Страница 66 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

331. Чему равно частное от деления отличных от нуля целого числа $a$ на целое число $b$, если $|a|$ делится нацело на $|b|$?

По условию задачи, $a$ и $b$ — отличные от нуля целые числа, и $|a|$ делится нацело на $|b|$.

Это означает, что частное от деления модуля числа $a$ на модуль числа $b$ является некоторым натуральным числом. Обозначим это число как $k$:

$k = \frac{|a|}{|b|}$, где $k \in \mathbb{N}$.

Мы ищем частное от деления числа $a$ на число $b$, то есть величину $\frac{a}{b}$. Рассмотрим модуль этого частного:

$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|} = k$

Равенство $|\frac{a}{b}| = k$ означает, что само частное $\frac{a}{b}$ может быть равно либо $k$, либо $-k$. Выбор знака зависит от знаков чисел $a$ и $b$:

• Если числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), то их частное будет положительным: $\frac{a}{b} = k = \frac{|a|}{|b|}$.
• Если числа $a$ и $b$ имеют разные знаки (одно положительное, а другое отрицательное), то их частное будет отрицательным: $\frac{a}{b} = -k = -\frac{|a|}{|b|}$.

Оба этих случая можно объединить в одну формулу.

Ответ: $ \pm \frac{|a|}{|b|} $

332. Чему равно частное от деления нуля на любое целое, не равное нулю число?

Частное от деления нуля на любое целое, не равное нулю число, всегда равно нулю.

Давайте разберемся, почему это так. Операция деления является обратной для операции умножения. Это означает, что если мы делим число $a$ на число $b$ и получаем в результате число $c$ (то есть $a : b = c$), то это равносильно тому, что $c \cdot b = a$.

В нашем случае делимое — это нуль ($a=0$), а делитель — это любое целое число, не равное нулю. Обозначим этот делитель буквой $n$, где $n$ — целое число и $n \ne 0$. Пусть частное от этого деления равно $x$.

Мы можем записать это в виде выражения: $0 : n = x$

Используя правило, связывающее деление и умножение, мы можем переписать это выражение следующим образом: $x \cdot n = 0$

Теперь нам нужно найти, чему равен $x$. Мы знаем, что произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. По условию задачи, множитель $n$ не равен нулю ($n \ne 0$). Следовательно, для того чтобы равенство $x \cdot n = 0$ было верным, множитель $x$ обязательно должен быть равен нулю.

Таким образом, частное от деления нуля на любое целое, не равное нулю число, всегда равно нулю.

Например:
$0 : 7 = 0$, потому что $0 \cdot 7 = 0$.
$0 : (-25) = 0$, потому что $0 \cdot (-25) = 0$.

Ответ: 0.

33. Можно ли делить на нуль?

В стандартной арифметике и алгебре деление на нуль является неопределенной операцией. Это правило вытекает из определения деления как действия, обратного умножению. Чтобы понять, почему на нуль делить нельзя, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Деление ненулевого числа на нуль

Допустим, мы хотим разделить число, не равное нулю (обозначим его как $a$, где $a \neq 0$), на нуль. Предположим, что в результате этой операции мы получаем некое число $c$:

$a \div 0 = c$

По определению деления, это равенство означает, что если мы умножим частное ($c$) на делитель (0), то должны получить делимое ($a$):

$0 \times c = a$

Однако из фундаментального свойства умножения мы знаем, что любое число, умноженное на нуль, равно нулю. То есть, $0 \times c = 0$. Из этого следует, что $a$ должно быть равно нулю ($a = 0$).

Это приводит к логическому противоречию, так как мы изначально предположили, что $a \neq 0$. Следовательно, не существует такого числа $c$, которое могло бы быть результатом деления ненулевого числа на нуль.

Деление нуля на нуль

Теперь рассмотрим второй случай, когда мы делим нуль на нуль. Предположим, что результатом является некое число $c$:

$0 \div 0 = c$

Проверим это равенство с помощью умножения:

$0 \times c = 0$

Данное равенство будет верным для абсолютно любого числа $c$. Например, если $c = 5$, то $0 \times 5 = 0$. Если $c = -100$, то $0 \times (-100) = 0$. Так как в качестве результата может выступать любое число, у этого выражения нет единственного, однозначного ответа. Такая ситуация в математике называется неопределенностью.

Поскольку в обоих случаях операция деления на нуль приводит либо к противоречию, либо к неопределенности, она не имеет смысла в рамках стандартной арифметики и алгебры.

Ответ: нет, на нуль делить нельзя.

334. Выполните действия:

a) $234 \div 6$;

б) $744 \div 8$;

в) $1794 \div 23$;

г) $2997 \div 37$;

д) $9268 \div 331$;

е) $21333 \div 547$.

а) Выполним деление $234$ на $6$ столбиком. Сначала делим $23$ на $6$. Ближайшее произведение, не превышающее $23$, это $6 \times 3 = 18$. Записываем $3$ в частное. Находим остаток: $23 - 18 = 5$. Сносим следующую цифру $4$, получаем число $54$. Делим $54$ на $6$, получаем $9$. Записываем $9$ в частное. Остаток $0$.
$234 : 6 = 39$.
Ответ: 39

б) Выполним деление $744$ на $8$ столбиком. Сначала делим $74$ на $8$. Ближайшее произведение, не превышающее $74$, это $8 \times 9 = 72$. Записываем $9$ в частное. Находим остаток: $74 - 72 = 2$. Сносим следующую цифру $4$, получаем число $24$. Делим $24$ на $8$, получаем $3$. Записываем $3$ в частное. Остаток $0$.
$744 : 8 = 93$.
Ответ: 93

в) Выполним деление $1794$ на $23$ столбиком. Сначала делим $179$ на $23$. Подбором находим, что $23 \times 7 = 161$, а $23 \times 8 = 184$. Выбираем $7$. Записываем $7$ в частное. Находим остаток: $179 - 161 = 18$. Сносим следующую цифру $4$, получаем число $184$. Делим $184$ на $23$, получаем $8$, так как $23 \times 8 = 184$. Записываем $8$ в частное. Остаток $0$.
$1794 : 23 = 78$.
Ответ: 78

г) Выполним деление $2997$ на $37$ столбиком. Сначала делим $299$ на $37$. Подбором находим, что $37 \times 8 = 296$. Записываем $8$ в частное. Находим остаток: $299 - 296 = 3$. Сносим следующую цифру $7$, получаем число $37$. Делим $37$ на $37$, получаем $1$. Записываем $1$ в частное. Остаток $0$.
$2997 : 37 = 81$.
Ответ: 81

д) Выполним деление $9268$ на $331$ столбиком. Сначала делим $926$ на $331$. Подбором находим, что $331 \times 2 = 662$, а $331 \times 3 = 993$. Выбираем $2$. Записываем $2$ в частное. Находим остаток: $926 - 662 = 264$. Сносим следующую цифру $8$, получаем число $2648$. Делим $2648$ на $331$. Подбором находим, что $331 \times 8 = 2648$. Записываем $8$ в частное. Остаток $0$.
$9268 : 331 = 28$.
Ответ: 28

е) Выполним деление $21333$ на $547$ столбиком. Сначала делим $2133$ на $547$. Подбором находим, что $547 \times 3 = 1641$, а $547 \times 4 = 2188$. Выбираем $3$. Записываем $3$ в частное. Находим остаток: $2133 - 1641 = 492$. Сносим следующую цифру $3$, получаем число $4923$. Делим $4923$ на $547$. Подбором находим, что $547 \times 9 = 4923$. Записываем $9$ в частное. Остаток $0$.
$21333 : 547 = 39$.
Ответ: 39

335. Вычислите:

а) $576 \cdot 23 - 766 \cdot 35;$

б) $849 \cdot 18 - 783 \cdot 28;$

в) $136 \cdot 13 - (8416 + 1234);$

г) $4736 : 4 - 1245 \cdot 5.$

а) $576 \cdot 23 - 766 \cdot 35$

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала умножение, затем вычитание.

1. Вычислим произведение $576 \cdot 23$:

$576 \cdot 23 = 13248$

2. Вычислим произведение $766 \cdot 35$:

$766 \cdot 35 = 26810$

3. Вычтем из первого результата второй:

$13248 - 26810 = -13562$

Ответ: $-13562$

б) $849 \cdot 18 - 783 \cdot 28$

Выполняем действия согласно порядку операций: сначала умножение, потом вычитание.

1. Найдем произведение $849 \cdot 18$:

$849 \cdot 18 = 15282$

2. Найдем произведение $783 \cdot 28$:

$783 \cdot 28 = 21924$

3. Выполним вычитание:

$15282 - 21924 = -6642$

Ответ: $-6642$

в) $136 \cdot 13 - (8416 + 1234)$

Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняем действие в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.

1. Вычислим сумму в скобках:

$8416 + 1234 = 9650$

2. Вычислим произведение:

$136 \cdot 13 = 1768$

3. Выполним вычитание:

$1768 - 9650 = -7882$

Ответ: $-7882$

г) $4736 : 4 - 1245 \cdot 5$

Порядок действий: сначала выполняем деление и умножение (слева направо), затем вычитание.

1. Выполним деление:

$4736 : 4 = 1184$

2. Выполним умножение:

$1245 \cdot 5 = 6225$

3. Выполним вычитание:

$1184 - 6225 = -5041$

Ответ: $-5041$

336. Определите знак числа x:

а) $x \cdot (-8) = 400;$

б) $(-10) \cdot x = -420;$

в) $x \cdot 15 = -60;$

г) $12 \cdot x = 144.$

Чтобы определить знак числа $x$, необходимо проанализировать знаки известных множителей и произведения в каждом уравнении, используя следующие правила:

• Произведение двух чисел с одинаковыми знаками (оба положительные или оба отрицательные) всегда положительно.
• Произведение двух чисел с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное) всегда отрицательно.

а) $x \cdot (-8) = 400$
В данном уравнении произведение ($400$) — положительное число. Один из множителей ($-8$) — отрицательное число. Чтобы произведение было положительным, множители должны иметь одинаковые знаки. Следовательно, число $x$ также должно быть отрицательным.
Для проверки найдем $x$: $x = 400 : (-8) = -50$. Число $-50$ отрицательное.
Ответ: Знак числа $x$ – минус (число отрицательное).

б) $(-10) \cdot x = -420$
Здесь произведение ($-420$) — отрицательное число. Один из множителей ($-10$) — отрицательное число. Чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь разные знаки. Следовательно, число $x$ должно быть положительным.
Для проверки найдем $x$: $x = -420 : (-10) = 42$. Число $42$ положительное.
Ответ: Знак числа $x$ – плюс (число положительное).

в) $x \cdot 15 = -60$
В этом уравнении произведение ($-60$) — отрицательное число. Один из множителей ($15$) — положительное число. Чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь разные знаки. Следовательно, число $x$ должно быть отрицательным.
Для проверки найдем $x$: $x = -60 : 15 = -4$. Число $-4$ отрицательное.
Ответ: Знак числа $x$ – минус (число отрицательное).

г) $12 \cdot x = 144$
Здесь произведение ($144$) — положительное число. Один из множителей ($12$) — положительное число. Чтобы произведение было положительным, множители должны иметь одинаковые знаки. Следовательно, число $x$ также должно быть положительным.
Для проверки найдем $x$: $x = 144 : 12 = 12$. Число $12$ положительное.
Ответ: Знак числа $x$ – плюс (число положительное).

337. Определите знак частного:

а) $400 : (-8);$

б) $(-420) : (-10);$

в) $(-60) : 15;$

г) $144 : 12.$

Чтобы определить знак частного, необходимо воспользоваться правилами деления рациональных чисел:

• При делении двух чисел с одинаковыми знаками (оба положительные или оба отрицательные) частное будет положительным. Это можно записать так: $(+) : (+) = (+)$ и $(-) : (-) = (+)$.
• При делении двух чисел с разными знаками (одно положительное, другое отрицательное) частное будет отрицательным. Это можно записать так: $(+) : (-) = (-)$ и $(-) : (+) = (-)$.

Применим эти правила к каждому выражению.

В выражении $400 : (-8)$ делимое $400$ является положительным числом, а делитель $-8$ — отрицательным. Так как знаки у чисел разные, частное будет отрицательным.

Ответ: знак минус (–).

В выражении $(-420) : (-10)$ делимое $-420$ является отрицательным числом, и делитель $-10$ также является отрицательным. Так как знаки у чисел одинаковые, частное будет положительным.

Ответ: знак плюс (+).

В выражении $(-60) : 15$ делимое $-60$ является отрицательным числом, а делитель $15$ — положительным. Так как знаки у чисел разные, частное будет отрицательным.

Ответ: знак минус (–).

В выражении $144 : 12$ делимое $144$ является положительным числом, и делитель $12$ также является положительным. Так как знаки у чисел одинаковые, частное будет положительным.

Ответ: знак плюс (+).

Выполните деление (338—339):

338. а) $(+60) : (-10) = -(60 : 10) = -6;$

б) $(-20) : 5;$

в) $(-50) : 10;$

г) $(-80) : (-20);$

д) $(-100) : (-25);$

е) $30 : (-15);$

ж) $64 : (-8).$

б) Чтобы разделить отрицательное число $(-20)$ на положительное число $5$, нужно разделить их модули и перед результатом поставить знак минус. Модуль числа $-20$ равен $20$, а модуль числа $5$ равен $5$.

$(-20) : 5 = -(20 : 5) = -4$

Ответ: $-4$

в) Чтобы разделить отрицательное число $(-50)$ на положительное число $10$, нужно разделить их модули и перед результатом поставить знак минус. Модуль числа $-50$ равен $50$, а модуль числа $10$ равен $10$.

$(-50) : 10 = -(50 : 10) = -5$

Ответ: $-5$

г) Чтобы разделить два отрицательных числа, нужно разделить их модули. Результат будет положительным. Модуль числа $-80$ равен $80$, а модуль числа $-20$ равен $20$.

$(-80) : (-20) = 80 : 20 = 4$

Ответ: $4$

д) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Нужно разделить модули этих чисел. Модуль числа $-100$ равен $100$, а модуль числа $-25$ равен $25$.

$(-100) : (-25) = 100 : 25 = 4$

Ответ: $4$

е) Чтобы разделить положительное число $30$ на отрицательное число $(-15)$, нужно разделить их модули и перед результатом поставить знак минус. Модуль числа $30$ равен $30$, а модуль числа $-15$ равен $15$.

$30 : (-15) = -(30 : 15) = -2$

Ответ: $-2$

ж) При делении положительного числа $64$ на отрицательное число $(-8)$, частное будет отрицательным. Нужно разделить модули этих чисел и поставить знак минус перед результатом. Модуль числа $64$ равен $64$, а модуль числа $-8$ равен $8$.

$64 : (-8) = -(64 : 8) = -8$

Ответ: $-8$

339. а) $200 : (-40);$

б) $(-500) : 100;$

в) $720 : (-90);$

г) $(-810) : (-9);$

д) $(-560) : (-70);$

е) $(-480) : 60.$

а) Для того чтобы разделить число 200 на -40, необходимо определить знак частного и разделить модули чисел. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
$200 : (-40) = -(200 : 40)$
Выполним деление модулей:
$200 : 40 = 20 : 4 = 5$
Следовательно, результат равен -5.
$200 : (-40) = -5$
Ответ: -5

б) Для того чтобы разделить число -500 на 100, необходимо определить знак частного и разделить модули чисел. При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.
$(-500) : 100 = -(500 : 100)$
Выполним деление модулей:
$500 : 100 = 5$
Следовательно, результат равен -5.
$(-500) : 100 = -5$
Ответ: -5

в) Для того чтобы разделить число 720 на -90, необходимо определить знак частного и разделить модули чисел. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным.
$720 : (-90) = -(720 : 90)$
Выполним деление модулей:
$720 : 90 = 72 : 9 = 8$
Следовательно, результат равен -8.
$720 : (-90) = -8$
Ответ: -8

г) Для того чтобы разделить число -810 на -9, необходимо определить знак частного и разделить модули чисел. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.
$(-810) : (-9) = 810 : 9$
Выполним деление модулей:
$810 : 9 = 90$
Следовательно, результат равен 90.
$(-810) : (-9) = 90$
Ответ: 90

д) Для того чтобы разделить число -560 на -70, необходимо определить знак частного и разделить модули чисел. При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным.
$(-560) : (-70) = 560 : 70$
Выполним деление модулей:
$560 : 70 = 56 : 7 = 8$
Следовательно, результат равен 8.
$(-560) : (-70) = 8$
Ответ: 8

е) Для того чтобы разделить число -480 на 60, необходимо определить знак частного и разделить модули чисел. При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.
$(-480) : 60 = -(480 : 60)$
Выполним деление модулей:
$480 : 60 = 48 : 6 = 8$
Следовательно, результат равен -8.
$(-480) : 60 = -8$
Ответ: -8