Страница 73 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

377. По каким правилам раскрывают скобки в суммах?

Раскрытие скобок в алгебраических суммах и выражениях подчиняется нескольким основным правилам, которые зависят от того, какой знак или множитель стоит непосредственно перед скобками.

Правило 1: Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+»

Если перед скобками стоит знак «плюс» (или не стоит никакого знака в начале выражения), то при раскрытии скобок их можно просто опустить вместе с этим знаком «плюс», сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобках.

Формула: $a + (b - c) = a + b - c$.

Пример:

$5 + (x - 8y + 3) = 5 + x - 8y + 3 = x - 8y + 8$.

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», нужно убрать скобки и этот знак «+», а все знаки слагаемых в скобках оставить без изменений.

Правило 2: Раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «-»

Если перед скобками стоит знак «минус», то при раскрытии скобок их нужно опустить вместе с этим знаком «минус», но знаки всех слагаемых, заключенных в скобках, необходимо изменить на противоположные (плюс на минус, а минус на плюс).

Формула: $a - (b - c + d) = a - b + c - d$.

Пример:

$10z - (4x + y - 2) = 10z - 4x - y + 2$.

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», нужно убрать скобки и этот знак «-», а все знаки слагаемых в скобках заменить на противоположные.

Правило 3: Умножение множителя на скобку (распределительное свойство)

Если перед скобками стоит множитель (число или выражение), то для раскрытия скобок нужно этот множитель умножить на каждое слагаемое, стоящее внутри скобок. При этом нужно внимательно следить за знаками.

Формула: $c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b$.

Пример 1 (положительный множитель):

$3 \cdot (2a + 4b - 1) = 3 \cdot 2a + 3 \cdot 4b + 3 \cdot (-1) = 6a + 12b - 3$.

Пример 2 (отрицательный множитель):

$-5 \cdot (x - 2y) = -5 \cdot x - 5 \cdot (-2y) = -5x + 10y$.

Ответ: Чтобы умножить множитель на сумму в скобках, нужно умножить этот множитель на каждое слагаемое в скобках и сложить полученные произведения.

Правило 4: Умножение скобки на скобку

Чтобы перемножить два выражения в скобках, нужно каждое слагаемое из первой скобки умножить на каждое слагаемое из второй скобки, а полученные произведения сложить.

Формула: $(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$.

Пример:

$(x + 2) \cdot (y - 7) = x \cdot y + x \cdot (-7) + 2 \cdot y + 2 \cdot (-7) = xy - 7x + 2y - 14$.

Ответ: Чтобы перемножить две суммы, нужно каждый член первой суммы умножить на каждый член второй суммы и полученные произведения сложить.

378. Какие правила и законы применяют для вычисления суммы нескольких слагаемых?

Для вычисления суммы нескольких слагаемых применяют основные свойства (законы) сложения, которые позволяют упрощать и рационализировать вычисления.

Переместительный (коммутативный) закон сложения

Этот закон гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Это позволяет менять слагаемые местами, чтобы найти более удобный порядок вычислений, например, поставить рядом числа, которые в сумме дают круглое число.

• Формула: $a + b = b + a$
• Пример: Чтобы вычислить сумму $25 + 148 + 75$, удобнее поменять слагаемые местами: $25 + 75 + 148$. Результат не изменится, но считать станет проще.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения

Этот закон утверждает, что при сложении трёх и более чисел их можно группировать (объединять в скобки) в любом порядке. Результат от этого не изменится. То есть, чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

• Формула: $(a + b) + c = a + (b + c)$
• Пример: Продолжая предыдущий пример, после перестановки слагаемых ($25 + 75 + 148$), мы можем их удобно сгруппировать: $(25 + 75) + 148 = 100 + 148 = 248$. Это гораздо удобнее, чем считать по порядку: $25 + 148 = 173$, а затем $173 + 75 = 248$.

Свойство сложения с нулём

Это правило гласит, что если к любому числу прибавить ноль (или прибавить число к нулю), то сумма будет равна самому этому числу.

• Формула: $a + 0 = 0 + a = a$
• Пример: $349 + 0 = 349$.

Совместное использование переместительного и сочетательного законов позволяет складывать числа в любом удобном порядке, что является основой для рациональных вычислений.

Ответ: Для вычисления суммы нескольких слагаемых применяют переместительный и сочетательный законы сложения, а также свойство сложения с нулём. Эти законы позволяют менять местами и группировать слагаемые для упрощения расчётов.

379. Раскройте скобки:

а) $49 - (38 - 5);$

в) $72 + (-32 + 9);$

д) $(79 - 39) - (79 - 48);$

ж) $-(45 - 64) + (38 - 24);$

б) $-32 + (78 - 9);$

г) $-63 - (-63 + 1);$

е) $(37 - 49) - (87 - 59);$

з) $-(-35 + 2) + (-35 - 8).$

а) $49 - (38 - 5)$

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, нужно заменить этот знак на плюс, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные.

$49 - (38 - 5) = 49 - 38 + 5 = 11 + 5 = 16$

Ответ: 16

б) $-32 + (78 - 9)$

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, нужно опустить скобки и этот знак плюс, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках.

$-32 + (78 - 9) = -32 + 78 - 9 = 46 - 9 = 37$

Ответ: 37

в) $72 + (-32 + 9)$

Перед скобками стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых в скобках сохраняются.

$72 + (-32 + 9) = 72 - 32 + 9 = 40 + 9 = 49$

Ответ: 49

г) $-63 - (-63 + 1)$

Перед скобками стоит знак минус, поэтому знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$-63 - (-63 + 1) = -63 + 63 - 1 = 0 - 1 = -1$

Ответ: -1

д) $(79 - 39) - (79 - 48)$

Раскрываем первые скобки, сохраняя знаки, и вторые, меняя знаки на противоположные, так как перед ними стоит минус.

$(79 - 39) - (79 - 48) = 79 - 39 - 79 + 48$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычислений:

$(79 - 79) + (48 - 39) = 0 + 9 = 9$

Ответ: 9

е) $(37 - 49) - (87 - 59)$

Раскрываем скобки. Перед второй парой скобок стоит минус, поэтому знаки слагаемых в них меняются.

$(37 - 49) - (87 - 59) = 37 - 49 - 87 + 59$

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:

$(37 + 59) - (49 + 87) = 96 - 136 = -40$

Ответ: -40

ж) $-(45 - 64) + (38 - 24)$

Перед первой парой скобок стоит минус (меняем знаки), перед второй — плюс (сохраняем знаки).

$-(45 - 64) + (38 - 24) = -45 + 64 + 38 - 24$

Сгруппируем слагаемые:

$(64 + 38) - (45 + 24) = 102 - 69 = 33$

Ответ: 33

з) $-(-35 + 2) + (-35 - 8)$

Перед первыми скобками стоит минус, поэтому меняем знаки. Перед вторыми — плюс, поэтому сохраняем знаки.

$-(-35 + 2) + (-35 - 8) = 35 - 2 - 35 - 8$

Сгруппируем слагаемые:

$(35 - 35) - 2 - 8 = 0 - 10 = -10$

Ответ: -10

380. Раскройте скобки и вычислите:

а) $108 - (108 - 5);$

б) $-49 - (-49 + 2);$

в) $-56 + (-98 + 56);$

г) $100 - (-5 + 100);$

д) $(79 - 81) - (39 - 81);$

е) $(-78 + 23) + (27 + 78);$

ж) $(-39 + 15) - (5 - 39);$

з) $(105 - 48) - (62 + 105).$

а) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, нужно изменить знаки всех слагаемых в скобках на противоположные. Знак «+» перед 108 внутри скобок меняется на «−», а знак «−» перед 5 меняется на «+».

$108 - (108 - 5) = 108 - 108 + 5$

Теперь выполним вычисления. Удобнее сгруппировать числа так, чтобы они взаимно уничтожились:

$(108 - 108) + 5 = 0 + 5 = 5$

Ответ: 5

б) Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус. Знак «−» перед 49 изменится на «+», а знак «+» перед 2 изменится на «−».

$-49 - (-49 + 2) = -49 + 49 - 2$

Сгруппируем и вычислим:

$(-49 + 49) - 2 = 0 - 2 = -2$

Ответ: -2

в) Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, нужно просто убрать скобки, сохранив знаки всех слагаемых внутри.

$-56 + (-98 + 56) = -56 - 98 + 56$

Сгруппируем и вычислим:

$(-56 + 56) - 98 = 0 - 98 = -98$

Ответ: -98

г) Раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные.

$100 - (-5 + 100) = 100 + 5 - 100$

Сгруппируем и вычислим:

$(100 - 100) + 5 = 0 + 5 = 5$

Ответ: 5

д) В этом выражении две скобки. Первую можно просто убрать, так как перед ней нет знака. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки внутри нее меняются.

$(79 - 81) - (39 - 81) = 79 - 81 - 39 + 81$

Сгруппируем слагаемые для удобства вычисления:

$(79 - 39) + (-81 + 81) = 40 + 0 = 40$

Ответ: 40

е) Раскроем обе скобки. Так как перед ними (явно или неявно) стоит знак плюс, знаки слагаемых не меняются.

$(-78 + 23) + (27 + 78) = -78 + 23 + 27 + 78$

Сгруппируем слагаемые:

$(-78 + 78) + (23 + 27) = 0 + 50 = 50$

Ответ: 50

ж) Раскроем первую скобку, не меняя знаки. Раскроем вторую скобку, изменив знаки на противоположные, так как перед ней стоит минус.

$(-39 + 15) - (5 - 39) = -39 + 15 - 5 + 39$

Сгруппируем слагаемые:

$(-39 + 39) + (15 - 5) = 0 + 10 = 10$

Ответ: 10

з) Раскроем первую скобку, сохранив знаки. Раскроем вторую скобку, изменив знаки на противоположные.

$(105 - 48) - (62 + 105) = 105 - 48 - 62 - 105$

Сгруппируем слагаемые:

$(105 - 105) - 48 - 62 = 0 - 48 - 62 = -110$

Ответ: -110