Страница 100 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

504. a) $-\frac{1}{3} + \frac{2}{3};$

б) $-\frac{1}{4} + \frac{3}{4};$

в) $\frac{1}{5} + \frac{-3}{5};$

г) $\frac{3}{7} + \frac{-4}{7};$

д) $\frac{8}{13} + \frac{-12}{13};$

е) $\frac{19}{25} + \frac{-24}{25}.$

а) Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. В данном случае общий знаменатель равен 3.

$-\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{-1 + 2}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Знаменатели дробей одинаковы и равны 4. Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменений.

$-\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4}$

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2.

$\frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Складываем дроби с одинаковым знаменателем 5. Для этого складываем их числители.

$\frac{1}{5} + \frac{-3}{5} = \frac{1 + (-3)}{5} = \frac{1 - 3}{5} = \frac{-2}{5} = -\frac{2}{5}$

Ответ: $-\frac{2}{5}$

г) Знаменатели дробей одинаковы и равны 7. Складываем числители, а знаменатель оставляем тем же.

$\frac{3}{7} + \frac{-4}{7} = \frac{3 + (-4)}{7} = \frac{3 - 4}{7} = \frac{-1}{7} = -\frac{1}{7}$

Ответ: $-\frac{1}{7}$

д) Складываем дроби с общим знаменателем 13. Для этого складываем их числители.

$\frac{8}{13} + \frac{-12}{13} = \frac{8 + (-12)}{13} = \frac{8 - 12}{13} = \frac{-4}{13} = -\frac{4}{13}$

Ответ: $-\frac{4}{13}$

е) Знаменатели дробей одинаковы и равны 25. Складываем числители, а знаменатель оставляем прежним.

$\frac{19}{25} + \frac{-24}{25} = \frac{19 + (-24)}{25} = \frac{19 - 24}{25} = \frac{-5}{25}$

Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 5.

$\frac{-5}{25} = \frac{-5 \div 5}{25 \div 5} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$

Ответ: $-\frac{1}{5}$

505. a) $\frac{1}{2} + \frac{-1}{2}$;

б) $\frac{-5}{6} + \frac{5}{6}$;

в) $\frac{-2}{3} + \frac{2}{3}$.

a)

Для того чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. В данном случае мы складываем два противоположных числа, сумма которых всегда равна нулю.

$\frac{1}{2} + \frac{-1}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{1 - 1}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Ответ: 0

б)

Данные дроби также являются противоположными числами, так как их модули равны, а знаки различны. Складываем их по правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

$\frac{-5}{6} + \frac{5}{6} = \frac{-5 + 5}{6} = \frac{0}{6} = 0$

Ответ: 0

в)

В этом примере, как и в предыдущих, мы имеем дело с суммой двух противоположных чисел. Знаменатели у дробей одинаковые, поэтому для нахождения суммы достаточно сложить их числители.

$\frac{-2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{-2 + 2}{3} = \frac{0}{3} = 0$

Ответ: 0

506. а) $ \frac{1}{3} - \frac{2}{3} $;

б) $ \frac{1}{4} - \frac{3}{4} $;

в) $ \frac{2}{7} - \frac{5}{7} $;

г) $ \frac{7}{12} - \frac{11}{12} $;

д) $ \frac{-8}{11} - \frac{3}{11} $;

е) $ -\frac{5}{17} - \frac{10}{17} $.

а) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{1}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1 - 2}{3} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

б) Выполняем вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Полученную дробь необходимо сократить.
$\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4}$
Сокращаем числитель и знаменатель на 2:
$\frac{-2}{4} = -\frac{2 \div 2}{4 \div 2} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Выполняем вычитание числителей, оставляя знаменатель прежним.
$\frac{2}{7} - \frac{5}{7} = \frac{2 - 5}{7} = \frac{-3}{7} = -\frac{3}{7}$
Ответ: $-\frac{3}{7}$

г) Выполняем вычитание и сокращаем полученную дробь.
$\frac{7}{12} - \frac{11}{12} = \frac{7 - 11}{12} = \frac{-4}{12}$
Наибольший общий делитель для 4 и 12 равен 4. Сокращаем дробь:
$\frac{-4}{12} = -\frac{4 \div 4}{12 \div 4} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

д) В данном случае мы вычитаем положительную дробь из отрицательной, что равносильно сложению двух отрицательных чисел в числителе.
$\frac{-8}{11} - \frac{3}{11} = \frac{-8 - 3}{11} = \frac{-11}{11}$
Результат можно упростить:
$\frac{-11}{11} = -1$
Ответ: $-1$

е) Вычитаем дроби, что эквивалентно сложению отрицательных чисел в числителе.
$-\frac{5}{17} - \frac{10}{17} = \frac{-5 - 10}{17} = \frac{-15}{17} = -\frac{15}{17}$
Дробь является несократимой, так как числа 15 и 17 не имеют общих делителей, кроме 1.
Ответ: $-\frac{15}{17}$

507. а) $\frac{-2}{7} - \frac{-5}{7}$;

б) $\frac{-4}{9} - \frac{-8}{9}$;

в) $-\frac{1}{10} - \frac{-7}{10}$;

г) $-\frac{12}{19} - \frac{7}{19}$;

д) $-\frac{-4}{5} - \frac{-3}{5}$;

е) $-\frac{1}{24} - \frac{11}{24}$.

а) Для вычитания дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить без изменений. Вычитание отрицательного числа заменяется сложением.
$ \frac{-2}{7} - \frac{-5}{7} = \frac{-2 - (-5)}{7} = \frac{-2 + 5}{7} = \frac{3}{7} $
Ответ: $ \frac{3}{7} $

б) Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, как и в предыдущем примере.
$ \frac{-4}{9} - \frac{-8}{9} = \frac{-4 - (-8)}{9} = \frac{-4 + 8}{9} = \frac{4}{9} $
Ответ: $ \frac{4}{9} $

в) Представим $ -\frac{1}{10} $ как $ \frac{-1}{10} $ и выполним вычитание.
$ -\frac{1}{10} - \frac{-7}{10} = \frac{-1}{10} - \frac{-7}{10} = \frac{-1 - (-7)}{10} = \frac{-1 + 7}{10} = \frac{6}{10} $
Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2.
$ \frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5} $
Ответ: $ \frac{3}{5} $

г) Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем 19.
$ -\frac{12}{19} - \frac{7}{19} = \frac{-12}{19} - \frac{7}{19} = \frac{-12 - 7}{19} = \frac{-19}{19} $
Так как числитель равен знаменателю по модулю и имеет отрицательный знак, дробь равна -1.
$ \frac{-19}{19} = -1 $
Ответ: -1

д) Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем 5.
$ \frac{-4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{-4 - 3}{5} = \frac{-7}{5} $
Эту неправильную дробь можно также записать в виде смешанного числа: $ -1\frac{2}{5} $.
Ответ: $ -\frac{7}{5} $

е) Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем 24.
$ -\frac{1}{24} - \frac{11}{24} = \frac{-1}{24} - \frac{11}{24} = \frac{-1 - 11}{24} = \frac{-12}{24} $
Сократим полученную дробь на 12.
$ \frac{-12}{24} = \frac{-12 \div 12}{24 \div 12} = \frac{-1}{2} $
Ответ: $ -\frac{1}{2} $

508. а) $ -\frac{1}{2} + \frac{-1}{4} $;

б) $ -\frac{1}{3} + \frac{1}{6} $;

В) $ -\frac{1}{2} + \frac{1}{6} $;

Г) $ \frac{1}{8} + \frac{-1}{4} $;

Д) $ \frac{3}{10} + \frac{-7}{100} $.

509. а) $-\frac{3}{5} - \frac{9}{10};$

б) $-\frac{15}{24} - \frac{3}{8};$

В) $-\frac{2}{3} - \frac{5}{6};$

Г) $-\frac{7}{6} - \frac{5}{24};$

Д) $\frac{2}{5} - \frac{13}{50};$

е) $-\frac{50}{160} - \frac{9}{16}.$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $ \frac{3}{5} - \frac{9}{10} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 10 равен 10. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} $
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{6}{10} - \frac{9}{10} = \frac{6-9}{10} = \frac{-3}{10} = -\frac{3}{10} $
Ответ: $ -\frac{3}{10} $

б) В выражении $ -\frac{15}{24} - \frac{3}{8} $ сначала можно сократить первую дробь. Числитель и знаменатель дроби $ \frac{15}{24} $ делятся на 3:
$ \frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8} $
Теперь выражение выглядит так: $ -\frac{5}{8} - \frac{3}{8} $. Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:
$ -\frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{-5 - 3}{8} = \frac{-8}{8} = -1 $
Ответ: $ -1 $

в) Чтобы выполнить вычитание $ -\frac{2}{3} - \frac{5}{6} $, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 равен 6. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$ -\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = -\frac{4}{6} $
Теперь выполним вычитание:
$ -\frac{4}{6} - \frac{5}{6} = \frac{-4 - 5}{6} = \frac{-9}{6} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{-9}{6} = \frac{-9 \div 3}{6 \div 3} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2} $
Ответ: $ -\frac{3}{2} $

г) Для вычисления выражения $ -\frac{7}{6} - \frac{5}{24} $ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 6 и 24 равен 24. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 4:
$ -\frac{7}{6} = -\frac{7 \cdot 4}{6 \cdot 4} = -\frac{28}{24} $
Выполним вычитание дробей:
$ -\frac{28}{24} - \frac{5}{24} = \frac{-28 - 5}{24} = \frac{-33}{24} $
Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{-33}{24} = \frac{-33 \div 3}{24 \div 3} = \frac{-11}{8} = -\frac{11}{8} $
Ответ: $ -\frac{11}{8} $

д) В выражении $ \frac{2}{5} - \frac{13}{50} $ приведем дроби к общему знаменателю 50. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 10:
$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \frac{20}{50} $
Теперь выполним вычитание:
$ \frac{20}{50} - \frac{13}{50} = \frac{20 - 13}{50} = \frac{7}{50} $
Дробь $ \frac{7}{50} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{7}{50} $

е) В выражении $ -\frac{50}{160} - \frac{9}{16} $ упростим первую дробь, сократив ее на 10:
$ -\frac{50}{160} = -\frac{50 \div 10}{160 \div 10} = -\frac{5}{16} $
Теперь выражение имеет вид $ -\frac{5}{16} - \frac{9}{16} $. Знаменатели одинаковы, поэтому вычитаем числители:
$ -\frac{5}{16} - \frac{9}{16} = \frac{-5 - 9}{16} = \frac{-14}{16} $
Сократим полученную дробь на 2:
$ \frac{-14}{16} = \frac{-14 \div 2}{16 \div 2} = \frac{-7}{8} = -\frac{7}{8} $
Ответ: $ -\frac{7}{8} $

510. а) $-\frac{1}{6} + \frac{1}{9}$;

б) $\frac{3}{10} - \frac{2}{15}$;

в) $-\frac{2}{10} - \frac{6}{15}$;

г) $\frac{3}{8} - \frac{2}{9}$;

д) $-\frac{5}{12} + \frac{4}{15}$;

е) $\frac{2}{16} - \frac{-3}{39}$.

а) Чтобы сложить дроби $-\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{9}$ с разными знаменателями, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 9 — это их наименьшее общее кратное (НОК). НОК(6, 9) = 18.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой $18 \div 6 = 3$, для второй $18 \div 9 = 2$.
Теперь приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:
$-\frac{1}{6} + \frac{1}{9} = -\frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = -\frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{-3 + 2}{18} = -\frac{1}{18}$.
Ответ: $-\frac{1}{18}$

б) Для вычитания дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{2}{15}$ приведем их к общему знаменателю. НОК(10, 15) = 30.
Дополнительный множитель для первой дроби: $30 \div 10 = 3$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $30 \div 15 = 2$.
Выполним вычитание:
$\frac{3}{10} - \frac{2}{15} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{9}{30} - \frac{4}{30} = \frac{9-4}{30} = \frac{5}{30}$.
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{5}{30} = \frac{5 \div 5}{30 \div 5} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

в) Перед вычислением можно упростить дроби, сократив их:
$-\frac{2}{10} = -\frac{2 \div 2}{10 \div 2} = -\frac{1}{5}$
$\frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$
Теперь выражение имеет вид: $-\frac{1}{5} - \frac{2}{5}$.
Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:
$-\frac{1}{5} - \frac{2}{5} = \frac{-1 - 2}{5} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}$.
Ответ: $-\frac{3}{5}$

г) Чтобы выполнить вычитание $\frac{3}{8} - \frac{2}{9}$, найдем общий знаменатель. Знаменатели 8 и 9 являются взаимно простыми числами, поэтому их НОК равен их произведению: $8 \cdot 9 = 72$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $72 \div 8 = 9$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $72 \div 9 = 8$.
Выполним вычитание:
$\frac{3}{8} - \frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{2 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{27}{72} - \frac{16}{72} = \frac{27 - 16}{72} = \frac{11}{72}$.
Дробь $\frac{11}{72}$ является несократимой.
Ответ: $\frac{11}{72}$

д) Для сложения дробей $-\frac{5}{12}$ и $\frac{4}{15}$ найдем общий знаменатель. НОК(12, 15) = 60.
Дополнительный множитель для первой дроби: $60 \div 12 = 5$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $60 \div 15 = 4$.
Выполним сложение:
$-\frac{5}{12} + \frac{4}{15} = -\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} + \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = -\frac{25}{60} + \frac{16}{60} = \frac{-25 + 16}{60} = \frac{-9}{60}$.
Сократим полученную дробь на 3:
$\frac{-9}{60} = \frac{-9 \div 3}{60 \div 3} = -\frac{3}{20}$.
Ответ: $-\frac{3}{20}$

е) Выражение $\frac{2}{16} - \frac{-3}{39}$ можно упростить. Вычитание отрицательного числа заменяется сложением: $\frac{2}{16} + \frac{3}{39}$.
Сократим обе дроби:
$\frac{2}{16} = \frac{2 \div 2}{16 \div 2} = \frac{1}{8}$
$\frac{3}{39} = \frac{3 \div 3}{39 \div 3} = \frac{1}{13}$
Получаем выражение $\frac{1}{8} + \frac{1}{13}$.
Знаменатели 8 и 13 взаимно простые, их НОК равен $8 \cdot 13 = 104$.
Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:
$\frac{1}{8} + \frac{1}{13} = \frac{1 \cdot 13}{8 \cdot 13} + \frac{1 \cdot 8}{13 \cdot 8} = \frac{13}{104} + \frac{8}{104} = \frac{13 + 8}{104} = \frac{21}{104}$.
Дробь $\frac{21}{104}$ несократима.
Ответ: $\frac{21}{104}$

511. а) $\frac{5}{8} + \left(-\frac{9}{8}\right)$;

б) $-\frac{3}{13} + \left(-\frac{8}{13}\right)$;

В) $-\frac{2}{5} + \frac{4}{5}$;

Г) $\frac{3}{8} + \left(-\frac{3}{4}\right)$;

Д) $-\frac{7}{15} + \left(-\frac{2}{3}\right)$;

е) $-\frac{7}{8} - \frac{15}{16}$;

ж) $\frac{1}{3} + \left(-\frac{1}{2}\right)$;

з) $-\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$;

и) $-\frac{2}{21} + \frac{3}{14}$.

а) $ \frac{5}{8} + (-\frac{9}{8}) $
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. Сложение с отрицательным числом равносильно вычитанию.
$ \frac{5}{8} + (-\frac{9}{8}) = \frac{5 - 9}{8} = \frac{-4}{8} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} $
Ответ: $ -\frac{1}{2} $.

б) $ -\frac{3}{13} + (-\frac{8}{13}) $
Знаменатели дробей одинаковы. Сложим числители:
$ -\frac{3}{13} + (-\frac{8}{13}) = \frac{-3 + (-8)}{13} = \frac{-3 - 8}{13} = \frac{-11}{13} $
Ответ: $ -\frac{11}{13} $.

в) $ -\frac{2}{5} + \frac{4}{5} $
Знаменатели дробей одинаковы. Сложим числители:
$ \frac{-2 + 4}{5} = \frac{2}{5} $
Ответ: $ \frac{2}{5} $.

г) $ \frac{3}{8} + (-\frac{3}{4}) $
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 4 равен 8. Дополнительный множитель для второй дроби равен $ 8 \div 4 = 2 $.
$ \frac{3}{8} + (-\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2}) = \frac{3}{8} + (-\frac{6}{8}) = \frac{3 - 6}{8} = \frac{-3}{8} $
Ответ: $ -\frac{3}{8} $.

д) $ -\frac{7}{15} + (-\frac{2}{3}) $
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 3 равен 15. Дополнительный множитель для второй дроби равен $ 15 \div 3 = 5 $.
$ -\frac{7}{15} + (-\frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}) = -\frac{7}{15} + (-\frac{10}{15}) = \frac{-7 - 10}{15} = \frac{-17}{15} $
Можно представить ответ в виде смешанного числа: $ -1\frac{2}{15} $.
Ответ: $ -\frac{17}{15} $.

е) $ -\frac{7}{8} - \frac{15}{16} $
Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 16 равен 16. Дополнительный множитель для первой дроби равен $ 16 \div 8 = 2 $.
$ -\frac{7 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{15}{16} = -\frac{14}{16} - \frac{15}{16} = \frac{-14 - 15}{16} = \frac{-29}{16} $
Можно представить ответ в виде смешанного числа: $ -1\frac{13}{16} $.
Ответ: $ -\frac{29}{16} $.

ж) $ \frac{1}{3} + (-\frac{1}{2}) $
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 равен 6. Дополнительный множитель для первой дроби – 2, для второй – 3.
$ \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + (-\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}) = \frac{2}{6} + (-\frac{3}{6}) = \frac{2 - 3}{6} = \frac{-1}{6} $
Ответ: $ -\frac{1}{6} $.

з) $ -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} $
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби – 3, для второй – 4.
$ -\frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = -\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{-3 + 4}{12} = \frac{1}{12} $
Ответ: $ \frac{1}{12} $.

и) $ -\frac{2}{21} + \frac{3}{14} $
Найдем наименьший общий знаменатель для 21 и 14. $ 21 = 3 \cdot 7 $, $ 14 = 2 \cdot 7 $. НОК(21, 14) = $ 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 $. Дополнительный множитель для первой дроби – 2, для второй – 3.
$ -\frac{2 \cdot 2}{21 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = -\frac{4}{42} + \frac{9}{42} = \frac{-4 + 9}{42} = \frac{5}{42} $
Ответ: $ \frac{5}{42} $.

512. a) $-\frac{9}{180} - \frac{7}{120}$;$

б) $-\frac{4}{210} + \frac{5}{140}$;$

B) $-\frac{7}{480} + \frac{8}{180}$.$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 180 и 120.
Разложим знаменатели на простые множители:
$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$
$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
НОК(180, 120) будет произведением всех простых множителей в наибольшей степени, входящей в разложения:
НОК(180, 120) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби: $360 \div 180 = 2$.
Для второй дроби: $360 \div 120 = 3$.
Теперь выполним вычитание:
$-\frac{9}{180} - \frac{7}{120} = -\frac{9 \cdot 2}{180 \cdot 2} - \frac{7 \cdot 3}{120 \cdot 3} = -\frac{18}{360} - \frac{21}{360} = \frac{-18 - 21}{360} = -\frac{39}{360}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$-\frac{39 \div 3}{360 \div 3} = -\frac{13}{120}$.
Ответ: $-\frac{13}{120}$

б) Чтобы выполнить сложение дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. Найдем НОК для чисел 210 и 140.
Разложим знаменатели на простые множители:
$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
$140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$
НОК(210, 140) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $420 \div 210 = 2$.
Для второй дроби: $420 \div 140 = 3$.
Теперь выполним сложение:
$-\frac{4}{210} + \frac{5}{140} = -\frac{4 \cdot 2}{210 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{140 \cdot 3} = -\frac{8}{420} + \frac{15}{420} = \frac{-8 + 15}{420} = \frac{7}{420}$.
Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на 7:
$\frac{7 \div 7}{420 \div 7} = \frac{1}{60}$.
Ответ: $\frac{1}{60}$

в) Для сложения дробей $\frac{-7}{480}$ и $\frac{8}{180}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Найдем НОК чисел 480 и 180.
Разложим знаменатели на простые множители:
$480 = 48 \cdot 10 = (16 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5$
$180 = 18 \cdot 10 = (2 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$
НОК(480, 180) = $2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = 32 \cdot 9 \cdot 5 = 1440$.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $1440 \div 480 = 3$.
Для второй дроби: $1440 \div 180 = 8$.
Выполним сложение:
$\frac{-7}{480} + \frac{8}{180} = -\frac{7 \cdot 3}{480 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 8}{180 \cdot 8} = -\frac{21}{1440} + \frac{64}{1440} = \frac{-21 + 64}{1440} = \frac{43}{1440}$.
Число 43 является простым, и 1440 на 43 не делится, поэтому дробь несократимая.
Ответ: $\frac{43}{1440}$

513. а) $- \frac{7}{15} + \frac{2}{15} - \frac{1}{5};$

б) $- \frac{1}{6} - \frac{5}{12} - \frac{7}{24};$

в) $- \frac{3}{13} - \frac{5}{13} + \frac{3}{26};$

г) $\frac{9}{28} - \frac{4}{7} - \frac{1}{4};$

д) $\frac{10}{27} - \frac{5}{18} + \frac{8}{9};$

е) $\frac{2}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{15}.$

а) $\frac{7}{15} - \frac{2}{15} + \frac{1}{5}$
Чтобы выполнить действия с дробями, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 5 это 15.
Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{5}$ равен $15:5=3$.
$\frac{7}{15} - \frac{2}{15} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{7}{15} - \frac{2}{15} + \frac{3}{15}$
Теперь выполним действия в числителе:
$\frac{7 - 2 + 3}{15} = \frac{5 + 3}{15} = \frac{8}{15}$
Ответ: $\frac{8}{15}$

б) $\frac{1}{6} - \frac{5}{12} + \frac{7}{24}$
Найдем наименьший общий знаменатель для 6, 12 и 24. Это 24.
Приведем все дроби к знаменателю 24. Дополнительные множители: для $\frac{1}{6}$ это $24:6=4$; для $\frac{5}{12}$ это $24:12=2$.
$\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} + \frac{7}{24} = \frac{4}{24} - \frac{10}{24} + \frac{7}{24}$
Выполним действия в числителе:
$\frac{4 - 10 + 7}{24} = \frac{-6 + 7}{24} = \frac{1}{24}$
Ответ: $\frac{1}{24}$

в) $\frac{3}{13} - \frac{5}{13} + \frac{3}{26}$
Найдем наименьший общий знаменатель для 13 и 26. Это 26.
Приведем первые две дроби к знаменателю 26. Дополнительный множитель для них: $26:13=2$.
$\frac{3 \cdot 2}{13 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 2}{13 \cdot 2} + \frac{3}{26} = \frac{6}{26} - \frac{10}{26} + \frac{3}{26}$
Выполним действия в числителе:
$\frac{6 - 10 + 3}{26} = \frac{-4 + 3}{26} = -\frac{1}{26}$
Ответ: $-\frac{1}{26}$

г) $\frac{9}{28} - \frac{4}{7} - \frac{1}{4}$
Найдем наименьший общий знаменатель для 28, 7 и 4. Это 28.
Приведем дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{1}{4}$ к знаменателю 28. Дополнительные множители: для $\frac{4}{7}$ это $28:7=4$; для $\frac{1}{4}$ это $28:4=7$.
$\frac{9}{28} - \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} - \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{9}{28} - \frac{16}{28} - \frac{7}{28}$
Выполним действия в числителе:
$\frac{9 - 16 - 7}{28} = \frac{-7 - 7}{28} = \frac{-14}{28}$
Сократим полученную дробь на 14:
$\frac{-14}{28} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-\frac{1}{2}$

д) $\frac{10}{27} - \frac{5}{18} + \frac{8}{9}$
Найдем наименьший общий знаменатель для 27, 18 и 9. Разложим знаменатели на простые множители: $27 = 3^3$, $18 = 2 \cdot 3^2$, $9 = 3^2$. НОК(27, 18, 9) = $2 \cdot 3^3 = 54$.
Приведем все дроби к знаменателю 54. Дополнительные множители: для $\frac{10}{27}$ это $54:27=2$; для $\frac{5}{18}$ это $54:18=3$; для $\frac{8}{9}$ это $54:9=6$.
$\frac{10 \cdot 2}{27 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 6}{9 \cdot 6} = \frac{20}{54} - \frac{15}{54} + \frac{48}{54}$
Выполним действия в числителе:
$\frac{20 - 15 + 48}{54} = \frac{5 + 48}{54} = \frac{53}{54}$
Ответ: $\frac{53}{54}$

е) $\frac{2}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{15}$
Найдем наименьший общий знаменатель для 5, 6 и 15. НОК(5, 6, 15) = 30.
Приведем все дроби к знаменателю 30. Дополнительные множители: для $\frac{2}{5}$ это $30:5=6$; для $\frac{1}{6}$ это $30:6=5$; для $\frac{1}{15}$ это $30:15=2$.
$\frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{12}{30} + \frac{5}{30} + \frac{2}{30}$
Выполним действия в числителе:
$\frac{12 + 5 + 2}{30} = \frac{19}{30}$
Ответ: $\frac{19}{30}$