Страница 70 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

359. Вычислите:

а) $59 \cdot 64 + 59 \cdot 36;$

б) $72 \cdot 128 - 72 \cdot 228;$

в) $63 \cdot 356 - 556 \cdot 63;$

г) $-99 \cdot 12 - 99 \cdot 88;$

д) $-67 \cdot 85 - 67 \cdot 115;$

е) $41 \cdot 91 - 91 \cdot 51.$

а) Для решения этого примера воспользуемся распределительным свойством умножения, вынеся общий множитель 59 за скобки: $59 \cdot 64 + 59 \cdot 36 = 59 \cdot (64 + 36) = 59 \cdot 100 = 5900$.
Ответ: 5900.

б) Используем распределительное свойство умножения и вынесем общий множитель 72 за скобки: $72 \cdot 128 - 72 \cdot 228 = 72 \cdot (128 - 228) = 72 \cdot (-100) = -7200$.
Ответ: -7200.

в) Применив переместительное свойство умножения ($556 \cdot 63 = 63 \cdot 556$), вынесем общий множитель 63 за скобки: $63 \cdot 356 - 556 \cdot 63 = 63 \cdot 356 - 63 \cdot 556 = 63 \cdot (356 - 556) = 63 \cdot (-200) = -12600$.
Ответ: -12600.

г) Вынесем общий множитель $-99$ за скобки, используя распределительное свойство: $-99 \cdot 12 - 99 \cdot 88 = -99 \cdot (12 + 88) = -99 \cdot 100 = -9900$.
Ответ: -9900.

д) Аналогично предыдущим примерам, вынесем общий множитель $-67$ за скобки: $-67 \cdot 85 - 67 \cdot 115 = -67 \cdot (85 + 115) = -67 \cdot 200 = -13400$.
Ответ: -13400.

е) Вынесем общий множитель 91 за скобки, применив распределительное свойство умножения: $41 \cdot 91 - 91 \cdot 51 = (41 - 51) \cdot 91 = -10 \cdot 91 = -910$.
Ответ: -910.

360. Докажите, что:

а) $43 \cdot 15 - 55 \cdot 15 + 34 \cdot 15$ делится на 22;

б) $12 \cdot 17 - 16 \cdot 17 + 13 \cdot 17$ делится на 9;

в) $99 \cdot 51 - 99 \cdot 91 + 69 \cdot 99$ делится на 29;

г) $63 \cdot 23 - 32 \cdot 63 + 22 \cdot 63$ делится на 13.

а) Чтобы доказать, что выражение $43 \cdot 15 - 55 \cdot 15 + 34 \cdot 15$ делится на 22, воспользуемся распределительным свойством умножения и вынесем общий множитель 15 за скобки:

$43 \cdot 15 - 55 \cdot 15 + 34 \cdot 15 = (43 - 55 + 34) \cdot 15$

Теперь вычислим значение выражения в скобках:

$43 - 55 + 34 = -12 + 34 = 22$

Таким образом, исходное выражение равно:

$22 \cdot 15$

Поскольку один из множителей равен 22, то и всё произведение $22 \cdot 15$ делится на 22 без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Аналогично предыдущему пункту, вынесем общий множитель 17 за скобки в выражении $12 \cdot 17 - 16 \cdot 17 + 13 \cdot 17$:

$(12 - 16 + 13) \cdot 17$

Вычислим значение в скобках:

$12 - 16 + 13 = -4 + 13 = 9$

Получаем произведение:

$9 \cdot 17$

Так как один из множителей равен 9, то произведение $9 \cdot 17$ делится на 9. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) В выражении $99 \cdot 51 - 99 \cdot 91 + 69 \cdot 99$ общий множитель равен 99. Вынесем его за скобки:

$99 \cdot (51 - 91 + 69)$

Выполним действия в скобках:

$51 - 91 + 69 = -40 + 69 = 29$

Таким образом, исходное выражение равно:

$99 \cdot 29$

Один из множителей равен 29, следовательно, все произведение делится на 29 нацело. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г) В выражении $63 \cdot 23 - 32 \cdot 63 + 22 \cdot 63$ вынесем за скобки общий множитель 63:

$63 \cdot (23 - 32 + 22)$

Рассчитаем значение выражения в скобках:

$23 - 32 + 22 = -9 + 22 = 13$

В результате получаем произведение:

$63 \cdot 13$

Поскольку один из множителей равен 13, всё произведение делится на 13 без остатка. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

361. Вычислите:

а) $42 \cdot 53 - 32 \cdot 53 - 42 \cdot 63 + 32 \cdot 63;$

б) $79 \cdot 45 + 79 \cdot 55 - 89 \cdot 45 - 89 \cdot 55;$

в) $88 \cdot 75 - 12 \cdot 45 + 12 \cdot 75 - 88 \cdot 45;$

г) $392 \cdot 23 - 492 \cdot 23 + 392 \cdot 77 - 492 \cdot 77.$

а) $42 \cdot 53 - 32 \cdot 53 - 42 \cdot 63 + 32 \cdot 63$

Для упрощения вычислений сгруппируем слагаемые с общими множителями и воспользуемся распределительным свойством умножения. Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

$(42 \cdot 53 - 42 \cdot 63) + (-32 \cdot 53 + 32 \cdot 63)$

Вынесем общие множители за скобки. Во второй группе слагаемых вынесем множитель 32 и поменяем знаки, чтобы получить одинаковую разность в скобках:

$42 \cdot (53 - 63) - 32 \cdot (53 - 63)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(53 - 63)$ за скобки:

$(42 - 32) \cdot (53 - 63)$

Выполним вычисления в каждой из скобок:

$10 \cdot (-10) = -100$

Ответ: -100

б) $79 \cdot 45 + 79 \cdot 55 - 89 \cdot 45 - 89 \cdot 55$

Сгруппируем слагаемые с общими множителями. Первые два слагаемых имеют общий множитель 79, а последние два — общий множитель -89.

$(79 \cdot 45 + 79 \cdot 55) - (89 \cdot 45 + 89 \cdot 55)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$79 \cdot (45 + 55) - 89 \cdot (45 + 55)$

Выполним сложение в скобках:

$79 \cdot 100 - 89 \cdot 100$

Теперь вынесем общий множитель 100 за скобки:

$(79 - 89) \cdot 100 = -10 \cdot 100 = -1000$

Ответ: -1000

в) $88 \cdot 75 - 12 \cdot 45 + 12 \cdot 75 - 88 \cdot 45$

Переставим слагаемые местами, чтобы сгруппировать их по общим множителям 75 и 45:

$(88 \cdot 75 + 12 \cdot 75) + (-88 \cdot 45 - 12 \cdot 45)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$(88 + 12) \cdot 75 - (88 + 12) \cdot 45$

Выполним сложение в скобках:

$100 \cdot 75 - 100 \cdot 45$

Вынесем общий множитель 100 за скобки:

$100 \cdot (75 - 45) = 100 \cdot 30 = 3000$

Ответ: 3000

г) $392 \cdot 23 - 492 \cdot 23 + 392 \cdot 77 - 492 \cdot 77$

Сгруппируем слагаемые по общим множителям. Сгруппируем слагаемые с множителем 392 и с множителем -492:

$(392 \cdot 23 + 392 \cdot 77) + (-492 \cdot 23 - 492 \cdot 77)$

Вынесем общие множители за скобки:

$392 \cdot (23 + 77) - 492 \cdot (23 + 77)$

Выполним сложение в скобках:

$392 \cdot 100 - 492 \cdot 100$

Вынесем общий множитель 100 за скобки:

$(392 - 492) \cdot 100 = -100 \cdot 100 = -10000$

Ответ: -10000