Страница 114 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

587. а) $7\frac{2}{9} \cdot 8\frac{2}{3} - 7\frac{2}{9} \cdot 6\frac{2}{3};$

б) $12\frac{35}{44} \cdot 4\frac{1}{10} - 8\frac{35}{44} \cdot 4\frac{1}{10};$

в) $7\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{5} + 7\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{5};$

г) $\left(-3\frac{1}{9}\right) \cdot 7\frac{4}{7} + \left(-3\frac{1}{9}\right) \cdot \left(-2\frac{3}{7}\right);$

д) $2\frac{6}{7} \cdot 4\frac{2}{5} - 2\frac{6}{7} \cdot 4;$

е) $\left(-2\frac{3}{7}\right) \cdot (-5) + 2\frac{3}{7} \cdot \left(-2\frac{2}{3}\right).$

а) $7\frac{2}{9} \cdot 8\frac{2}{3} - 7\frac{2}{9} \cdot 6\frac{2}{3}$

Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения. Вынесем общий множитель $7\frac{2}{9}$ за скобки:

$7\frac{2}{9} \cdot (8\frac{2}{3} - 6\frac{2}{3})$

Сначала выполним действие в скобках:

$8\frac{2}{3} - 6\frac{2}{3} = (8-6) + (\frac{2}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + 0 = 2$

Теперь умножим общий множитель на полученный результат. Для этого представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$7\frac{2}{9} \cdot 2 = \frac{7 \cdot 9 + 2}{9} \cdot 2 = \frac{65}{9} \cdot 2 = \frac{130}{9} = 14\frac{4}{9}$

Ответ: $14\frac{4}{9}$

б) $12\frac{35}{44} \cdot 4\frac{1}{10} - 8\frac{35}{44} \cdot 4\frac{1}{10}$

Вынесем общий множитель $4\frac{1}{10}$ за скобки:

$(12\frac{35}{44} - 8\frac{35}{44}) \cdot 4\frac{1}{10}$

Выполним вычитание в скобках:

$12\frac{35}{44} - 8\frac{35}{44} = (12-8) + (\frac{35}{44} - \frac{35}{44}) = 4 + 0 = 4$

Теперь умножим результат на общий множитель, представив смешанное число в виде неправильной дроби:

$4 \cdot 4\frac{1}{10} = 4 \cdot \frac{4 \cdot 10 + 1}{10} = 4 \cdot \frac{41}{10} = \frac{164}{10} = \frac{82}{5} = 16\frac{2}{5}$

Ответ: $16\frac{2}{5}$

в) $7\frac{1}{3} \cdot 2\frac{1}{5} + 7\frac{1}{3} \cdot 1\frac{4}{5}$

Вынесем общий множитель $7\frac{1}{3}$ за скобки:

$7\frac{1}{3} \cdot (2\frac{1}{5} + 1\frac{4}{5})$

Выполним сложение в скобках:

$2\frac{1}{5} + 1\frac{4}{5} = (2+1) + (\frac{1}{5} + \frac{4}{5}) = 3 + \frac{5}{5} = 3 + 1 = 4$

Теперь умножим общий множитель на полученный результат:

$7\frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{7 \cdot 3 + 1}{3} \cdot 4 = \frac{22}{3} \cdot 4 = \frac{88}{3} = 29\frac{1}{3}$

Ответ: $29\frac{1}{3}$

г) $(-3\frac{1}{9}) \cdot 7\frac{4}{7} + (-3\frac{1}{9}) \cdot (-2\frac{3}{7})$

Вынесем общий множитель $(-3\frac{1}{9})$ за скобки:

$(-3\frac{1}{9}) \cdot (7\frac{4}{7} + (-2\frac{3}{7}))$

Выполним действие в скобках:

$7\frac{4}{7} - 2\frac{3}{7} = (7-2) + (\frac{4}{7} - \frac{3}{7}) = 5 + \frac{1}{7} = 5\frac{1}{7}$

Теперь выполним умножение. Для этого переведем смешанные числа в неправильные дроби:

$(-3\frac{1}{9}) \cdot 5\frac{1}{7} = (-\frac{3 \cdot 9 + 1}{9}) \cdot (\frac{5 \cdot 7 + 1}{7}) = (-\frac{28}{9}) \cdot (\frac{36}{7})$

Сократим дроби и вычислим произведение:

$-\frac{28 \cdot 36}{9 \cdot 7} = - \frac{4 \cdot 4}{1 \cdot 1} = -16$

Ответ: $-16$

д) $2\frac{6}{7} \cdot 4\frac{2}{5} - 2\frac{6}{7} \cdot 4$

Вынесем общий множитель $2\frac{6}{7}$ за скобки:

$2\frac{6}{7} \cdot (4\frac{2}{5} - 4)$

Выполним вычитание в скобках:

$4\frac{2}{5} - 4 = \frac{2}{5}$

Теперь выполним умножение, переведя смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{20}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{20 \cdot 2}{7 \cdot 5} = \frac{4 \cdot 2}{7} = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$

Ответ: $1\frac{1}{7}$

е) $(-2\frac{3}{7}) \cdot (-5) + 2\frac{3}{7} \cdot (-2\frac{2}{3})$

Упростим первое слагаемое. Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(-2\frac{3}{7}) \cdot (-5) = 2\frac{3}{7} \cdot 5$.

Получим выражение: $2\frac{3}{7} \cdot 5 + 2\frac{3}{7} \cdot (-2\frac{2}{3})$

Вынесем общий множитель $2\frac{3}{7}$ за скобки:

$2\frac{3}{7} \cdot (5 + (-2\frac{2}{3})) = 2\frac{3}{7} \cdot (5 - 2\frac{2}{3})$

Выполним вычитание в скобках:

$5 - 2\frac{2}{3} = 4\frac{3}{3} - 2\frac{2}{3} = 2\frac{1}{3}$

Теперь выполним умножение, переведя смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{3}{7} \cdot 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} \cdot \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{17}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{17 \cdot 7}{7 \cdot 3} = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}$

Ответ: $5\frac{2}{3}$

588. a) $7\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) + \left(-1\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{9}{10}\right) - 17\frac{29}{30}$;

б) $\left(-2\frac{13}{25}\right) : \left(-2\frac{7}{10}\right) - 17\frac{25}{47} : \left(-17\frac{25}{47}\right) - 4\frac{3}{5}$.

а) $7\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{5}) + (-1\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{9}{10}) - 17\frac{29}{30}$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок операций: сначала умножение, затем сложение и вычитание.

1. Выполним первое умножение. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$7\frac{1}{2} = \frac{7 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{15}{2}$
Теперь выполним умножение:
$\frac{15}{2} \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{15 \cdot 1}{2 \cdot 5} = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$

2. Выполним второе умножение. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$
Произведение двух отрицательных чисел даст положительное число:
$(-\frac{5}{3}) \cdot (-\frac{9}{10}) = \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 10} = \frac{45}{30} = \frac{3}{2}$

3. Теперь подставим результаты умножений в исходное выражение:
$(-\frac{3}{2}) + \frac{3}{2} - 17\frac{29}{30}$

4. Выполним сложение и вычитание:
Сумма двух противоположных чисел $(-\frac{3}{2} \text{ и } \frac{3}{2})$ равна нулю.
$0 - 17\frac{29}{30} = -17\frac{29}{30}$

Ответ: $-17\frac{29}{30}$

б) $(-2\frac{13}{25}) : (-2\frac{7}{10}) - 17\frac{25}{47} : (-17\frac{25}{47}) - 4\frac{3}{5}$

Решим выражение по действиям: сначала деление, затем вычитание.

1. Выполним первое деление. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$-2\frac{13}{25} = -\frac{2 \cdot 25 + 13}{25} = -\frac{63}{25}$
$-2\frac{7}{10} = -\frac{2 \cdot 10 + 7}{10} = -\frac{27}{10}$
Деление отрицательного числа на отрицательное даст положительное. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$(-\frac{63}{25}) : (-\frac{27}{10}) = \frac{63}{25} \cdot \frac{10}{27} = \frac{63 \cdot 10}{25 \cdot 27}$
Сократим дробь перед умножением:
$\frac{(7 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5)}{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9)} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 3} = \frac{14}{15}$

2. Выполним второе деление:
$17\frac{25}{47} : (-17\frac{25}{47})$
Это деление числа на само себя с противоположным знаком. Результат такого деления всегда равен $-1$.

3. Подставим полученные значения в выражение:
$\frac{14}{15} - (-1) - 4\frac{3}{5}$

4. Выполним вычитание:
$\frac{14}{15} - (-1) - 4\frac{3}{5} = \frac{14}{15} + 1 - 4\frac{3}{5} = 1\frac{14}{15} - 4\frac{3}{5}$
Для вычитания преобразуем все в неправильные дроби и приведем к общему знаменателю $15$:
$1\frac{14}{15} = \frac{29}{15}$
$4\frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{23}{5} = \frac{23 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{69}{15}$
$\frac{29}{15} - \frac{69}{15} = \frac{29 - 69}{15} = \frac{-40}{15}$
Сократим дробь на $5$:
$\frac{-40}{15} = -\frac{8}{3}$
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$-\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$

Ответ: $-2\frac{2}{3}$