Страница 52 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

247. Объясните с помощью ряда неотрицательных чисел, почему если для целых чисел $a$, $b$ и $c$ верны неравенства $a > b$ и $b > c$, то верно неравенство $a > c$.

Данное утверждение является свойством транзитивности для отношения «больше». Объясним его с помощью неотрицательных чисел, как требуется в задаче.

По определению, неравенство $a > b$ для целых чисел $a$ и $b$ означает, что их разность $a - b$ является положительным целым числом. Положительные целые числа — это часть множества неотрицательных чисел.

1. Из условия $a > b$ следует, что разность $a - b$ — это положительное целое число. Обозначим это число через $k$, где $k$ — целое и $k > 0$. Таким образом, мы можем записать равенство:
$a - b = k$

2. Аналогично, из условия $b > c$ следует, что разность $b - c$ — это также положительное целое число. Обозначим это число через $m$, где $m$ — целое и $m > 0$. Получаем равенство:
$b - c = m$

Числа $k$ и $m$ — это те самые положительные (и, следовательно, неотрицательные) числа, которые помогут нам в доказательстве.

3. Теперь нам нужно доказать, что $a > c$. Для этого достаточно показать, что разность $a - c$ является положительным целым числом. Выразим эту разность, используя наши равенства. Мы можем получить $a - c$, если сложим левые части наших равенств:
$(a - b) + (b - c) = a - b + b - c = a - c$

4. Поскольку левые части равенств в сумме дают $a - c$, то правые части в сумме дадут то же самое. Сложим правые части:
$k + m$

Следовательно, мы получаем новое равенство:
$a - c = k + m$

5. Мы знаем, что $k$ — положительное целое число ($k \ge 1$) и $m$ — положительное целое число ($m \ge 1$). Сумма двух положительных целых чисел всегда является положительным целым числом. В нашем случае $k + m \ge 1 + 1 = 2$.

Таким образом, мы доказали, что разность $a - c$ равна положительному целому числу ($k+m$), а это по определению означает, что $a > c$.

Ответ: Если $a > b$, то разность $a-b=k$ является положительным целым числом. Если $b > c$, то разность $b-c=m$ также является положительным целым числом. Тогда разность $a-c$ можно представить как сумму этих двух положительных чисел: $a-c = (a-b)+(b-c) = k+m$. Сумма двух положительных целых чисел $k+m$ также является положительным целым числом, следовательно, разность $a-c$ положительна, что по определению означает $a>c$.