Страница 50 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

227. Всегда ли модуль числа равен самому числу, т. е. $|a|=a$? Для каких чисел это равенство верно?

Всегда ли модуль числа равен самому числу, т. е. $|a| = a$?

Нет, модуль числа не всегда равен самому числу. Чтобы понять почему, обратимся к определению модуля (абсолютной величины) числа.

Модуль числа $a$, обозначаемый как $|a|$, определяется следующим образом:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Из этого определения видно, что равенство $|a| = a$ выполняется только для неотрицательных чисел. Если же число $a$ отрицательное, его модуль будет равен противоположному ему числу, которое является положительным.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть $a = -5$.

Согласно определению, так как $-5 < 0$, модуль этого числа будет равен $|-5| = -(-5) = 5$.

Сравнивая результат с исходным числом, мы видим, что $5 \neq -5$. Следовательно, для отрицательных чисел равенство $|a| = a$ неверно.

Ответ: Нет, не всегда.

Для каких чисел это равенство верно?

Равенство $|a| = a$ является верным для всех неотрицательных чисел. Это следует непосредственно из определения модуля.

Рассмотрим две группы чисел, составляющих множество неотрицательных чисел:

1. Положительные числа ($a > 0$). Например, если $a = 12$, то $|12| = 12$. Равенство выполняется.

2. Число нуль ($a = 0$). Если $a = 0$, то $|0| = 0$. Равенство также выполняется.

Таким образом, равенство $|a| = a$ справедливо для любого числа $a$, которое больше или равно нулю. Это можно записать в виде неравенства: $a \ge 0$. Геометрически это соответствует всем точкам на числовой прямой, которые находятся в нуле или правее него.

Ответ: Равенство $|a| = a$ верно для всех неотрицательных чисел, то есть для всех $a$, удовлетворяющих условию $a \ge 0$.

228. Всегда ли модуль числа равен противоположному числу, т. е. $ |a| = -a $? Для каких чисел это верно?

Всегда ли модуль числа равен противоположному числу, т. е. $|a|=-a$?
Нет, это утверждение верно не всегда. Модуль числа по определению — это величина неотрицательная, то есть $|a| \ge 0$ для любого числа $a$. Число $-a$ может быть как положительным (если $a$ отрицательное), так и отрицательным (если $a$ положительное).
Рассмотрим в качестве примера положительное число, например $a=5$.
Его модуль $|5| = 5$.
Противоположное ему число $-a = -5$.
В данном случае $5 \ne -5$, следовательно, равенство $|a|=-a$ не выполняется.
Ответ: Нет, не всегда.

Для каких чисел это верно?
Равенство $|a|=-a$ верно для всех неположительных чисел, то есть для отрицательных чисел и нуля ($a \le 0$).
Разобьем решение на два случая на основе определения модуля:
1. Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то по определению его модуль равен противоположному числу: $|a|=-a$. В этом случае равенство выполняется. Например, если $a=-10$, то $|-10|=10$ и $-a=-(-10)=10$. Равенство $10=10$ верно.
2. Если $a=0$, то $|0|=0$ и $-a=-0=0$. Равенство $0=0$ также верно.
Если же $a$ — положительное число ($a>0$), то $|a|=a$. Равенство $|a|=-a$ превращается в $a=-a$, что верно только при $a=0$. Но мы рассматриваем случай $a>0$, поэтому для положительных чисел равенство неверно.
Объединяя случаи 1 и 2, получаем, что равенство $|a|=-a$ верно для всех $a \le 0$.
Ответ: Равенство верно для всех отрицательных чисел и числа 0 (для всех неположительных чисел $a \le 0$).

229. Для какого числа выполняются оба условия: $|a| = a$ и $|a| = -a$?

Данная задача требует найти число $a$, для которого одновременно выполняются два условия: $|a| = a$ и $|a| = -a$.

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Условие $|a| = a$.

По определению, модуль (абсолютная величина) числа $a$ равен самому числу $a$, если $a$ — неотрицательное число (то есть больше или равно нулю). Таким образом, это условие выполняется для всех $a \ge 0$.

2. Условие $|a| = -a$.

По определению, модуль числа $a$ равен противоположному числу $-a$, если $a$ — неположительное число (то есть меньше или равно нулю). Таким образом, это условие выполняется для всех $a \le 0$.

Чтобы оба условия выполнялись одновременно, число $a$ должно удовлетворять и первому, и второму выводу. То есть, для числа $a$ должны одновременно выполняться два неравенства:

$a \ge 0$ и $a \le 0$.

Единственное число, которое одновременно больше или равно нулю и меньше или равно нулю, — это ноль.

Проверим, подставив $a=0$ в исходные условия:

• $|0| = 0$ — первое условие верно.
• $|0| = -0$ — второе условие тоже верно, так как $-0 = 0$.

Таким образом, единственное число, для которого выполняются оба условия, это 0.

Ответ: 0.

230. Верно ли, что $|-a|=|a|$?

Да, данное утверждение верно. Равенство $|-a| = |a|$ справедливо для любого действительного числа $a$. Это одно из основных свойств модуля. Чтобы убедиться в этом, можно рассмотреть его с двух точек зрения: геометрической и алгебраической.

Геометрический смысл:
Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (точки 0). Числа $a$ и $-a$ являются противоположными. Они расположены на одинаковом расстоянии от нуля, но в разных направлениях (если $a \neq 0$). Поскольку расстояние всегда является неотрицательной величиной, модули противоположных чисел равны.

Алгебраическое доказательство:
По определению, модуль числа $x$ равен:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
Рассмотрим все возможные случаи для переменной $a$.

1. Если $a$ — положительное число ($a > 0$)
В этом случае $-a$ является отрицательным числом.
Вычисляем левую и правую части равенства:

• $|-a| = -(-a) = a$ (так как $-a < 0$, модуль равен противоположному числу).
• $|a| = a$ (так как $a > 0$, модуль равен самому числу).

Обе части равны $a$, значит, равенство $|-a| = |a|$ верно.

2. Если $a$ — отрицательное число ($a < 0$)
В этом случае $-a$ является положительным числом.
Вычисляем левую и правую части равенства:

• $|-a| = -a$ (так как $-a > 0$, модуль равен самому числу).
• $|a| = -a$ (так как $a < 0$, модуль равен противоположному числу).

Обе части равны $-a$ (положительному числу), значит, равенство $|-a| = |a|$ верно.

3. Если $a$ равно нулю ($a = 0$)
В этом случае $-a = 0$.
Вычисляем левую и правую части равенства:

• $|-a| = |-0| = 0$.
• $|a| = |0| = 0$.

Обе части равны 0, значит, равенство $|-a| = |a|$ верно.

Так как равенство выполняется для положительных, отрицательных значений $a$ и для нуля, оно верно для любого действительного числа $a$.

Ответ: Да, верно.

231. Маша по ошибке считает, что $(-a)$ — это запись отрицательного числа. Назовите такое число $a$, чтобы число $(-a)$ было:

а) положительным;

б) отрицательным;

в) нулём.

Маша не права, так как выражение $(-a)$ означает число, противоположное числу $a$. Знак этого выражения зависит от знака самого числа $a$.

а) положительным;

Чтобы число $(-a)$ было положительным, т.е. $(-a) > 0$, необходимо, чтобы само число $a$ было отрицательным ($a < 0$). Минус на минус дает плюс.
Например, если выбрать $a = -10$, то мы получим:
$(-a) = -(-10) = 10$
Число $10$ является положительным.
Ответ: $a$ - любое отрицательное число, например, $a = -10$.

б) отрицательным;

Чтобы число $(-a)$ было отрицательным, т.е. $(-a) < 0$, необходимо, чтобы само число $a$ было положительным ($a > 0$). В этом случае предположение Маши верно.
Например, если выбрать $a = 5$, то мы получим:
$(-a) = -(5) = -5$
Число $-5$ является отрицательным.
Ответ: $a$ - любое положительное число, например, $a = 5$.

в) нулём.

Чтобы число $(-a)$ было нулём, т.е. $(-a) = 0$, необходимо, чтобы само число $a$ было равно нулю. Ноль - единственное число, противоположное самому себе.
Если $a = 0$, то мы получим:
$(-a) = -(0) = 0$
Ответ: $a = 0$.