Номер 512, страница 100 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

3.4. Сложение и вычитание дробей. Глава 3. Рациональные числа - номер 512, страница 100.

Условие.

512. a) $-\frac{9}{180} - \frac{7}{120}$;$

б) $-\frac{4}{210} + \frac{5}{140}$;$

B) $-\frac{7}{480} + \frac{8}{180}$.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) Чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 180 и 120.
Разложим знаменатели на простые множители:
$180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$
$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
НОК(180, 120) будет произведением всех простых множителей в наибольшей степени, входящей в разложения:
НОК(180, 120) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби: $360 \div 180 = 2$.
Для второй дроби: $360 \div 120 = 3$.
Теперь выполним вычитание:
$-\frac{9}{180} - \frac{7}{120} = -\frac{9 \cdot 2}{180 \cdot 2} - \frac{7 \cdot 3}{120 \cdot 3} = -\frac{18}{360} - \frac{21}{360} = \frac{-18 - 21}{360} = -\frac{39}{360}$.
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:
$-\frac{39 \div 3}{360 \div 3} = -\frac{13}{120}$.
Ответ: $-\frac{13}{120}$

б) Чтобы выполнить сложение дробей с разными знаменателями, сначала приведем их к общему знаменателю. Найдем НОК для чисел 210 и 140.
Разложим знаменатели на простые множители:
$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
$140 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$
НОК(210, 140) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $420 \div 210 = 2$.
Для второй дроби: $420 \div 140 = 3$.
Теперь выполним сложение:
$-\frac{4}{210} + \frac{5}{140} = -\frac{4 \cdot 2}{210 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{140 \cdot 3} = -\frac{8}{420} + \frac{15}{420} = \frac{-8 + 15}{420} = \frac{7}{420}$.
Сократим результат, разделив числитель и знаменатель на 7:
$\frac{7 \div 7}{420 \div 7} = \frac{1}{60}$.
Ответ: $\frac{1}{60}$

в) Для сложения дробей $\frac{-7}{480}$ и $\frac{8}{180}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Найдем НОК чисел 480 и 180.
Разложим знаменатели на простые множители:
$480 = 48 \cdot 10 = (16 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5$
$180 = 18 \cdot 10 = (2 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$
НОК(480, 180) = $2^5 \cdot 3^2 \cdot 5 = 32 \cdot 9 \cdot 5 = 1440$.
Найдем дополнительные множители:
Для первой дроби: $1440 \div 480 = 3$.
Для второй дроби: $1440 \div 180 = 8$.
Выполним сложение:
$\frac{-7}{480} + \frac{8}{180} = -\frac{7 \cdot 3}{480 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 8}{180 \cdot 8} = -\frac{21}{1440} + \frac{64}{1440} = \frac{-21 + 64}{1440} = \frac{43}{1440}$.
Число 43 является простым, и 1440 на 43 не делится, поэтому дробь несократимая.
Ответ: $\frac{43}{1440}$