Страница 71 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

362. Сформулируйте правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак:

а) «+»;

б) «—».

а)

Если перед скобками стоит знак «+» (плюс), то при раскрытии скобок этот знак «+» и сами скобки опускаются, а все слагаемые внутри скобок сохраняют свои знаки.

Это можно выразить следующими формулами:
$a + (b + c) = a + b + c$
$a + (b - c) = a + b - c$

Например, раскроем скобки в выражении $12 + (5 - 9)$:
$12 + (5 - 9) = 12 + 5 - 9 = 8$

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «плюс», нужно опустить скобки и этот знак «плюс», а все слагаемые в скобках записать с их знаками.

б)

Если перед скобками стоит знак «-» (минус), то при раскрытии скобок этот знак «-» и сами скобки опускаются, а все слагаемые внутри скобок меняют свои знаки на противоположные (плюс на минус, а минус на плюс).

Это можно выразить следующими формулами:
$a - (b + c) = a - b - c$
$a - (b - c) = a - b + c$

Например, раскроем скобки в выражении $15 - (7 - 2)$:
$15 - (7 - 2) = 15 - 7 + 2 = 10$

Ответ: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «минус», нужно опустить скобки и этот знак «минус», а все слагаемые в скобках записать с противоположными знаками.

363. По какому правилу заключают в скобки сумму, если перед скобками ставят знак:

а) «$+»$;

б) «$-$»?

Заключение суммы (или любого другого алгебраического выражения) в скобки подчиняется тем же правилам, что и раскрытие скобок, только в обратном порядке.

а) «+»

Если перед скобками ставится знак «+», то знаки всех слагаемых, которые заключаются в скобки, остаются без изменений.

Это правило основано на том, что прибавление суммы равносильно поочередному прибавлению ее слагаемых. Например, если у нас есть выражение $a - b + c$ и мы хотим заключить слагаемые $-b+c$ в скобки со знаком «+» перед ними, мы получим:

$a - b + c = a + (-b + c)$

Как мы видим, слагаемые $-b$ и $+c$ сохранили свои знаки внутри скобок.

Ответ: Если перед скобками ставится знак «+», то все слагаемые, заключаемые в скобки, сохраняют свои знаки.

б) «-»

Если перед скобками ставится знак «-», то знаки всех слагаемых, которые заключаются в скобки, необходимо изменить на противоположные.

Это правило следует из того, что вычитание суммы равносильно вычитанию каждого ее слагаемого. Например, рассмотрим выражение $x - y + z$. Если мы хотим заключить слагаемые $-y+z$ в скобки, перед которыми будет стоять знак «-», мы должны поменять их знаки на противоположные:

$x - y + z = x - (y - z)$

Проверим это, раскрыв скобки обратно: $x - (y - z) = x - y + z$. Исходное выражение получено, значит, действие выполнено верно. Слагаемое $-y$ стало $y$, а слагаемое $+z$ стало $-z$ внутри скобок.

Ответ: Если перед скобками ставится знак «-», то все слагаемые, заключаемые в скобки, меняют свои знаки на противоположные.

Раскройте скобки, объясняя свои действия (364–366):

364. а) $+(5+7);$

б) $+(3-8+7);$

в) $+(-3+8+7);$

г) $+(-10-12+1).$

а)

Перед скобками стоит знак «плюс». Согласно правилу, если перед скобками стоит знак «плюс», то при раскрытии скобок знаки слагаемых, заключенных в них, сохраняются. В скобках находятся числа 5 (положительное) и 7 (положительное). Убираем скобки и знак «плюс» перед ними, сохраняя знаки чисел:

$+(5 + 7) = 5 + 7$

Теперь выполним сложение:

$5 + 7 = 12$

Ответ: 12

б)

Так как перед скобками стоит знак «плюс», мы можем просто убрать скобки, сохранив знаки всех слагаемых внутри. Число 3 остается с плюсом, 8 — с минусом, а 7 — с плюсом:

$+(3 - 8 + 7) = 3 - 8 + 7$

Вычислим значение выражения. Удобнее сначала сложить положительные числа:

$3 + 7 - 8 = 10 - 8 = 2$

Ответ: 2

в)

Знак «плюс» перед скобками означает, что при их раскрытии знаки слагаемых внутри не изменяются. Таким образом, -3 остается отрицательным, а 8 и 7 — положительными:

$+(-3 + 8 + 7) = -3 + 8 + 7$

Теперь вычислим сумму:

$-3 + 8 + 7 = 5 + 7 = 12$

Ответ: 12

г)

Правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «плюс», заключается в том, чтобы убрать скобки, сохранив знаки всех чисел внутри них. В данном случае -10 и -12 остаются отрицательными, а 1 — положительным:

$+(-10 - 12 + 1) = -10 - 12 + 1$

Выполним вычисления. Сначала сложим отрицательные числа:

$-10 - 12 + 1 = -22 + 1 = -21$

Ответ: -21

365. а) $-(5+7)$;

Б) $-(3-8+7)$;

В) $-(-3+8+7)$;

Г) $-(-10-12+1)$.

а)

Для решения данного выражения сначала выполним действие в скобках, а затем применим знак минуса к результату.

1. Сложение в скобках: $5 + 7 = 12$.

2. Применение знака минуса: $-(12) = -12$.

Таким образом, $-(5 + 7) = -12$.

Ответ: $-12$

б)

Сначала вычислим значение выражения в скобках, а затем изменим его знак на противоположный.

1. Вычисление в скобках: $3 - 8 + 7$.

Сначала вычитание: $3 - 8 = -5$.

Затем сложение: $-5 + 7 = 2$.

2. Применение знака минуса: $-(2) = -2$.

Таким образом, $-(3 - 8 + 7) = -2$.

Ответ: $-2$

в)

Сначала найдем сумму чисел в скобках, а после этого применим к полученному результату знак минус.

1. Вычисление в скобках: $-3 + 8 + 7$.

Сначала сложение первых двух чисел: $-3 + 8 = 5$.

Затем сложение с третьим числом: $5 + 7 = 12$.

2. Применение знака минуса: $-(12) = -12$.

Таким образом, $-(-3 + 8 + 7) = -12$.

Ответ: $-12$

г)

Вычислим значение выражения в скобках, а затем применим к нему знак минус, что эквивалентно умножению на $-1$.

1. Вычисление в скобках: $-10 - 12 + 1$.

Сначала вычитание: $-10 - 12 = -22$.

Затем сложение: $-22 + 1 = -21$.

2. Применение знака минуса: $-(-21)$.

Минус на минус дает плюс, поэтому $-(-21) = 21$.

Таким образом, $-(-10 - 12 + 1) = 21$.

Ответ: $21$

366. а) $+(a-b-c);$

б) $-(a-b-c);$

в) $+(-a+b+c);$

г) $-(a+b+c),$

где $a, b$ и $c$ — целые числа.

а) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «+», необходимо убрать этот знак и сами скобки, при этом знаки всех слагаемых внутри скобок остаются без изменений.

$+(a - b - c) = a - b - c$

Ответ: $a - b - c$

б) Для того чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», необходимо убрать этот знак и сами скобки, а знаки всех слагаемых внутри скобок изменить на противоположные.

$ -(a - b - c) = -a - (-b) - (-c) = -a + b + c $

Ответ: $-a + b + c$

в) Раскрываем скобки по тому же правилу, что и в пункте а): если перед скобками стоит знак «+», то знаки слагаемых в скобках не меняются.

$+(-a + b + c) = -a + b + c$

Ответ: $-a + b + c$

г) Раскрываем скобки по тому же правилу, что и в пункте б): если перед скобками стоит знак «-», то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$-(-a + b + c) = -(-a) - (+b) - (+c) = a - b - c$

Ответ: $a - b - c$