Страница 61 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

?295. Если $a$ и $b$ – натуральные числа, то верно ли, что их сумма и разность также являются натуральными числами?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно проверить два утверждения: одно касается суммы натуральных чисел, а другое — их разности.

Сумма

Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$). Сумма двух любых натуральных чисел $a$ и $b$ всегда будет натуральным числом. Так как $a \ge 1$ и $b \ge 1$, то их сумма $a+b \ge 2$, что гарантирует, что результат является целым и положительным числом, то есть натуральным. Например, если $a=5$ и $b=8$, то $a+b=13$, и $13$ — натуральное число. Утверждение о сумме верно.

Разность

Разность двух натуральных чисел $a$ и $b$ не всегда является натуральным числом. Результат зависит от соотношения между числами $a$ и $b$. Рассмотрим три возможных случая:

1. Если $a > b$: разность $a-b$ будет положительным целым числом, то есть натуральным. Например, $10 - 4 = 6$. Число $6$ — натуральное.

2. Если $a = b$: разность $a-b$ будет равна нулю. Например, $7 - 7 = 0$. Число $0$ не является натуральным.

3. Если $a < b$: разность $a-b$ будет отрицательным целым числом. Например, $3 - 9 = -6$. Отрицательные числа не являются натуральными.

Поскольку существуют случаи, когда разность двух натуральных чисел не является натуральным числом, утверждение о разности неверно.

Так как вопрос "верно ли, что их сумма и разность также являются натуральными числами?" требует одновременного выполнения обоих условий, а условие для разности не выполняется, то общее утверждение является неверным.

Ответ: Нет, неверно. Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом, а их разность является натуральным числом только тогда, когда уменьшаемое больше вычитаемого. В остальных случаях разность может быть нулем или отрицательным числом, которые не являются натуральными.

разность также является натуральными числами.

?296.

Если $a$ и $b$ – целые числа, то верно ли, что их сумма и разность также являются целыми числами?

Да, это утверждение верно. Сумма и разность двух целых чисел всегда являются целыми числами. Это свойство называется замкнутостью множества целых чисел относительно операций сложения и вычитания.

Сумма целых чисел

Множество целых чисел, обозначаемое как $Z$, состоит из натуральных чисел ($1, 2, 3, \ldots$), противоположных им отрицательных чисел ($-1, -2, -3, \ldots$) и нуля. Пусть $a$ и $b$ — любые два целых числа. Рассмотрим их сумму $a+b$:

• Если оба числа положительные, их сумма — положительное целое число. Например, $7 + 12 = 19$.
• Если оба числа отрицательные, их сумма — отрицательное целое число. Например, $(-5) + (-8) = -13$.
• Если одно число положительное, а другое отрицательное, их сумма может быть положительным, отрицательным числом или нулём, что в любом случае является целым числом. Например, $10 + (-4) = 6$ или $(-15) + 5 = -10$.
• Если одно из чисел — ноль, сумма равна второму числу, которое по условию является целым. Например, $(-3) + 0 = -3$.

Таким образом, во всех возможных случаях сумма двух целых чисел является целым числом.

Ответ: Да, сумма двух целых чисел всегда является целым числом.

Разность целых чисел

Вычитание целого числа $b$ из целого числа $a$ эквивалентно сложению $a$ с числом, противоположным $b$. Математически это записывается так: $a - b = a + (-b)$. Поскольку $b$ является целым числом, то и $-b$ также является целым числом. Как было показано выше, сумма двух любых целых чисел (в нашем случае $a$ и $-b$) всегда является целым числом. Рассмотрим несколько примеров:

• $20 - 8 = 12$ (целое)
• $5 - 11 = -6$ (целое)
• $(-9) - 4 = (-9) + (-4) = -13$ (целое)
• $14 - (-5) = 14 + 5 = 19$ (целое)

Следовательно, разность любых двух целых чисел всегда является целым числом.

Ответ: Да, разность двух целых чисел всегда является целым числом.

Вычислите наиболее простым способом (297–298):

297. а) $-1-2-3-4-5-6+5+4+3+2+1$;

б) $-8-7-5-3-1+0+1+3+5+7+8+9$.

а) Для наиболее простого вычисления сгруппируем числа с противоположными знаками, так как их сумма равна нулю.
$-1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = (-1 + 1) + (-2 + 2) + (-3 + 3) + (-4 + 4) + (-5 + 5) - 6 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 - 6 = -6$.
Ответ: -6

б) Аналогично предыдущему примеру, сгруппируем пары противоположных чисел.
$-8 - 7 - 5 - 3 - 1 + 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 8 + 9 = (-8 + 8) + (-7 + 7) + (-5 + 5) + (-3 + 3) + (-1 + 1) + 0 + 9 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 9 = 9$.
Ответ: 9

298. а) $-9-8-7-\ldots-1+0+1+\ldots+7+8+9+10;$

б) $-101-100-99-98-\ldots+98+99+100;$

в) $1-2+3-4+\ldots+9-10+11;$

г) $1-2+3-4+\ldots+99-100.$

а) Данное выражение представляет собой сумму целых чисел от -9 до 10. В этой сумме можно выделить пары противоположных чисел: $(-1 \text{ и } 1), (-2 \text{ и } 2), \ldots, (-9 \text{ и } 9)$. Сумма каждой такой пары равна нулю.
Перегруппируем слагаемые: $((-9) + 9) + ((-8) + 8) + \ldots + ((-1) + 1) + 0 + 10$.
Сумма всех пар равна 0. Таким образом, выражение упрощается до $0 + 10 = 10$.
Ответ: 10

б) Это сумма целых чисел от -101 до 100. Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем слагаемые в пары противоположных чисел: $((-100) \text{ и } 100), ((-99) \text{ и } 99), \ldots, ((-1) \text{ и } 1)$. Сумма каждой такой пары равна 0.
Выражение можно записать так: $-101 + ((-100) + 100) + ((-99) + 99) + \ldots + ((-1) + 1) + 0$.
Сумма всех пар и нуля равна 0. В результате остается только первое слагаемое.
$-101 + 0 = -101$.
Ответ: -101

в) Сгруппируем слагаемые попарно, оставив последнее число без пары:
$(1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + (7 - 8) + (9 - 10) + 11$.
Результат в каждой скобке равен -1. Всего таких пар 5 (поскольку от 1 до 10 всего 10 чисел, что составляет $10/2=5$ пар).
Сумма пар: $5 \times (-1) = -5$.
Теперь добавим оставшееся число 11:
$-5 + 11 = 6$.
Ответ: 6

г) Сгруппируем все слагаемые попарно:
$(1 - 2) + (3 - 4) + \ldots + (99 - 100)$.
Результат в каждой паре равен -1. Всего в ряду 100 чисел, следовательно, количество пар равно $100 / 2 = 50$.
Общая сумма равна произведению количества пар на значение суммы в каждой паре:
$50 \times (-1) = -50$.
Ответ: -50

Для какого числа $x$ верно равенство (299–300)?

299. а) $x + 13 = 7,$

$x = 7 - 13,$

$x = -6;$

$7 - 13 = -(13 - 7) = -6$

б) $x + 8 = -7;$

в) $-7 + x = 9;$

г) $x - (-8) = 13;$

д) $-15 - x = 7.$

Чтобы найти число $x$, для которого верно равенство, нужно решить каждое уравнение.

Дано уравнение: $x + 13 = 7$.
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы ($7$) вычесть известное слагаемое ($13$).
$x = 7 - 13$
$x = -6$
Проверка: $-6 + 13 = 7$. Равенство верно.
Ответ: $-6$

Дано уравнение: $x + 8 = -7$.
Чтобы найти $x$, перенесем $8$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:
$x = -7 - 8$
$x = -15$
Проверка: $-15 + 8 = -7$. Равенство верно.
Ответ: $-15$

Дано уравнение: $-7 + x = 9$.
Чтобы найти $x$, перенесем $-7$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:
$x = 9 + 7$
$x = 16$
Проверка: $-7 + 16 = 9$. Равенство верно.
Ответ: $16$

Дано уравнение: $x - (-8) = 13$.
Сначала упростим левую часть. Вычитание отрицательного числа заменяется сложением:
$x + 8 = 13$
Теперь перенесем $8$ из левой части в правую, изменив знак на противоположный:
$x = 13 - 8$
$x = 5$
Проверка: $5 - (-8) = 5 + 8 = 13$. Равенство верно.
Ответ: $5$

Дано уравнение: $-15 - x = 7$.
В этом уравнении $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($-15$) вычесть разность ($7$):
$x = -15 - 7$
$x = -22$
Проверка: $-15 - (-22) = -15 + 22 = 7$. Равенство верно.
Ответ: $-22$

300. a) $-498 - x = -175,$

$x = -498 - (-175),$

$x = -498 + 175,$

$x = -323;$

$\begin{array}{r} -498 \\ 175 \\ \hline 323 \end{array}$

б) $79 + x = -356;$

в) $x - 57 = -493;$

г) $167 - x = 39;$

д) $-542 + x = 542.$

б) В уравнении $79 + x = -356$ переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($-356$) вычесть известное слагаемое ($79$).

$x = -356 - 79$

Складываем модули чисел $356$ и $79$ и ставим перед результатом знак минус:

$x = -(356 + 79)$

$x = -435$

Проверка: $79 + (-435) = 79 - 435 = -356$. Равенство верно.

Ответ: $x = -435$.

в) В уравнении $x - 57 = -493$ переменная $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности ($-493$) прибавить вычитаемое ($57$).

$x = -493 + 57$

Так как числа имеют разные знаки, из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак числа с большим модулем (в данном случае минус):

$x = -(493 - 57)$

$x = -436$

Проверка: $-436 - 57 = -493$. Равенство верно.

Ответ: $x = -436$.

г) В уравнении $167 - x = 39$ переменная $x$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($167$) вычесть разность ($39$).

$x = 167 - 39$

$x = 128$

Проверка: $167 - 128 = 39$. Равенство верно.

Ответ: $x = 128$.

д) В уравнении $-542 + x = 542$ переменная $x$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($542$) вычесть известное слагаемое ($-542$).

$x = 542 - (-542)$

Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного:

$x = 542 + 542$

$x = 1084$

Проверка: $-542 + 1084 = 1084 - 542 = 542$. Равенство верно.

Ответ: $x = 1084$.

301. Найдите сумму нескольких одинаковых слагаемых:

a) $\underbrace{(-5) + (-5) + \dots + (-5)}_{6};$

б) $\underbrace{(-7) + (-7) + \dots + (-7)}_{8};$

в) $\underbrace{(-10) + (-10) + \dots + (-10)}_{9};$

г) $\underbrace{(-6) + (-6) + \dots + (-6)}_{11}.$

а) Чтобы найти сумму шести одинаковых слагаемых, равных -5, нужно умножить слагаемое на их количество.
$(-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5) + (-5) = 6 \cdot (-5) = -30$
Ответ: -30

б) Чтобы найти сумму восьми одинаковых слагаемых, равных -7, нужно умножить слагаемое на их количество.
$8 \cdot (-7) = -56$
Ответ: -56

в) Чтобы найти сумму девяти одинаковых слагаемых, равных -10, нужно умножить слагаемое на их количество.
$9 \cdot (-10) = -90$
Ответ: -90

г) Чтобы найти сумму одиннадцати одинаковых слагаемых, равных -6, нужно умножить слагаемое на их количество.
$11 \cdot (-6) = -66$
Ответ: -66