Страница 83 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

414. Запишите в строчку 5 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна.

Обозначим искомые пять чисел как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$. Согласно условию задачи, они должны удовлетворять двум требованиям:

1. Сумма любых двух соседних чисел положительна. Это можно записать в виде системы неравенств:
$a_1 + a_2 > 0$
$a_2 + a_3 > 0$
$a_3 + a_4 > 0$
$a_4 + a_5 > 0$

2. Сумма всех пяти чисел отрицательна:
$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 < 0$

Рассмотрим общую сумму $S$. Ее можно сгруппировать, используя первое условие. Например, так: $S = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + a_5$.Поскольку суммы в скобках $(a_1 + a_2)$ и $(a_3 + a_4)$ по условию положительны, для того чтобы вся сумма $S$ была отрицательной, число $a_5$ должно быть отрицательным, причем его модуль должен быть больше суммы этих двух пар: $|a_5| > (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4)$.Аналогично, если сгруппировать сумму иначе: $S = a_1 + (a_2 + a_3) + (a_4 + a_5)$, то из положительности сумм в скобках следует, что число $a_1$ также должно быть отрицательным.

Это наводит на мысль о том, что в последовательности должны чередоваться положительные и отрицательные числа. Попробуем найти решение, где числа на нечетных местах ($a_1, a_3, a_5$) — отрицательные, а на четных ($a_2, a_4$) — положительные.В этом случае условия положительности сумм соседних чисел означают, что каждое положительное число должно быть по модулю больше каждого из своих отрицательных соседей:

• $a_2 > |a_1|$
• $a_2 > |a_3|$
• $a_4 > |a_3|$
• $a_4 > |a_5|$

Условие отрицательности общей суммы $S < 0$ означает, что сумма модулей отрицательных чисел должна быть больше суммы положительных чисел:
$|a_1| + |a_3| + |a_5| > a_2 + a_4$

Теперь подберем конкретные числа, удовлетворяющие этим требованиям.Пусть положительные числа будут $a_2 = 5$ и $a_4 = 5$.Тогда для отрицательных чисел $a_1, a_3, a_5$ должны выполняться условия:
$|a_1| < 5$, $|a_3| < 5$, $|a_5| < 5$.
А также условие для общей суммы: $|a_1| + |a_3| + |a_5| > 5 + 5 = 10$.

Нам нужно найти три отрицательных числа, модуль каждого из которых меньше 5, а сумма их модулей больше 10.Возьмем, например, $a_1 = -4, a_3 = -4, a_5 = -4$.Проверяем: $|-4| = 4 < 5$, условие выполнено.Сумма их модулей: $|-4| + |-4| + |-4| = 4 + 4 + 4 = 12$. Так как $12 > 10$, это условие также выполняется.

Таким образом, мы получили последовательность чисел: -4, 5, -4, 5, -4.

Проверим ее на соответствие исходным условиям задачи:
1. Суммы соседних чисел:
$(-4) + 5 = 1 > 0$
$5 + (-4) = 1 > 0$
Все суммы соседних чисел положительны.

2. Сумма всех чисел:
$(-4) + 5 + (-4) + 5 + (-4) = -12 + 10 = -2 < 0$
Сумма всех чисел отрицательна.

Оба условия выполнены. Существует множество других решений, например: -3, 4, -3, 4, -3.

Ответ: -4, 5, -4, 5, -4.

415. Можно ли записать в строчку 6 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Для ответа на этот вопрос, давайте обозначим шесть чисел, записанных в строчку, как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$.

Согласно условию задачи, должны выполняться два требования:

1. Сумма любых двух соседних чисел положительна. Это можно записать в виде системы неравенств:
$a_1 + a_2 > 0$
$a_2 + a_3 > 0$
$a_3 + a_4 > 0$
$a_4 + a_5 > 0$
$a_5 + a_6 > 0$

2. Сумма всех шести чисел отрицательна:
$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 < 0$

Теперь рассмотрим сумму всех чисел $S$. Мы можем сгруппировать слагаемые в этой сумме по парам соседних чисел. Так как у нас четное количество чисел (6), мы можем разбить их на три непересекающиеся пары:

$S = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + (a_5 + a_6)$

Из первого условия задачи мы знаем, что сумма каждой из этих пар является положительным числом:

$a_1 + a_2 > 0$
$a_3 + a_4 > 0$
$a_5 + a_6 > 0$

Следовательно, общая сумма $S$ представляет собой сумму трех положительных слагаемых. Сумма нескольких положительных чисел всегда является положительным числом. Таким образом, мы можем сделать вывод, что:

$S > 0$

Этот вывод ($S > 0$) находится в прямом противоречии со вторым условием задачи, которое требует, чтобы сумма всех чисел была отрицательной ($S < 0$).

Поскольку условия задачи приводят к логическому противоречию, записать в строчку шесть таких чисел невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

416. Можно ли записать в строчку 7 таких чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была положительна, а сумма всех чисел была отрицательна?

Да, можно записать такие числа. Покажем, как это сделать, и приведем пример.

Обозначим семь чисел как $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$. Согласно условию задачи, должны выполняться два требования:

1. Сумма любых двух соседних чисел положительна: $a_i + a_{i+1} > 0$ для всех $i$ от 1 до 6.
2. Сумма всех чисел отрицательна: $S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 < 0$.

Рассмотрим последовательность, в которой числа чередуются. Пусть все числа на нечетных местах равны $x$, а на четных местах равны $y$. Тогда наша последовательность из 7 чисел будет выглядеть так:

$x, y, x, y, x, y, x$

В этом случае первое условие (положительная сумма соседних чисел) сводится к одному неравенству: $x + y > 0$.

Сумма всех семи чисел будет равна $S = 4x + 3y$. Второе условие (отрицательная сумма всех чисел) запишется как: $4x + 3y < 0$.

Таким образом, задача сводится к поиску таких чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяют системе неравенств:

$\begin{cases} x + y > 0 \\ 4x + 3y < 0 \end{cases}$

Из первого неравенства выразим $y$: $y > -x$.

Рассмотрим второе неравенство:

$3y < -4x$

$y < -\frac{4}{3}x$

Мы получили, что число $y$ должно удовлетворять двойному неравенству: $-x < y < -\frac{4}{3}x$.

Чтобы такое число $y$ существовало, необходимо, чтобы левая граница интервала была меньше правой:

$-x < -\frac{4}{3}x$

Если мы предположим, что $x > 0$, то, умножив обе части на $-1$ (и поменяв знак неравенства), получим $x > \frac{4}{3}x$, или $1 > \frac{4}{3}$, что неверно.

Если же мы предположим, что $x < 0$, то, умножив обе части на $-1$, получим $x > \frac{4}{3}x$. Теперь, разделив обе части на отрицательное число $x$ (и снова поменяв знак неравенства), получим $1 < \frac{4}{3}$, что является верным. Следовательно, такое решение существует, если выбрать $x$ отрицательным.

Давайте выберем конкретное значение для $x$. Пусть $x = -4$.

Тогда для $y$ получаем неравенство:

$-(-4) < y < -\frac{4}{3}(-4)$

$4 < y < \frac{16}{3}$

$4 < y < 5.33...$

Мы можем выбрать любое число $y$ из этого интервала. Возьмем, например, $y = 5$.

Теперь мы можем составить искомую последовательность из 7 чисел, используя $x = -4$ и $y = 5$:

-4, 5, -4, 5, -4, 5, -4.

Проверим, выполняются ли для этой последовательности условия задачи:

1. Сумма любых двух соседних чисел: $-4 + 5 = 1$. Поскольку $1 > 0$, первое условие выполнено.
2. Сумма всех чисел: $4 \times (-4) + 3 \times 5 = -16 + 15 = -1$. Поскольку $-1 < 0$, второе условие также выполнено.

Таким образом, мы построили пример, который удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Да, можно. Например, последовательность: -4, 5, -4, 5, -4, 5, -4.