Страница 95 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

​?477. Как сравнивают две дроби:

​а) с общим положительным знаменателем;

​б) с разными знаменателями?

а) с общим положительным знаменателем;

Чтобы сравнить две дроби, у которых одинаковые положительные знаменатели, нужно сравнить их числители. Большей будет та дробь, у которой числитель больше. Меньшей, соответственно, будет та дробь, у которой числитель меньше. Если числители равны, то и дроби равны.

Например, сравним дроби $\frac{7}{15}$ и $\frac{4}{15}$.
Знаменатели у них одинаковы и равны 15. Сравниваем числители: $7 > 4$.
Следовательно, дробь $\frac{7}{15}$ больше, чем дробь $\frac{4}{15}$. Записывается это так: $\frac{7}{15} > \frac{4}{15}$.

Ответ: Из двух дробей с общим положительным знаменателем больше та, у которой числитель больше.

б) с разными знаменателями?

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их необходимо сначала привести к общему положительному знаменателю. После этого сравнение производится по правилу для дробей с одинаковыми знаменателями, то есть по их числителям.

Алгоритм сравнения дробей с разными знаменателями:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Это число будет их наименьшим общим знаменателем.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
4. Сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Например, сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{5}$.
1. Находим наименьший общий знаменатель. Это $НОК(3, 5) = 15$.
2. Дополнительный множитель для первой дроби: $15 \div 3 = 5$. Дополнительный множитель для второй дроби: $15 \div 5 = 3$.
3. Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$
4. Сравниваем полученные дроби $\frac{10}{15}$ и $\frac{9}{15}$. Так как $10 > 9$, то $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$.
Следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.

Ответ: Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему положительному знаменателю и затем сравнить полученные дроби, сравнивая их числители.

478. Сформулируйте правило сравнения: положительной дроби с нулём; отрицательной дроби с нулём; положительной дроби с отрицательной.

положительной дроби с нулём

По определению, положительные числа — это числа, которые больше нуля. Дробь является положительной, если её числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. На координатной прямой все положительные числа, включая дроби, расположены правее нуля. Следовательно, любое положительное число (и любая положительная дробь) всегда больше нуля.

Математически это можно записать так: если дробь $d$ положительна, то $d > 0$.

Например: $ \frac{3}{4} > 0 $; $ 5\frac{1}{2} > 0 $.

Ответ: любая положительная дробь больше нуля.

отрицательной дроби с нулём

По определению, отрицательные числа — это числа, которые меньше нуля. Дробь является отрицательной, если её числитель и знаменатель имеют разные знаки. На координатной прямой все отрицательные числа, включая дроби, расположены левее нуля. Следовательно, любое отрицательное число (и любая отрицательная дробь) всегда меньше нуля.

Математически это можно записать так: если дробь $d$ отрицательна, то $d < 0$.

Например: $ -\frac{7}{8} < 0 $; $ -2.5 < 0 $.

Ответ: любая отрицательная дробь меньше нуля.

положительной дроби с отрицательной

Для сравнения положительной и отрицательной дроби можно использовать ноль в качестве промежуточного значения. Как установлено выше, любая положительная дробь $a$ больше нуля ($a > 0$), а любая отрицательная дробь $b$ меньше нуля ($b < 0$).

Таким образом, мы имеем цепочку неравенств: $b < 0 < a$. Из этой цепочки следует, что $b < a$, или, что то же самое, $a > b$. Это означает, что любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Например: $ \frac{1}{2} > -3 $; $ \frac{15}{4} > -\frac{1}{100} $.

Ответ: любая положительная дробь больше любой отрицательной дроби.

Сравните числа (479–484):

479. а) 15 и -45;

б) 79 и 0;

в) -81 и 0;

г) 48 и -1000;

д) -999 и -1;

е) 46 и -46.

а) Чтобы сравнить числа 15 и -45, нужно определить их знаки. Число 15 является положительным, а число -45 – отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Таким образом, $15 > -45$.
Ответ: $15 > -45$.

б) Чтобы сравнить числа 79 и 0, нужно учесть, что 79 — это положительное число. Любое положительное число всегда больше нуля. Следовательно, $79 > 0$.
Ответ: $79 > 0$.

в) Чтобы сравнить числа -81 и 0, нужно учесть, что -81 — это отрицательное число. Ноль всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $-81 < 0$.
Ответ: $-81 < 0$.

г) Чтобы сравнить числа 48 и -1000, нужно определить их знаки. Число 48 является положительным, а число -1000 – отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Таким образом, $48 > -1000$.
Ответ: $48 > -1000$.

д) Чтобы сравнить два отрицательных числа, -999 и -1, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Модуль числа -999 равен $|-999| = 999$. Модуль числа -1 равен $|-1| = 1$. Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Так как $1 < 999$, то $-1 > -999$. Другими словами, на числовой оси -1 находится правее (ближе к нулю), чем -999. Записывая в исходном порядке, получаем $-999 < -1$.
Ответ: $-999 < -1$.

е) Чтобы сравнить числа 46 и -46, нужно определить их знаки. Число 46 является положительным, а число -46 – отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Таким образом, $46 > -46$.
Ответ: $46 > -46$.

480. а) $\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{7}$;

б) $\frac{49}{50}$ и $\frac{4}{5}$;

в) $\frac{11}{20}$ и $\frac{17}{30}$.

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{4}{7} $, нужно посмотреть на их числители, так как знаменатели у них одинаковы. У какой дроби числитель больше, та дробь и больше. Сравниваем числители: 3 и 4. Так как $ 3 < 4 $, то и дробь $ \frac{3}{7} $ меньше дроби $ \frac{4}{7} $.

$ \frac{3}{7} < \frac{4}{7} $.

Ответ: $ \frac{3}{7} < \frac{4}{7} $.

б) Чтобы сравнить дроби $ \frac{49}{50} $ и $ \frac{4}{5} $, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 50 и 5 является 50. Дробь $ \frac{49}{50} $ уже имеет этот знаменатель. Приведем дробь $ \frac{4}{5} $ к знаменателю 50, умножив ее числитель и знаменатель на 10 ($ 50 \div 5 = 10 $):

$ \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 10} = \frac{40}{50} $.

Теперь сравним дроби $ \frac{49}{50} $ и $ \frac{40}{50} $. Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $ 49 > 40 $. Следовательно, $ \frac{49}{50} > \frac{40}{50} $.

Значит, $ \frac{49}{50} > \frac{4}{5} $.

Ответ: $ \frac{49}{50} > \frac{4}{5} $.

в) Чтобы сравнить дроби $ \frac{11}{20} $ и $ \frac{17}{30} $, нужно привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 20 и 30. НОК(20, 30) = 60. Приведем обе дроби к знаменателю 60.

Для дроби $ \frac{11}{20} $ дополнительный множитель равен $ 60 \div 20 = 3 $:

$ \frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{33}{60} $.

Для дроби $ \frac{17}{30} $ дополнительный множитель равен $ 60 \div 30 = 2 $:

$ \frac{17}{30} = \frac{17 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{34}{60} $.

Теперь сравним полученные дроби $ \frac{33}{60} $ и $ \frac{34}{60} $. Так как знаменатели равны, сравниваем числители: $ 33 < 34 $. Следовательно, $ \frac{33}{60} < \frac{34}{60} $.

Значит, $ \frac{11}{20} < \frac{17}{30} $.

Ответ: $ \frac{11}{20} < \frac{17}{30} $.