Страница 94 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

469. Равны ли рациональные числа:

а) $\frac{1}{4}$ и $\frac{-8}{-32}$;

б) $\frac{-75}{100}$ и $\frac{3}{-4}$;

в) $\frac{24}{-40}$ и $\frac{-27}{45}$;

г) $\frac{-77}{-88}$ и $\frac{63}{72}$?

а) Чтобы определить, равны ли рациональные числа $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{-8}{-32} $, мы можем упростить вторую дробь.
Дробь $ \frac{-8}{-32} $ является частным двух отрицательных чисел, что дает в результате положительное число: $ \frac{-8}{-32} = \frac{8}{32} $.
Теперь сократим дробь $ \frac{8}{32} $, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8.
$ \frac{8 \div 8}{32 \div 8} = \frac{1}{4} $.
Так как первая дробь равна $ \frac{1}{4} $ и вторая дробь после упрощения также равна $ \frac{1}{4} $, эти числа равны.
Ответ: Да.

б) Сравним числа $ \frac{-75}{100} $ и $ \frac{3}{-4} $.
Сначала упростим первую дробь $ \frac{-75}{100} $. Наибольший общий делитель числителя 75 и знаменателя 100 равен 25.
$ \frac{-75}{100} = -\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = -\frac{3}{4} $.
Вторая дробь $ \frac{3}{-4} $ также является отрицательным числом, и ее можно записать как $ -\frac{3}{4} $.
Поскольку оба числа равны $ -\frac{3}{4} $, они равны между собой.
Ответ: Да.

в) Сравним числа $ \frac{24}{-40} $ и $ \frac{-27}{45} $.
Упростим первую дробь $ \frac{24}{-40} $. Знак дроби отрицательный. Наибольший общий делитель чисел 24 и 40 равен 8.
$ \frac{24}{-40} = -\frac{24}{40} = -\frac{24 \div 8}{40 \div 8} = -\frac{3}{5} $.
Теперь упростим вторую дробь $ \frac{-27}{45} $. Знак дроби также отрицательный. Наибольший общий делитель чисел 27 и 45 равен 9.
$ \frac{-27}{45} = -\frac{27}{45} = -\frac{27 \div 9}{45 \div 9} = -\frac{3}{5} $.
Обе дроби упрощаются до $ -\frac{3}{5} $, следовательно, они равны.
Ответ: Да.

г) Сравним числа $ \frac{-77}{-88} $ и $ \frac{63}{72} $.
Упростим первую дробь $ \frac{-77}{-88} $. Так как и числитель, и знаменатель отрицательные, дробь положительна. Наибольший общий делитель чисел 77 и 88 равен 11.
$ \frac{-77}{-88} = \frac{77}{88} = \frac{77 \div 11}{88 \div 11} = \frac{7}{8} $.
Теперь упростим вторую дробь $ \frac{63}{72} $. Наибольший общий делитель чисел 63 и 72 равен 9.
$ \frac{63}{72} = \frac{63 \div 9}{72 \div 9} = \frac{7}{8} $.
Обе дроби упрощаются до $ \frac{7}{8} $, следовательно, они равны.
Ответ: Да.

470. Запишите в виде целого числа дробь:

а) $\frac{2}{1};$

б) $\frac{-13}{1};$

в) $\frac{0}{2};$

г) $\frac{-14}{7};$

д) $\frac{-32}{-4};$

е) $\frac{44}{-11}.$

Чтобы записать дробь в виде целого числа, необходимо выполнить действие деления числителя на знаменатель.

а) Для дроби $\frac{2}{1}$ разделим числитель 2 на знаменатель 1.
$\frac{2}{1} = 2 \div 1 = 2$.
Ответ: 2

б) Для дроби $\frac{-13}{1}$ разделим числитель -13 на знаменатель 1.
$\frac{-13}{1} = -13 \div 1 = -13$.
Ответ: -13

в) Для дроби $\frac{0}{2}$ разделим числитель 0 на знаменатель 2. При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль.
$\frac{0}{2} = 0 \div 2 = 0$.
Ответ: 0

г) Для дроби $\frac{-14}{7}$ разделим числитель -14 на знаменатель 7. При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным.
$\frac{-14}{7} = -(14 \div 7) = -2$.
Ответ: -2

д) Для дроби $\frac{-32}{-4}$ разделим числитель -32 на знаменатель -4. При делении двух отрицательных чисел, результат будет положительным.
$\frac{-32}{-4} = 32 \div 4 = 8$.
Ответ: 8

е) Для дроби $\frac{44}{-11}$ разделим числитель 44 на знаменатель -11. При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным.
$\frac{44}{-11} = -(44 \div 11) = -4$.
Ответ: -4

471. Даны рациональные числа:

$- \frac{17}{9}$, $\frac{37}{-48}$, $\frac{-15}{-5}$, $\frac{0}{-7}$, $\frac{-17}{-1}$, $\frac{16}{-8}$, $\frac{-46}{-23}$, $\frac{-20}{-30}$

Выпишите числа, являющиеся:

а) натуральными;

б) целыми.

Для того чтобы определить, какие из данных рациональных чисел являются натуральными, а какие — целыми, необходимо сначала упростить каждое из них:

• $-\frac{17}{9}$ — это отрицательное дробное число, не является целым.

• $\frac{37}{-48} = -\frac{37}{48}$ — это отрицательное дробное число, не является целым.

• $\frac{-15}{-5} = 3$

• $\frac{0}{-7} = 0$

• $\frac{-17}{-1} = 17$

• $\frac{16}{-8} = -2$

• $\frac{-46}{-23} = 2$

• $\frac{-20}{-30} = \frac{2}{3}$ — это положительное дробное число, не является целым.

Теперь выпишем числа в соответствии с заданием.

а) натуральными;
Натуральные числа — это целые положительные числа, которые используются для счета (1, 2, 3, ...). Из упрощенных чисел натуральными являются $3$, $17$ и $2$. Запишем их в исходном виде.
Ответ: $\frac{-15}{-5}$, $\frac{-17}{-1}$, $\frac{-46}{-23}$.

б) целыми.
Целые числа — это натуральные числа, им противоположные и число ноль (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Из упрощенных чисел целыми являются $3$, $0$, $17$, $-2$ и $2$. Запишем их в исходном виде.
Ответ: $\frac{-15}{-5}$, $\frac{0}{-7}$, $\frac{-17}{-1}$, $\frac{16}{-8}$, $\frac{-46}{-23}$.

472. Найдите равные среди рациональных чисел:

$-\frac{3}{9}$, $\frac{-5}{-10}$, $\frac{4}{-8}$, $\frac{-25}{50}$, $\frac{0}{100}$, $\frac{17}{34}$, $\frac{0}{-72}$, $\frac{100}{-300}$.

Для того чтобы найти равные рациональные числа, необходимо упростить каждую дробь, приведя её к несократимому виду.

1. $-\frac{3}{9} = -\frac{3 \div 3}{9 \div 3} = -\frac{1}{3}$

2. $\frac{-5}{-10} = \frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$

3. $\frac{4}{-8} = -\frac{4}{8} = -\frac{4 \div 4}{8 \div 4} = -\frac{1}{2}$

4. $\frac{-25}{50} = -\frac{25}{50} = -\frac{25 \div 25}{50 \div 25} = -\frac{1}{2}$

5. $\frac{0}{100} = 0$

6. $\frac{17}{34} = \frac{17 \div 17}{34 \div 17} = \frac{1}{2}$

7. $\frac{0}{-72} = 0$

8. $\frac{100}{-300} = -\frac{100}{300} = -\frac{100 \div 100}{300 \div 100} = -\frac{1}{3}$

Теперь, сравнив полученные результаты, мы можем сгруппировать равные числа.

Первая группа равных чисел

Дроби $-\frac{3}{9}$ и $\frac{100}{-300}$ равны, так как обе после упрощения равны $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{3}{9} = \frac{100}{-300}$.

Вторая группа равных чисел

Дроби $\frac{-5}{-10}$ и $\frac{17}{34}$ равны, так как обе после упрощения равны $\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{-5}{-10} = \frac{17}{34}$.

Третья группа равных чисел

Дроби $\frac{4}{-8}$ и $\frac{-25}{50}$ равны, так как обе после упрощения равны $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{4}{-8} = \frac{-25}{50}$.

Четвертая группа равных чисел

Дроби $\frac{0}{100}$ и $\frac{0}{-72}$ равны, так как обе равны $0$.

Ответ: $\frac{0}{100} = \frac{0}{-72}$.

473. Запишите три дроби с положительным знаменателем, равные числу:

а) $5$;

б) $-2$;

в) $-28$;

г) $0$.

а) 5

Чтобы представить целое число в виде дроби, можно записать это число в числитель, а в знаменатель поставить 1. Получится дробь $\frac{5}{1}$. По основному свойству дроби, если умножить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Чтобы получить три разные дроби, равные 5, с положительным знаменателем, мы можем умножить числитель и знаменатель дроби $\frac{5}{1}$ на разные натуральные числа, например, на 2, 3 и 10.

1. $\frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{10}{2}$

2. $\frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 3} = \frac{15}{3}$

3. $\frac{5 \cdot 10}{1 \cdot 10} = \frac{50}{10}$

Ответ: $\frac{10}{2}, \frac{15}{3}, \frac{50}{10}$.

б) -2

Аналогично пункту а), представим число -2 в виде дроби $\frac{-2}{1}$ и умножим числитель и знаменатель на различные натуральные числа, например, 2, 5 и 7.

1. $\frac{-2 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{-4}{2}$

2. $\frac{-2 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{-10}{5}$

3. $\frac{-2 \cdot 7}{1 \cdot 7} = \frac{-14}{7}$

Ответ: $\frac{-4}{2}, \frac{-10}{5}, \frac{-14}{7}$.

в) -28

Действуем по тому же принципу для числа -28. Представим его как дробь $\frac{-28}{1}$ и выберем произвольные натуральные множители, например, 1, 2 и 10.

1. $\frac{-28 \cdot 1}{1 \cdot 1} = \frac{-28}{1}$

2. $\frac{-28 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{-56}{2}$

3. $\frac{-28 \cdot 10}{1 \cdot 10} = \frac{-280}{10}$

Ответ: $\frac{-28}{1}, \frac{-56}{2}, \frac{-280}{10}$.

г) 0

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. По условию, знаменатель должен быть положительным. Таким образом, мы можем выбрать любое положительное число в качестве знаменателя, а числитель должен быть равен 0.

1. Возьмем знаменатель 1: $\frac{0}{1}$

2. Возьмем знаменатель 3: $\frac{0}{3}$

3. Возьмем знаменатель 42: $\frac{0}{42}$

Ответ: $\frac{0}{1}, \frac{0}{3}, \frac{0}{42}$.

474. Является ли дробь положительной, отрицательной:

а) $ \frac{3}{5} $;

б) $ \frac{-5}{9} $;

в) $ \frac{4}{-3} $;

г) $ \frac{0}{-1} $;

д) $ \frac{-6}{-8} $;

е) $ -\frac{1}{3} $;

ж) $ -\frac{7}{9} $;

з) $ -\frac{9}{17} $?

Для определения знака дроби необходимо проанализировать знаки ее числителя и знаменателя, а также знак перед самой дробью.

• Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), и перед дробью нет знака "минус". Также дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, но перед дробью стоит знак "минус".
• Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют разные знаки, и перед дробью нет знака "минус". Также дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, но перед дробью стоит знак "минус".
• Дробь равна нулю (не является ни положительной, ни отрицательной), если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

а) Дробь $\frac{3}{5}$.
Числитель $3$ — положительное число.
Знаменатель $5$ — положительное число.
Так как знаки числителя и знаменателя совпадают (оба положительные), дробь является положительной.
Ответ: положительная.

б) Дробь $\frac{-5}{9}$.
Числитель $-5$ — отрицательное число.
Знаменатель $9$ — положительное число.
Так как знаки числителя и знаменателя различны, дробь является отрицательной.
Ответ: отрицательная.

в) Дробь $\frac{4}{-3}$.
Числитель $4$ — положительное число.
Знаменатель $-3$ — отрицательное число.
Так как знаки числителя и знаменателя различны, дробь является отрицательной.
Ответ: отрицательная.

г) Дробь $\frac{0}{-1}$.
Числитель равен $0$.
Если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то значение дроби равно нулю. Число $0$ не является ни положительным, ни отрицательным.
Ответ: ни положительная, ни отрицательная.

д) Дробь $\frac{-6}{-8}$.
Числитель $-6$ — отрицательное число.
Знаменатель $-8$ — отрицательное число.
Так как знаки числителя и знаменателя совпадают (оба отрицательные), дробь является положительной.
Ответ: положительная.

е) Дробь $-\frac{-1}{3}$.
Сначала определим знак дроби $\frac{-1}{3}$. Числитель $-1$ (отрицательный), знаменатель $3$ (положительный), значит, дробь $\frac{-1}{3}$ отрицательная.
Перед дробью стоит знак "минус", который меняет знак самой дроби на противоположный. Следовательно, $-(\text{отрицательное число}) = \text{положительное число}$.
Ответ: положительная.

ж) Дробь $-\frac{7}{9}$.
Сначала определим знак дроби $\frac{7}{9}$. Числитель $7$ (положительный), знаменатель $9$ (положительный), значит, дробь $\frac{7}{9}$ положительная.
Перед дробью стоит знак "минус". Следовательно, $-(\text{положительное число}) = \text{отрицательное число}$.
Ответ: отрицательная.

з) Дробь $\frac{-9}{17}$.
Числитель $-9$ — отрицательное число.
Знаменатель $17$ — положительное число.
Так как знаки числителя и знаменателя различны, дробь является отрицательной.
Ответ: отрицательная.

475. Назовите и запишите дробь, противоположную дроби:

а) $-\frac{1}{5}$;

б) $-\frac{1}{3}$;

в) $\frac{4}{7}$;

г) $-\frac{5}{6}$;

д) $-\frac{7}{8}$;

е) $\frac{-1}{-3}$.

Противоположные числа — это числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Сумма противоположных чисел равна нулю. Чтобы найти дробь, противоположную данной, необходимо изменить её знак на противоположный (умножить на -1).

а) Дана дробь $-\frac{1}{5}$. Противоположной для неё будет дробь с положительным знаком: $- (-\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

б) Дана дробь $\frac{-1}{3}$, которая является отрицательной и равна $-\frac{1}{3}$. Противоположной для неё будет дробь с положительным знаком: $- (\frac{-1}{3}) = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

в) Дана положительная дробь $\frac{4}{7}$. Противоположной для неё будет та же дробь, но со знаком минус.
Ответ: $-\frac{4}{7}$

г) Дана дробь $-\frac{5}{6}$. Противоположной для неё будет дробь с положительным знаком: $- (-\frac{5}{6}) = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

д) Дана дробь $-\frac{7}{8}$. Противоположной для неё будет дробь с положительным знаком: $- (-\frac{7}{8}) = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$

е) Дана дробь $\frac{-1}{-3}$. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное, поэтому сначала упростим дробь: $\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$. Теперь найдём дробь, противоположную положительной дроби $\frac{1}{3}$. Это будет дробь $-\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$

476. Одинаковые или разные знаки имеют числа $m$ и $n$ $(mn \ne 0)$, если верно равенство:

а) $\left|\frac{m}{n}\right| = \frac{m}{n}$;

б) $\left|\frac{m}{n}\right| = -\frac{m}{n}$?

а) Равенство вида $|x|=x$ выполняется по определению модуля тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $x \ge 0$. В данном случае $x = \frac{m}{n}$. Следовательно, из равенства $|\frac{m}{n}| = \frac{m}{n}$ следует, что $\frac{m}{n} \ge 0$.

Дробь является положительной, если ее числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Поскольку по условию $mn \ne 0$, ни $m$, ни $n$ не равны нулю. Это значит, что $m$ и $n$ должны быть либо оба положительными ($m > 0$, $n > 0$), либо оба отрицательными ($m < 0$, $n < 0$). В обоих случаях их знаки совпадают.

Ответ: одинаковые.

б) Равенство вида $|x|=-x$ выполняется по определению модуля тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $x \le 0$. В данном случае $x = \frac{m}{n}$. Следовательно, из равенства $|\frac{m}{n}| = -\frac{m}{n}$ следует, что $\frac{m}{n} \le 0$.

Дробь является отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поскольку по условию $mn \ne 0$, ни $m$, ни $n$ не равны нулю. Это значит, что одно из чисел должно быть положительным, а другое — отрицательным ($m > 0$ и $n < 0$, или $m < 0$ и $n > 0$). В обоих случаях их знаки различны.

Ответ: разные.