Страница 80 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

396. Какая точка координатной оси симметрична относительно начала координат точке:

а) $5$;

б) $-7$;

в) $0$?

Точка на координатной оси, симметричная другой точке относительно начала координат (точки 0), находится на том же расстоянии от нуля, но с противоположной стороны. Это означает, что её координата является противоположным числом к координате исходной точки. Если координата исходной точки равна $a$, то координата симметричной ей точки будет $-a$.

а)

Дана точка с координатой 5. Точка, симметричная ей относительно начала координат, будет иметь координату, противоположную числу 5.
$- (5) = -5$

Ответ: -5

б)

Дана точка с координатой -7. Точка, симметричная ей относительно начала координат, будет иметь координату, противоположную числу -7.
$- (-7) = 7$

Ответ: 7

в)

Дана точка с координатой 0. Это и есть начало координат. Точка, симметричная началу координат относительно самого себя, совпадает с ним.
$- (0) = 0$

Ответ: 0

397. Объясните, какие две точки называют симметричными относительно точки $O$.

Две точки, назовем их A и A', называют симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка AA'. Точку O при этом называют центром симметрии.

Это определение означает, что должны одновременно выполняться два условия. Во-первых, точки A, O и A' должны лежать на одной прямой. Во-вторых, расстояния от точек A и A' до центра симметрии O должны быть равны, что математически выражается как $AO = OA'$.

Иными словами, чтобы найти точку A', симметричную точке A относительно центра O, необходимо провести прямую через точки A и O, а затем на этой прямой отложить от точки O отрезок OA', равный отрезку AO, в направлении, противоположном лучу OA.

Стоит также отметить, что точка, симметричная самому центру симметрии O, — это сама точка O.

Ответ: Две точки называются симметричными относительно точки O, если эта точка O является серединой отрезка, соединяющего данные две точки.

398. По рисунку 50 определите, какая точка симметрична относительно точки $O$ точке:
а) $A$; б) $B$; в) $C$; г) $D$; д) $M$; е) $N$;
ж) $O$.

Рис. 50

398. Две точки называются симметричными относительно третьей точки (центра симметрии), если эта третья точка является серединой отрезка, соединяющего две данные точки. Проанализируем рисунок 50, где точка $O$ является центром симметрии.

а) A
Чтобы найти точку, симметричную точке $A$ относительно точки $O$, нужно провести прямую через точки $A$ и $O$ и отложить на ней от точки $O$ отрезок, равный отрезку $AO$. На рисунке видно, что это точка $C$. Это следует из свойства диагоналей прямоугольника $ABCD$, которые в точке пересечения $O$ делятся пополам, то есть $AO = OC$.
Ответ: $C$.

б) B
Аналогично, точка, симметричная точке $B$ относительно $O$, лежит на прямой $BO$ на расстоянии, равном $BO$ от точки $O$. Это точка $D$, так как $BO = OD$.
Ответ: $D$.

в) C
Точка, симметричная точке $C$ относительно $O$, находится на прямой $CO$ на расстоянии, равном $CO$ от точки $O$. Это точка $A$, так как $CO = OA$.
Ответ: $A$.

г) D
Точка, симметричная точке $D$ относительно $O$, находится на прямой $DO$ на расстоянии, равном $DO$ от точки $O$. Это точка $B$, так как $DO = OB$.
Ответ: $B$.

д) M
Прямая $MN$ проходит через центр симметрии $O$. Чтобы попасть из точки $O$ в точку $M$, нужно сместиться на 3 клетки влево и на 1 клетку вверх. Чтобы найти симметричную точку, нужно сместиться от $O$ в противоположных направлениях: на 3 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Таким образом, мы попадаем в точку $N$. Следовательно, точка $N$ симметрична точке $M$ относительно $O$.
Ответ: $N$.

е) N
Аналогично предыдущему пункту, чтобы попасть из $O$ в $N$, нужно сместиться на 3 клетки вправо и 1 клетку вниз. Симметричная точка будет находиться на расстоянии 3 клеток влево и 1 клетки вверх от $O$, что соответствует точке $M$.
Ответ: $M$.

ж) O
Точка, симметричная центру симметрии относительно самого себя, — это сама точка.
Ответ: $O$.

399. Отрезок $A'B'$ симметричен отрезку $AB$ относительно точки $O$, если точка $A'$ симметрична точке $A$, а точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно точки $O$. Воспользуемся результатами, полученными в задании 398.

а) AB
Точка, симметричная $A$ относительно $O$, — это $C$. Точка, симметричная $B$ относительно $O$, — это $D$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $AB$, — это отрезок $CD$.
Ответ: $CD$.

б) AD
Точка, симметричная $A$, — это $C$. Точка, симметричная $D$, — это $B$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $AD$, — это отрезок $CB$ (или $BC$).
Ответ: $BC$.

в) BC
Точка, симметричная $B$, — это $D$. Точка, симметричная $C$, — это $A$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $BC$, — это отрезок $DA$ (или $AD$).
Ответ: $AD$.

г) AO
Точка, симметричная $A$, — это $C$. Точка, симметричная $O$, — это сама точка $O$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $AO$, — это отрезок $CO$ (или $OC$).
Ответ: $OC$.

д) BO
Точка, симметричная $B$, — это $D$. Точка, симметричная $O$, — это $O$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $BO$, — это отрезок $DO$ (или $OD$).
Ответ: $OD$.

е) OC
Точка, симметричная $O$, — это $O$. Точка, симметричная $C$, — это $A$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $OC$, — это отрезок $OA$ (или $AO$).
Ответ: $AO$.

ж) BD
Точка, симметричная $B$, — это $D$. Точка, симметричная $D$, — это $B$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $BD$, — это отрезок $DB$. Отрезок отображается сам на себя.
Ответ: $BD$.

з) MN
Точка, симметричная $M$, — это $N$. Точка, симметричная $N$, — это $M$. Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $MN$, — это отрезок $NM$. Отрезок отображается сам на себя.
Ответ: $MN$.

399. По рисунку 50 определите, какой отрезок симметричен относительно точки $O$ отрезку:

а) $AB$;

б) $AD$;

в) $BC$;

г) $AO$;

д) $BO$;

е) $OC$;

ж) $BD$;

з) $MN$.

а) Для того чтобы определить, какой отрезок симметричен отрезку $AB$ относительно точки $O$, необходимо найти точки, симметричные его концам — точкам $A$ и $B$. Исходя из контекста стандартных задач, рисунок 50 представляет собой параллелограмм $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Точка $O$ является центром симметрии параллелограмма.
Точка, симметричная точке $A$ относительно центра $O$, — это точка $C$, так как $O$ является серединой диагонали $AC$.
Точка, симметричная точке $B$ относительно центра $O$, — это точка $D$, так как $O$ является серединой диагонали $BD$.
Таким образом, отрезок, симметричный отрезку $AB$, — это отрезок $CD$.
Ответ: отрезок $CD$.

б) Найдем точки, симметричные концам отрезка $AD$ относительно точки $O$.
Точка, симметричная точке $A$, — это точка $C$.
Точка, симметричная точке $D$, — это точка $B$.
Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $AD$, — это отрезок $CB$ (или $BC$).
Ответ: отрезок $BC$.

в) Найдем точки, симметричные концам отрезка $BC$ относительно точки $O$.
Точка, симметричная точке $B$, — это точка $D$.
Точка, симметричная точке $C$, — это точка $A$.
Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $BC$, — это отрезок $DA$ (или $AD$).
Ответ: отрезок $AD$.

г) Найдем точки, симметричные концам отрезка $AO$ относительно точки $O$.
Точка, симметричная точке $A$, — это точка $C$.
Точка $O$ является центром симметрии, поэтому она симметрична самой себе.
Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $AO$, — это отрезок $CO$ (или $OC$).
Ответ: отрезок $OC$.

д) Найдем точки, симметричные концам отрезка $BO$ относительно точки $O$.
Точка, симметричная точке $B$, — это точка $D$.
Точка $O$ симметрична самой себе.
Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $BO$, — это отрезок $DO$ (или $OD$).
Ответ: отрезок $OD$.

е) Найдем точки, симметричные концам отрезка $OC$ относительно точки $O$.
Точка $O$ симметрична самой себе.
Точка, симметричная точке $C$, — это точка $A$.
Следовательно, отрезок, симметричный отрезку $OC$, — это отрезок $OA$ (или $AO$).
Ответ: отрезок $AO$.

ж) Найдем точки, симметричные концам отрезка $BD$ относительно точки $O$.
Точка, симметричная точке $B$, — это точка $D$.
Точка, симметричная точке $D$, — это точка $B$.
Таким образом, отрезок $BD$ симметричен отрезку $DB$. Это означает, что отрезок $BD$ при симметрии относительно точки $O$ отображается сам на себя.
Ответ: отрезок $BD$ (или $DB$).

з) Найдем точки, симметричные концам отрезка $MN$ относительно точки $O$.
По условию (согласно рисунку 50), точки $M$ и $N$ симметричны относительно точки $O$.
Это значит, что точка, симметричная $M$, — это $N$, а точка, симметричная $N$, — это $M$.
Таким образом, отрезок $MN$ симметричен отрезку $NM$. Это означает, что отрезок $MN$ при симметрии относительно точки $O$ отображается сам на себя.
Ответ: отрезок $MN$ (или $NM$).