72 \cdot 5}$

Сократим дробь: 72 делится на 36 (72 = 2 · 36).

$- \frac{7 \cdot 36}{2 \cdot 36 \cdot 5} = - \frac{7}{2 \cdot 5} = -\frac{7}{10}$

3. Выполним сложение:

$-\frac{2}{5} + (-\frac{7}{10}) = -\frac{2}{5} - \frac{7}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$-\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{7}{10} = -\frac{4}{10} - \frac{7}{10} = \frac{-4-7}{10} = -\frac{11}{10}$

Ответ: $-\frac{11}{10}$.

г)

Выполним вычисления по действиям.

1. Первое произведение. Произведение двух отрицательных чисел положительно. Предварительно сократим первую дробь: $\frac{36}{60} = \frac{3 \cdot 12}{5 \cdot 12} = \frac{3}{5}$.

$-\frac{36}{60} \cdot (-\frac{5}{18}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{18} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 18}$

Сократим дробь на 5, а затем на 3:

$\frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

2. Второе произведение. Произведение двух отрицательных чисел также положительно. Предварительно сократим дробь $\frac{21}{56}$ на 7: $\frac{21}{56} = \frac{3 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{3}{8}$.

$(-\frac{21}{56}) \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 1}{8 \cdot 3}$

Сократим дробь на 3:

$\frac{1}{8}$

3. Выполним вычитание результатов:

$\frac{1}{6} - \frac{1}{8}$

Найдем общий знаменатель, который равен 24:

$\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$.