Номер 543, страница 106 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.5. Умножение и деление дробей. Глава 3. Рациональные числа - номер 543, страница 106.

Условие.

543. Положительным или отрицательным числом является степень отрицательной дроби:

а) с чётным показателем;

б) с нечётным показателем?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) с чётным показателем
При возведении отрицательного числа, в том числе и отрицательной дроби, в чётную степень, результат всегда является положительным числом.
Пусть у нас есть отрицательная дробь $(-\frac{a}{b})$ и чётный показатель степени $n$. Любое чётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ - натуральное число.
Возведение в степень $n$ — это умножение числа на себя $n$ раз:
$\left(-\frac{a}{b}\right)^n = \left(-\frac{a}{b}\right)^{2k} = \underbrace{\left(-\frac{a}{b}\right) \cdot \left(-\frac{a}{b}\right) \cdot \ldots \cdot \left(-\frac{a}{b}\right)}_{2k \text{ множителей}}$
Так как количество множителей чётно (равно $2k$), мы можем сгруппировать их попарно. Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно:
$\left(-\frac{a}{b}\right) \cdot \left(-\frac{a}{b}\right) = \frac{a^2}{b^2} > 0$
В результате мы получаем произведение $k$ пар, каждая из которых даёт положительный результат. Произведение положительных чисел всегда положительно.
Например: $\left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: положительным.

б) с нечётным показателем
При возведении отрицательного числа, в том числе и отрицательной дроби, в нечётную степень, результат всегда является отрицательным числом.
Пусть у нас есть отрицательная дробь $(-\frac{a}{b})$ и нечётный показатель степени $m$. Любое нечётное число $m$ можно представить в виде $m = 2k+1$, где $k$ - целое неотрицательное число.
Запишем степень с нечётным показателем:
$\left(-\frac{a}{b}\right)^m = \left(-\frac{a}{b}\right)^{2k+1} = \underbrace{\left(-\frac{a}{b}\right) \cdot \ldots \cdot \left(-\frac{a}{b}\right)}_{2k \text{ множителей}} \cdot \left(-\frac{a}{b}\right)$
Как мы выяснили в пункте (а), произведение чётного числа отрицательных сомножителей является положительным числом: $\left(-\frac{a}{b}\right)^{2k} > 0$.
Следовательно, наше выражение превращается в произведение положительного числа на отрицательное:
$\left(-\frac{a}{b}\right)^{2k+1} = \left(-\frac{a}{b}\right)^{2k} \cdot \left(-\frac{a}{b}\right) = (\text{положительное число}) \cdot (\text{отрицательное число})$
Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.
Например: $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{8}$.
Ответ: отрицательным.