Страница 49 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

214. Запись $-(-2)$ читают так: «число, противоположное минус двум» или «минус минус 2». Прочитайте запись числа и упростите её по образцу:

а) $+(+2)=+2$; б) $-(-2)=+2$;

в) $+(-2)$; г) $+(-3)$; д) $-(+3)$; е) $-(-3)$; ж) $-(+8)$; з) $-(-10)$.

в) Запись $+(-2)$ читается как «плюс минус два». Если перед скобками стоит знак «+», то знак числа в скобках не меняется. Таким образом, при раскрытии скобок мы оставляем знак «минус» у числа 2.
$+(-2) = -2$
Ответ: $-2$.

г) Запись $+(-3)$ читается как «плюс минус три». Если перед скобками стоит знак «+», то знак числа внутри скобок сохраняется. Следовательно, оставляем знак «минус» у числа 3.
$+(-3) = -3$
Ответ: $-3$.

д) Запись $-(+3)$ читается как «число, противоположное плюс трем». Если перед скобками стоит знак «-», то знак числа в скобках меняется на противоположный. Знак «+» у числа 3 меняется на «-».
$-(+3) = -3$
Ответ: $-3$.

е) Запись $-(-3)$ читается как «число, противоположное минус трем». Знак «-» перед скобками меняет знак числа внутри на противоположный. Таким образом, знак «-» у числа 3 меняется на «+».
$-(-3) = +3 = 3$
Ответ: $3$.

ж) Запись $-(+8)$ читается как «число, противоположное плюс восьми». Знак «-» перед скобками означает, что мы должны взять число, противоположное тому, что в скобках. Противоположное числу $+8$ есть $-8$.
$-(+8) = -8$
Ответ: $-8$.

з) Запись $-(-10)$ читается как «число, противоположное минус десяти». Знак «-» перед скобками меняет знак числа внутри на противоположный. Противоположное числу $-10$ есть $+10$.
$-(-10) = +10 = 10$
Ответ: $10$.

215. Какие числа получатся, если перед числами $-1, 3, 0, -6, 7$ поставить:

а) знак «$+$»;

б) знак «$-$»?

а)

Если перед каждым числом из заданного ряда ($-1, 3, 0, -6, 7$) поставить знак «+», то знак самого числа не изменится. Постановка знака «+» перед выражением равносильна умножению этого выражения на $1$.

Выполним это для каждого числа:

$+(-1) = -1$

$+(3) = 3$

$+(0) = 0$

$+(-6) = -6$

$+(7) = 7$

Таким образом, мы получим тот же самый ряд чисел.

Ответ: $-1, 3, 0, -6, 7$.

б)

Если перед каждым числом из заданного ряда ($-1, 3, 0, -6, 7$) поставить знак «-», то знак числа изменится на противоположный. Постановка знака «-» перед выражением равносильна умножению этого выражения на $-1$.

Выполним это для каждого числа:

$-(-1) = 1$

$-(3) = -3$

$-(0) = 0$ (число $0$ является противоположным самому себе)

$-(-6) = 6$

$-(7) = -7$

Таким образом, мы получим ряд чисел, противоположных исходным.

Ответ: $1, -3, 0, 6, -7$.

216. Какие из чисел $-5, 6, 8, -10, 0, +4, -0$ являются:

а) положительными?

б) отрицательными?

Для того чтобы определить, какие из данных чисел являются положительными, а какие отрицательными, необходимо проанализировать каждое число из набора: $–5, 6, 8, –10, 0, +4, –0$.

Вспомним основные определения:

• Положительные числа – это числа, которые больше нуля ($>0$). Обычно они записываются без знака (например, $6$) или со знаком «+» (например, $+4$).
• Отрицательные числа – это числа, которые меньше нуля ($<0$). Они всегда записываются со знаком «–» (например, $–5$).
• Число $0$ не является ни положительным, ни отрицательным. Запись $–0$ эквивалентна $0$.

а) положительными;

Теперь выберем из списка $–5, 6, 8, –10, 0, +4, –0$ все числа, которые больше нуля.
$6$ — положительное число.
$8$ — положительное число.
$+4$ — положительное число.
Числа $–5$ и $–10$ являются отрицательными. Числа $0$ и $–0$ (что равно $0$) не являются ни положительными, ни отрицательными.

Ответ: $6, 8, +4$.

б) отрицательными?

Теперь выберем из того же списка все числа, которые меньше нуля.
$–5$ — отрицательное число.
$–10$ — отрицательное число.
Числа $6, 8, +4$ являются положительными, а $0$ и $–0$ не являются отрицательными.

Ответ: $–5, –10$.

217. Заполните пропуски, прочитайте полученную запись:

a) $ |+1|=\dots $

б) $ |-6|=\dots $

в) $ |0|=\dots $

г) $ |-3|=\dots $

д) $ |+7|=\dots $

е) $ |-8|=\dots $

Для того чтобы заполнить пропуски, необходимо найти модуль (абсолютную величину) каждого числа. Модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число. Модуль всегда является неотрицательной величиной.

Модуль положительного числа равен самому числу.

$|+1| = 1$

Полученная запись читается: «Модуль плюс одного равен одному».

Ответ: 1

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

$|-6| = 6$

Полученная запись читается: «Модуль минус шести равен шести».

Ответ: 6

Модуль нуля равен нулю.

$|0| = 0$

Полученная запись читается: «Модуль нуля равен нулю».

Ответ: 0

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

$|-3| = 3$

Полученная запись читается: «Модуль минус трех равен трем».

Ответ: 3

Модуль положительного числа равен самому числу.

$|+7| = 7$

Полученная запись читается: «Модуль плюс семи равен семи».

Ответ: 7

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

$|-8| = 8$

Полученная запись читается: «Модуль минус восьми равен восьми».

Ответ: 8

Г) $|0| = \dots$

Д) $|+7| = \dots$

Е) $|-8| = \dots$

218. Найдите модули чисел: +2, -2, +5, -5, +8, -10, +100, +0, -3.

Модуль числа (или его абсолютная величина) — это расстояние от начала отсчета (нуля) до точки на координатной прямой, которая соответствует этому числу. Модуль числа всегда является неотрицательной величиной, то есть он либо положителен, либо равен нулю.

Правило нахождения модуля числа $a$ можно записать так:

$|a| = a$, если $a \ge 0$ (модуль положительного числа или нуля равен самому числу).

$|a| = -a$, если $a < 0$ (модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу).

Найдем модули для каждого из заданных чисел:

• Для числа +2: это положительное число, следовательно, его модуль равен самому числу. $|+2| = 2$.

• Для числа -2: это отрицательное число, следовательно, его модуль равен противоположному числу. $|-2| = 2$.

• Для числа +5: это положительное число, поэтому $|+5| = 5$.

• Для числа -5: это отрицательное число, поэтому $|-5| = 5$.

• Для числа +8: это положительное число, поэтому $|+8| = 8$.

• Для числа -10: это отрицательное число, поэтому $|-10| = 10$.

• Для числа +100: это положительное число, поэтому $|+100| = 100$.

• Для числа +0: модуль нуля равен нулю. $|+0| = |0| = 0$.

• Для числа -3: это отрицательное число, поэтому $|-3| = 3$.

Ответ: $|+2|=2$; $|-2|=2$; $|+5|=5$; $|-5|=5$; $|+8|=8$; $|-10|=10$; $|+100|=100$; $|+0|=0$; $|-3|=3$.

219. Укажите два различных числа, модули которых равны.

Модулем (или абсолютной величиной) числа называется его значение без учета знака. Геометрически модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Модуль любого числа является неотрицательной величиной.

Определение модуля для числа $a$:
Если $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Если $a < 0$, то $|a| = -a$.

Нам нужно найти два различных числа, $x$ и $y$ (то есть $x \neq y$), для которых модули равны: $|x| = |y|$.

Этому условию удовлетворяет любая пара противоположных чисел (чисел, отличающихся только знаком), не равных нулю.

Возьмём в качестве примера число 7 и противоположное ему число -7. Эти числа различны.

Найдем их модули:
$|7| = 7$ (так как 7 — положительное число).
$|-7| = -(-7) = 7$ (так как -7 — отрицательное число).

Таким образом, модули чисел 7 и -7 равны, а сами числа различны, что полностью удовлетворяет условию задачи. Можно выбрать любую другую пару противоположных чисел (например, 15 и -15).

Ответ: 7 и -7.

220. Для каждого из чисел $2$, $5$, $-3$, $10$, $-17$ укажите другое число, имеющее тот же модуль.

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала отсчета (нуля) до точки, изображающей это число на координатной прямой. У двух противоположных чисел одинаковые модули. Чтобы найти другое число с таким же модулем, нужно найти число, противоположное данному, то есть взять число с противоположным знаком.

Общее правило: для любого числа $a$ число $-a$ имеет тот же модуль, так как $|a| = |-a|$.

Для числа 2:

Модуль числа 2 равен $|2| = 2$. Противоположным ему числом является -2. Модуль числа -2 также равен 2, то есть $|-2| = 2$.

Ответ: -2

Для числа 5:

Модуль числа 5 равен $|5| = 5$. Противоположным ему числом является -5. Модуль числа -5 также равен 5, то есть $|-5| = 5$.

Ответ: -5

Для числа -3:

Модуль числа -3 равен $|-3| = 3$. Противоположным ему числом является 3. Модуль числа 3 также равен 3, то есть $|3| = 3$.

Ответ: 3

Для числа 10:

Модуль числа 10 равен $|10| = 10$. Противоположным ему числом является -10. Модуль числа -10 также равен 10, то есть $|-10| = 10$.

Ответ: -10

Для числа -17:

Модуль числа -17 равен $|-17| = 17$. Противоположным ему числом является 17. Модуль числа 17 также равен 17, то есть $|17| = 17$.

Ответ: 17

221. Назовите два противоположных числа, имеющих модуль:

а) $2$;

б) $7$;

в) $9$;

г) $8$.

Противоположными числами называют числа, которые имеют одинаковые модули (абсолютные величины), но разные знаки. Для любого числа $a$ (кроме нуля) существует противоположное ему число $-a$.

Модуль числа $x$, обозначаемый как $|x|$, — это расстояние от точки, соответствующей числу $x$ на координатной прямой, до начала отсчёта (нуля). Модуль неотрицательного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. Таким образом, для любого положительного числа $m$, уравнению $|x| = m$ удовлетворяют два числа: $m$ и $-m$. Эти два числа являются противоположными.

а) 2

Требуется найти два противоположных числа, модуль которых равен 2. Исходя из определения модуля, это числа, которые на координатной прямой находятся на расстоянии 2 единицы от нуля. Такими числами являются 2 и -2.

Проверка: $|2| = 2$ и $|-2| = 2$. Числа 2 и -2 противоположны друг другу.

Ответ: 2 и -2.

б) 7

Требуется найти два противоположных числа, модуль которых равен 7. Это будут числа, расположенные на расстоянии 7 единиц от нуля, то есть 7 и -7.

Проверка: $|7| = 7$ и $|-7| = 7$. Числа 7 и -7 являются противоположными.

Ответ: 7 и -7.

в) 9

Требуется найти два противоположных числа, модуль которых равен 9. Такими числами являются 9 и -9.

Проверка: $|9| = 9$ и $|-9| = 9$. Числа 9 и -9 являются противоположными.

Ответ: 9 и -9.

г) 8

Требуется найти два противоположных числа, модуль которых равен 8. Такими числами являются 8 и -8.

Проверка: $|8| = 8$ и $|-8| = 8$. Числа 8 и -8 являются противоположными.

Ответ: 8 и -8.

Выполните действия (222–224):

222. а) $ |+6| + |+7|; $

б) $ |-9| + |-8|; $

в) $ |-6| + |+7|; $

г) $ |+8| + |+9|. $

Для решения данных примеров необходимо вспомнить определение модуля числа. Модуль числа (или абсолютная величина) — это расстояние от начала отсчета до точки на координатной прямой, соответствующей этому числу. Модуль положительного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. Модуль нуля равен нулю.

а) $|+6| + |+7|$

В этом выражении мы складываем модули двух положительных чисел. Модуль положительного числа равен самому числу.

1. Найдем модуль первого числа: $|+6| = 6$.

2. Найдем модуль второго числа: $|+7| = 7$.

3. Сложим полученные значения: $6 + 7 = 13$.

Ответ: 13

б) $|-9| + |-8|$

В этом выражении мы складываем модули двух отрицательных чисел. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

1. Найдем модуль первого числа: $|-9| = 9$.

2. Найдем модуль второго числа: $|-8| = 8$.

3. Сложим полученные значения: $9 + 8 = 17$.

Ответ: 17

в) $|-6| + |+7|$

Здесь необходимо сложить модуль отрицательного и модуль положительного числа.

1. Найдем модуль отрицательного числа: $|-6| = 6$.

2. Найдем модуль положительного числа: $|+7| = 7$.

3. Сложим полученные значения: $6 + 7 = 13$.

Ответ: 13

г) $|+8| + |+9|$

В этом выражении, как и в пункте а), мы складываем модули двух положительных чисел.

1. Найдем модуль первого числа: $|+8| = 8$.

2. Найдем модуль второго числа: $|+9| = 9$.

3. Сложим полученные значения: $8 + 9 = 17$.

Ответ: 17

223. а) $|-9|-|-6|$;

б) $|-5|-|-+3|$;

В) $|-20|-|-6|$;

г) $|-17|-|-8|$.

а) $|-9| - |-6|$

Чтобы найти значение этого выражения, сначала необходимо вычислить модуль каждого числа. Модуль (или абсолютная величина) числа — это его значение без учета знака. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

Вычисляем модуль числа -9: $|-9| = 9$.

Вычисляем модуль числа -6: $|-6| = 6$.

Теперь подставляем полученные значения обратно в выражение и выполняем вычитание:

$9 - 6 = 3$.

Ответ: 3

б) $|-5| - |+3|$

Сначала находим модули чисел.

Модуль числа -5 равен 5: $|-5| = 5$.

Модуль числа +3 (или просто 3) равен 3: $|+3| = 3$.

Выполняем вычитание найденных значений:

$5 - 3 = 2$.

Ответ: 2

в) $|-20| - |-6|$

Вычисляем модуль каждого из чисел.

Модуль числа -20 равен 20: $|-20| = 20$.

Модуль числа -6 равен 6: $|-6| = 6$.

Теперь выполняем вычитание:

$20 - 6 = 14$.

Ответ: 14

г) $|-17| - |-8|$

Находим абсолютные величины чисел.

Модуль числа -17 равен 17: $|-17| = 17$.

Модуль числа -8 равен 8: $|-8| = 8$.

Вычитаем второе значение из первого:

$17 - 8 = 9$.

Ответ: 9

224. а) $|-7| + |+5| + |+8| + |-10|;$

б) $|+12| + |-2| - |+10| + |-9|;$

в) $|+18| + |-2| - |-5| - |-15|;$

г) $|-10| + |-2| - |-8| + |-5|.$

а) Модуль числа (абсолютная величина) — это само число, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если оно отрицательное. Проще говоря, модуль убирает знак минус. Вычислим модули для каждого числа в выражении: $|-7| = 7$, $|+5| = 5$, $|+8| = 8$, $|-10| = 10$. Теперь подставим эти значения в исходное выражение и выполним сложение:
$|-7| + |+5| + |+8| + |-10| = 7 + 5 + 8 + 10 = 30$.
Ответ: 30

б) Сначала найдем значения модулей: $|+12| = 12$, $|-2| = 2$, $|+10| = 10$, $|-9| = 9$. Затем подставим их в выражение и выполним действия в порядке их следования:
$|+12| + |-2| - |+10| + |-9| = 12 + 2 - 10 + 9 = 14 - 10 + 9 = 4 + 9 = 13$.
Ответ: 13

в) Вычислим модули для каждого числа: $|+18| = 18$, $|-2| = 2$, $|-5| = 5$, $|-15| = 15$. Подставим полученные значения в выражение и посчитаем результат:
$|+18| + |-2| - |-5| - |-15| = 18 + 2 - 5 - 15 = 20 - 5 - 15 = 15 - 15 = 0$.
Ответ: 0

г) Определим модули чисел: $|-10| = 10$, $|-2| = 2$, $|-8| = 8$, $|-5| = 5$. Подставим эти значения в выражение и решим его, выполняя действия по порядку:
$|-10| + |-2| - |-8| + |-5| = 10 + 2 - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 4 + 5 = 9$.
Ответ: 9

225. Назовите число, модуль которого равен:

а) $ +5 $;

б) $ +8 $;

в) $ +1 $;

г) $ 0 $.

Сколько таких чисел можно назвать?

Модулем (или абсолютной величиной) числа $x$ называется расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Обозначается как $|x|$.

Исходя из определения, можно сформулировать правила:

• Модуль положительного числа равен самому этому числу, например, $|+5| = 5$.
• Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, например, $|-5| = 5$.
• Модуль нуля равен нулю: $|0| = 0$.

Таким образом, для любого положительного числа $a$ существует два числа, модуль которых равен $a$: это само число $a$ и противоположное ему число $-a$. Для нуля существует только одно такое число — это сам ноль.

а)

Найдём числа, модуль которых равен +5. Это означает, что нужно решить уравнение $|x| = 5$. Согласно правилу, такими числами являются 5 и -5. Следовательно, можно назвать два таких числа.

Ответ: 5 и -5; можно назвать два числа.

б)

Найдём числа, модуль которых равен +8. Это означает, что нужно решить уравнение $|x| = 8$. Такими числами являются 8 и -8. Следовательно, можно назвать два таких числа.

Ответ: 8 и -8; можно назвать два числа.

в)

Найдём числа, модуль которых равен +1. Это означает, что нужно решить уравнение $|x| = 1$. Такими числами являются 1 и -1. Следовательно, можно назвать два таких числа.

Ответ: 1 и -1; можно назвать два числа.

г)

Найдём число, модуль которого равен 0. Это означает, что нужно решить уравнение $|x| = 0$. Существует только одно такое число — это 0. Следовательно, можно назвать одно такое число.

Ответ: 0; можно назвать одно число.

226. Если целое число обозначено буквой $a$, то противоположное ему число обозначают $-a$. Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, нужно найти для каждого числа $a$ противоположное ему число $-a$, и наоборот. Противоположным для числа $x$ является число $-x$. Важно помнить, что $-(-x) = x$.

Для первого столбца ($a=5$)

Если $a = 5$, то противоположное ему число $-a$ вычисляется как $-(5) = -5$.
Ответ: -5.

Для второго столбца ($a=-3$)

Если $a = -3$, то противоположное ему число $-a$ вычисляется как $-(-3) = 3$.
Ответ: 3.

Для третьего столбца ($-a=-2$)

Если $-a = -2$, то чтобы найти $a$, нужно взять число, противоположное $-2$. То есть, $a = -(-2) = 2$.
Ответ: 2.

Для четвертого столбца ($-a=6$)

Если $-a = 6$, то чтобы найти $a$, нужно взять число, противоположное $6$. То есть, $a = -(6) = -6$.
Ответ: -6.

Для пятого столбца ($a=7$)

Если $a = 7$, то противоположное ему число $-a$ вычисляется как $-(7) = -7$.
Ответ: -7.

Для шестого столбца ($-a=-8$)

Если $-a = -8$, то чтобы найти $a$, нужно взять число, противоположное $-8$. То есть, $a = -(-8) = 8$.
Ответ: 8.

Для седьмого столбца ($a=-9$)

Если $a = -9$, то противоположное ему число $-a$ вычисляется как $-(-9) = 9$.
Ответ: 9.

Итоговая заполненная таблица: