Страница 57 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

267. Вычислите, применяя законы сложения:

а) $5 + 798 + 35;$

б) $(723 + 59) + 17;$

в) $357 + 48 + 13;$

г) $488 + (596 + 12).$

Для решения данных примеров мы будем использовать законы сложения: переместительный ($a + b = b + a$) и сочетательный ($(a + b) + c = a + (b + c)$). Эти законы позволяют нам менять слагаемые местами и группировать их так, чтобы вычисления были проще.

а) $5 + 798 + 35$

Чтобы упростить вычисление, сгруппируем числа 5 и 35, так как их сумма дает круглое число. Для этого применим переместительный закон сложения, поменяв местами 798 и 35, а затем сочетательный закон.

$5 + 798 + 35 = 5 + 35 + 798 = (5 + 35) + 798 = 40 + 798 = 838$

Ответ: 838

б) $(723 + 59) + 17$

Используя сочетательный и переместительный законы, мы можем складывать числа в любом порядке. Удобнее сложить 723 и 17.

$(723 + 59) + 17 = 723 + 59 + 17 = 723 + 17 + 59 = (723 + 17) + 59 = 740 + 59 = 799$

Ответ: 799

в) $357 + 48 + 13$

Здесь удобнее сначала сложить 357 и 13. Применим переместительный закон, чтобы поставить 13 рядом с 357, а затем сочетательный закон для их группировки.

$357 + 48 + 13 = 357 + 13 + 48 = (357 + 13) + 48 = 370 + 48 = 418$

Ответ: 418

г) $488 + (596 + 12)$

Применим сочетательный закон, чтобы изменить порядок действий, а затем переместительный, чтобы сгруппировать 488 и 12, так как их сумма дает круглое число.

$488 + (596 + 12) = 488 + 596 + 12 = 488 + 12 + 596 = (488 + 12) + 596 = 500 + 596 = 1096$

Ответ: 1096

268. Выполните сложение и сравните результаты:

а) $-5 + (-9)$ и $-9 + (-5)$;

б) $48 + (-36)$ и $(-36) + 48$;

в) $-25 + 16$ и $16 + (-25)$;

г) $-8 + (18 + (-7))$ и $(-8 + 18) + (-7)$;

д) $13 + (-6 + (-7))$ и $(13 + (-6)) + (-7)$.

а) Вычислим значение первого выражения: $-5 + (-9) = -5 - 9 = -14$.
Вычислим значение второго выражения: $-9 + (-5) = -9 - 5 = -14$.
Сравниваем результаты: $-14 = -14$. Результаты равны. Это пример переместительного свойства сложения.

Ответ: $-5 + (-9) = -9 + (-5) = -14$.

б) Вычислим значение первого выражения: $48 + (-36) = 48 - 36 = 12$.
Вычислим значение второго выражения: $(-36) + 48 = 48 - 36 = 12$.
Сравниваем результаты: $12 = 12$. Результаты равны. Это пример переместительного свойства сложения.

Ответ: $48 + (-36) = (-36) + 48 = 12$.

в) Вычислим значение первого выражения: $-25 + 16 = -(25 - 16) = -9$.
Вычислим значение второго выражения: $16 + (-25) = 16 - 25 = -9$.
Сравниваем результаты: $-9 = -9$. Результаты равны. Это пример переместительного свойства сложения.

Ответ: $-25 + 16 = 16 + (-25) = -9$.

г) Вычислим значение первого выражения, соблюдая порядок действий: $-8 + (18 + (-7)) = -8 + (18 - 7) = -8 + 11 = 3$.
Вычислим значение второго выражения: $(-8 + 18) + (-7) = 10 + (-7) = 10 - 7 = 3$.
Сравниваем результаты: $3 = 3$. Результаты равны. Это пример сочетательного свойства сложения.

Ответ: $-8 + (18 + (-7)) = (-8 + 18) + (-7) = 3$.

д) Вычислим значение первого выражения, соблюдая порядок действий: $13 + (-6 + (-7)) = 13 + (-13) = 0$.
Вычислим значение второго выражения: $(13 + (-6)) + (-7) = 7 + (-7) = 0$.
Сравниваем результаты: $0 = 0$. Результаты равны. Это пример сочетательного свойства сложения.

Ответ: $13 + (-6 + (-7)) = (13 + (-6)) + (-7) = 0$.

269. Примените переместительный закон сложения:

а) $-45 + (-10) = -10 + (-45);$

б) $8 + (-35);$

в) $-13 + 49;$

г) $-17 + (-23).$

Переместительный (или коммутативный) закон сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. В общем виде это свойство записывается формулой: $a + b = b + a$.

Применим этот закон к каждому из выражений.

а) Этот пункт дан в качестве примера, где закон уже применён: $-45 + (-10) = -10 + (-45)$.
Проверим вычислением: $-55 = -55$.

б) Для выражения $8 + (-35)$ поменяем местами слагаемые $8$ и $(-35)$.
Получим равенство: $8 + (-35) = (-35) + 8$.
Проверим, вычислив значение каждой части:
$8 + (-35) = 8 - 35 = -27$
$(-35) + 8 = -27$
Результаты равны, значит, закон применён верно.
Ответ: $8 + (-35) = (-35) + 8$.

в) Для выражения $-13 + 49$ поменяем местами слагаемые $-13$ и $49$.
Получим равенство: $-13 + 49 = 49 + (-13)$.
Проверим, вычислив значение каждой части:
$-13 + 49 = 36$
$49 + (-13) = 49 - 13 = 36$
Результаты равны, значит, закон применён верно.
Ответ: $-13 + 49 = 49 + (-13)$.

г) Для выражения $-17 + (-23)$ поменяем местами слагаемые $-17$ и $(-23)$.
Получим равенство: $-17 + (-23) = (-23) + (-17)$.
Проверим, вычислив значение каждой части:
$-17 + (-23) = -17 - 23 = -40$
$(-23) + (-17) = -23 - 17 = -40$
Результаты равны, значит, закон применён верно.
Ответ: $-17 + (-23) = (-23) + (-17)$.

270. Примените сочетательный закон сложения:

a) $42 + (-3 + 7) = (42 + (-3)) + 7;$

б) $56 + (-16 + 7);$

в) $(-52 + 17) + (-9);$

г) $-13 + (-8 + 25).$

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения гласит, что результат сложения трех и более слагаемых не зависит от того, как они сгруппированы. Математически это выражается формулой: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Применим этот закон для вычисления значений выражений.

а) В данном пункте показан пример применения сочетательного закона:
$42 + (-3 + 7) = (42 + (-3)) + 7$
Выполним вычисления для обеих частей равенства, чтобы убедиться в его верности:
Левая часть: $42 + (-3 + 7) = 42 + 4 = 46$
Правая часть: $(42 + (-3)) + 7 = 39 + 7 = 46$
Результаты совпадают, следовательно, закон применен верно.

б) Исходное выражение: $56 + (-16 + 7)$.
Применяем сочетательный закон, изменяя группировку слагаемых:
$56 + (-16 + 7) = (56 + (-16)) + 7$
Теперь вычисляем результат:
$(56 - 16) + 7 = 40 + 7 = 47$
Ответ: 47

в) Исходное выражение: $(-52 + 17) + (-9)$.
Применяем сочетательный закон, изменяя группировку слагаемых:
$(-52 + 17) + (-9) = -52 + (17 + (-9))$
Теперь вычисляем результат:
$-52 + (17 - 9) = -52 + 8 = -44$
Ответ: -44

г) Исходное выражение: $-13 + (-8 + 25)$.
Применяем сочетательный закон, изменяя группировку слагаемых:
$-13 + (-8 + 25) = (-13 + (-8)) + 25$
Теперь вычисляем результат:
$(-13 - 8) + 25 = -21 + 25 = 4$
Ответ: 4

271. Заполните пропуски:

а) $3 + 5 + (-8) = 3 + (-8) + \ldots$

б) $6 + \ldots + (-1) = (-1) + (6 + (-2))$

в) $-1 + \ldots + 3 = (3 + (-7)) + \ldots$

г) $-4 + \ldots + (-7) = 2 + (\ldots + (-4))$

а) В данном равенстве $3 + 5 + (-8) = 3 + (-8) + ...$ применяется переместительное свойство сложения, согласно которому от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$). В левой части равенства находятся числа $3$, $5$ и $-8$. В правой части — числа $3$, $-8$ и пропуск. Чтобы равенство было верным, набор слагаемых в обеих частях должен быть одинаковым. Следовательно, на месте пропуска должно стоять число $5$.
Проверим:
Левая часть: $3 + 5 + (-8) = 8 - 8 = 0$.
Правая часть: $3 + (-8) + 5 = -5 + 5 = 0$.
Равенство верно.
Ответ: 5

б) В равенстве $6 + ... + (-1) = (-1) + (6 + (-2))$ используются переместительное и сочетательное свойства сложения. Чтобы равенство было верным, наборы слагаемых в обеих частях должны быть одинаковыми. В правой части уравнения находятся числа $-1$, $6$ и $-2$. В левой части — числа $6$, $-1$ и пропуск. Сравнивая наборы чисел, видим, что в левой части не хватает числа $-2$.
Проверим:
Левая часть: $6 + (-2) + (-1) = 6 - 2 - 1 = 3$.
Правая часть: $(-1) + (6 + (-2)) = -1 + (6 - 2) = -1 + 4 = 3$.
Равенство верно.
Ответ: -2

в) В равенстве $-1 + ... + 3 = (3 + (-7)) + ...$ два пропуска. Равенство основано на том, что наборы слагаемых в левой и правой частях должны быть идентичны. В левой части известны числа $-1$ и $3$. В правой части известны числа $3$ и $-7$. Число $3$ есть в обеих частях. Чтобы наборы чисел были одинаковыми, первое пропущенное число в левой части должно быть $-7$ (из правой части), а второе пропущенное число в правой части должно быть $-1$ (из левой части). Получаем равенство: $-1 + (-7) + 3 = (3 + (-7)) + (-1)$.
Проверим:
Левая часть: $-1 + (-7) + 3 = -8 + 3 = -5$.
Правая часть: $(3 + (-7)) + (-1) = -4 - 1 = -5$.
Равенство верно.
Ответ: -7; -1

г) В равенстве $-4 + ... + (-7) = 2 + (... + (-4))$ также два пропуска. Применяя переместительное и сочетательное свойства сложения, наборы слагаемых в обеих частях должны быть одинаковы. В левой части известны числа $-4$ и $-7$. В правой части известны числа $2$ и $-4$. Число $-4$ есть в обеих частях. Следовательно, первое пропущенное число в левой части — это $2$ (из правой части), а второе пропущенное число в правой части — это $-7$ (из левой части). Получаем равенство: $-4 + 2 + (-7) = 2 + (-7 + (-4))$.
Проверим:
Левая часть: $-4 + 2 + (-7) = -2 - 7 = -9$.
Правая часть: $2 + (-7 + (-4)) = 2 + (-11) = -9$.
Равенство верно.
Ответ: 2; -7

272. Вычислите, применяя законы сложения:

а) $49 + ((-49) + 22);$

б) $-12 + (12 + (-29));$

в) $(47 + (-58)) + (-47);$

г) $(124 + 59) + (-24);$

д) $-56 + 17 + (-27);$

е) $49 + (-72) + 62;$

ж) $36 + (-51) + 14;$

з) $-48 + (-19) + 28.$

Для решения примера $49 + ((-49) + 22)$ применим сочетательный закон сложения, который позволяет изменять порядок действий: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Перегруппируем слагаемые для удобства вычисления:$49 + ((-49) + 22) = (49 + (-49)) + 22$.Сумма противоположных чисел ($49$ и $-49$) равна нулю.$(49 + (-49)) + 22 = 0 + 22 = 22$.Ответ: 22

В примере $-12 + (12 + (-29))$ также используем сочетательный закон сложения. Сгруппируем $-12$ и $12$:$(-12 + 12) + (-29)$.Сумма противоположных чисел равна нулю.$(-12 + 12) + (-29) = 0 + (-29) = -29$.Ответ: -29

В выражении $(47 + (-58)) + (-47)$ применим переместительный ($a+b=b+a$) и сочетательный законы сложения. Поменяем местами слагаемые $(-58)$ и $(-47)$ и сгруппируем $47$ и $-47$:$(47 + (-58)) + (-47) = (47 + (-47)) + (-58)$.Сумма противоположных чисел $47$ и $-47$ равна нулю.$0 + (-58) = -58$.Ответ: -58

Для вычисления $(124 + 59) + (-24)$ используем переместительный и сочетательный законы. Поменяем местами $59$ и $(-24)$ и сгруппируем $124$ и $-24$:$(124 + 59) + (-24) = (124 + (-24)) + 59$.$124 + (-24) = 124 - 24 = 100$.Теперь сложим результат с оставшимся числом:$100 + 59 = 159$.Ответ: 159

В примере $-56 + 17 + (-27)$ для удобства сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаками, используя переместительный и сочетательный законы:$-56 + 17 + (-27) = (-56 + (-27)) + 17$.$-56 + (-27) = -83$.Теперь выполним сложение:$-83 + 17 = -66$.Ответ: -66

В выражении $49 + (-72) + 62$ сгруппируем положительные числа, применив переместительный и сочетательный законы:$49 + (-72) + 62 = (49 + 62) + (-72)$.$49 + 62 = 111$.Теперь выполним оставшееся действие:$111 + (-72) = 111 - 72 = 39$.Ответ: 39

Для вычисления $36 + (-51) + 14$ сгруппируем положительные числа, используя законы сложения:$36 + (-51) + 14 = (36 + 14) + (-51)$.$36 + 14 = 50$.Далее:$50 + (-51) = 50 - 51 = -1$.Ответ: -1

В примере $-48 + (-19) + 28$ сгруппируем числа $-48$ и $28$ для удобства вычисления:$-48 + (-19) + 28 = (-48 + 28) + (-19)$.$-48 + 28 = -20$.Теперь сложим результат с оставшимся числом:$-20 + (-19) = -20 - 19 = -39$.Ответ: -39

273. Вычислите по образцу:

а) $-1 + 2 + (-3) + 5 = (2 + 5) + ((-1) + (-3)) = 7 + (-4)$ ...;

б) $-2 + (-4) + 2 + 5 + (-3) + 1 + (-3);$

в) $20 + (-8) + 2 + 5 + (-10) + (-1) + (-3);$

г) $-4 + (-1) + 3 + (-2) + (-3) + 9;$

д) $-17 + 17 + (-8) + 6 + (-2) + 8;$

е) $4 + (-6) + (-1) + (-4) + 6 + (-3) + 1.$

а) $-1+2+(-3)+5$

Для решения примера сгруппируем отдельно положительные и отрицательные числа, как показано в образце. Сначала сложим положительные числа, затем отрицательные, и после этого найдем сумму полученных результатов.

$-1+2+(-3)+5 = (2+5) + ((-1)+(-3)) = 7 + (-4) = 7 - 4 = 3$.

Ответ: 3

б) $-2+(-4)+2+5+(-3)+1+(-3)$

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые: $(2+5+1) + ((-2)+(-4)+(-3)+(-3))$.

Сумма положительных слагаемых: $2+5+1=8$.

Сумма отрицательных слагаемых: $-2+(-4)+(-3)+(-3)=-12$.

Сложим полученные суммы: $8 + (-12) = 8 - 12 = -4$.

Ответ: -4

в) $20+(-8)+2+5+(-10)+(-1)+(-3)$

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые: $(20+2+5) + ((-8)+(-10)+(-1)+(-3))$.

Сумма положительных слагаемых: $20+2+5=27$.

Сумма отрицательных слагаемых: $-8+(-10)+(-1)+(-3)=-22$.

Сложим полученные суммы: $27 + (-22) = 27 - 22 = 5$.

Ответ: 5

г) $-4+(-1)+3+(-2)+(-3)+9$

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые: $(3+9) + ((-4)+(-1)+(-2)+(-3))$.

Сумма положительных слагаемых: $3+9=12$.

Сумма отрицательных слагаемых: $-4+(-1)+(-2)+(-3)=-10$.

Сложим полученные суммы: $12 + (-10) = 12 - 10 = 2$.

Ответ: 2

д) $-17+17+(-8)+6+(-2)+8$

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые: $(17+6+8) + ((-17)+(-8)+(-2))$.

Сумма положительных слагаемых: $17+6+8=31$.

Сумма отрицательных слагаемых: $-17+(-8)+(-2)=-27$.

Сложим полученные суммы: $31 + (-27) = 31 - 27 = 4$.

Ответ: 4

е) $4+(-6)+(-1)+(-4)+6+(-3)+1$

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые: $(4+6+1) + ((-6)+(-1)+(-4)+(-3))$.

Сумма положительных слагаемых: $4+6+1=11$.

Сумма отрицательных слагаемых: $-6+(-1)+(-4)+(-3)=-14$.

Сложим полученные суммы: $11 + (-14) = 11 - 14 = -3$.

Ответ: -3

Вычислите, применяя законы сложения (274-275):

274. а) $(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+4+3+2+1;$

б) $(-7)+(-5)+(-3)+(-1)+1+3+5+7;$

в) $(-10)+(-9)+(-8)+(-7)+\dots+7+8+9+10;$

г) $(-100)+(-99)+(-98)+\dots+98+99+100.$

а) $(-1) + (-2) + (-3) + (-4) + 4 + 3 + 2 + 1$

Для решения применим переместительный и сочетательный законы сложения. Сгруппируем числа попарно так, чтобы в каждой паре были противоположные числа:

$((-1) + 1) + ((-2) + 2) + ((-3) + 3) + ((-4) + 4)$

Сумма противоположных чисел всегда равна нулю. Вычислим сумму каждой пары:

$(-1) + 1 = 0$
$(-2) + 2 = 0$
$(-3) + 3 = 0$
$(-4) + 4 = 0$

Теперь сложим полученные результаты:

$0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0

б) $(-7) + (-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5 + 7$

Используя законы сложения, сгруппируем слагаемые, которые являются противоположными числами:

$((-7) + 7) + ((-5) + 5) + ((-3) + 3) + ((-1) + 1)$

Сумма каждой такой пары равна нулю:

$(-7) + 7 = 0$
$(-5) + 5 = 0$
$(-3) + 3 = 0$
$(-1) + 1 = 0$

Сложим результаты:

$0 + 0 + 0 + 0 = 0$

Ответ: 0

в) $(-10) + (-9) + (-8) + (-7) + \dots + 7 + 8 + 9 + 10$

В этом выражении представлена сумма всех целых чисел от -10 до 10. Для каждого отрицательного числа в этой сумме есть соответствующее ему положительное число (например, -10 и 10, -9 и 9, и так далее). Сгруппируем эти пары:

$((-10) + 10) + ((-9) + 9) + ((-8) + 8) + \dots + ((-1) + 1) + 0$

Сумма каждой пары противоположных чисел равна 0. Кроме того, в этом ряду чисел присутствует 0, который не влияет на сумму.

Таким образом, вся сумма представляет собой сумму нулей, что равно нулю.

Ответ: 0

г) $(-100) + (-99) + (-98) + \dots + 98 + 99 + 100$

Данное выражение является суммой всех целых чисел от -100 до 100. Как и в предыдущем задании, для каждого отрицательного числа от -100 до -1 существует противоположное ему положительное число от 1 до 100.

Сгруппируем эти числа в пары:

$((-100) + 100) + ((-99) + 99) + ((-98) + 98) + \dots + ((-1) + 1) + 0$

Сумма каждой такой пары равна 0. В центре этого ряда чисел находится 0.

Следовательно, итоговая сумма всех слагаемых равна нулю.

Ответ: 0