Номер 230, страница 50 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

2.2. Противоположные числа. Модуль числа. Глава 2. Целые числа - номер 230, страница 50.

Условие.

230. Верно ли, что $|-a|=|a|$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Да, данное утверждение верно. Равенство $|-a| = |a|$ справедливо для любого действительного числа $a$. Это одно из основных свойств модуля. Чтобы убедиться в этом, можно рассмотреть его с двух точек зрения: геометрической и алгебраической.

Геометрический смысл:
Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (точки 0). Числа $a$ и $-a$ являются противоположными. Они расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но в разных направлениях (если $a \neq 0$). Поскольку расстояние всегда является неотрицательной величиной, модули противоположных чисел равны.

Алгебраическое доказательство:
По определению, модуль числа $x$ равен:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Рассмотрим все возможные случаи для переменной $a$.

1. Если $a$ — положительное число ($a > 0$)
В этом случае $-a$ является отрицательным числом.
Вычисляем левую и правую части равенства:

• $|-a| = -(-a) = a$ (так как $-a < 0$, модуль равен противоположному числу).
• $|a| = a$ (так как $a > 0$, модуль равен самому числу).

Обе части равны $a$, значит, равенство $|-a| = |a|$ верно.

2. Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$)
В этом случае $-a$ является положительным числом.
Вычисляем левую и правую части равенства:

• $|-a| = -a$ (так как $-a > 0$, модуль равен самому числу).
• $|a| = -a$ (так как $a < 0$, модуль равен противоположному числу).

Обе части равны $-a$ (положительному числу), значит, равенство $|-a| = |a|$ верно.

3. Если $a$ равно нулю ($a = 0$)
В этом случае $-a = 0$.
Вычисляем левую и правую части равенства:

• $|-a| = |-0| = 0$.
• $|a| = |0| = 0$.

Обе части равны 0, значит, равенство $|-a| = |a|$ верно.

Так как равенство выполняется для положительных, отрицательных значений $a$ и для нуля, оно верно для любого действительного числа $a$.

Ответ: Да, верно.