Страница 51 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

232. Сравните натуральные числа:

а) 425 и 452;

б) 999 и 1000;

в) 579 и 957;

г) 12 456 и 12 459;

д) 1300 и 1297;

е) 13 547 и 1354.

Для сравнения натуральных чисел используется несколько правил:

1. Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше разрядов (цифр).
2. Если у чисел одинаковое количество разрядов, то их сравнивают поразрядно, слева направо. Большим будет то число, у которого первая из неодинаковых цифр больше.

а) 425 и 452

Оба числа, 425 и 452, являются трехзначными, то есть имеют одинаковое количество разрядов. Сравниваем их поразрядно слева направо.
Цифра в разряде сотен у обоих чисел одинакова: 4.
Сравниваем цифры в разряде десятков: у числа 425 это 2, а у числа 452 это 5.
Поскольку $2 < 5$, то и число 425 меньше числа 452.
Ответ: $425 < 452$.

б) 999 и 1000

Число 999 является трехзначным (состоит из 3 цифр).
Число 1000 является четырехзначным (состоит из 4 цифр).
Число, у которого больше разрядов, является большим.
Следовательно, 999 меньше 1000.
Ответ: $999 < 1000$.

в) 579 и 957

Оба числа, 579 и 957, являются трехзначными. Сравниваем их поразрядно слева направо.
Сравниваем цифры в старшем разряде (сотен): у числа 579 это 5, а у числа 957 это 9.
Поскольку $5 < 9$, то число 579 меньше числа 957.
Ответ: $579 < 957$.

г) 12 456 и 12 459

Оба числа, 12 456 и 12 459, являются пятизначными. Сравниваем их поразрядно слева направо.
Цифры в разрядах десятков тысяч, тысяч, сотен и десятков у этих чисел совпадают (1, 2, 4, 5).
Сравниваем цифры в разряде единиц: у числа 12 456 это 6, а у числа 12 459 это 9.
Поскольку $6 < 9$, то число 12 456 меньше числа 12 459.
Ответ: $12 456 < 12 459$.

д) 1300 и 1297

Оба числа, 1300 и 1297, являются четырехзначными. Сравниваем их поразрядно слева направо.
Цифра в разряде тысяч у обоих чисел одинакова: 1.
Сравниваем цифры в разряде сотен: у числа 1300 это 3, а у числа 1297 это 2.
Поскольку $3 > 2$, то число 1300 больше числа 1297.
Ответ: $1300 > 1297$.

е) 13 547 и 1354

Число 13 547 является пятизначным (состоит из 5 цифр).
Число 1354 является четырехзначным (состоит из 4 цифр).
Число, у которого больше разрядов, является большим.
Следовательно, 13 547 больше 1354.
Ответ: $13 547 > 1354$.

233. Как сравнивают целые числа?

Целые числа — это натуральные числа (например, 1, 2, 3, ...), противоположные им числа (например, -1, -2, -3, ...) и ноль. Сравнение целых чисел основано на их расположении на числовой прямой.

Чтобы сравнить два целых числа, можно представить их на числовой прямой. Числовая прямая — это прямая, на которой выбрано начало отсчета (точка 0), положительное направление (обычно вправо) и единичный отрезок.

Из двух целых чисел большим считается то, которое на числовой прямой расположено правее, а меньшим — то, которое расположено левее.

Пример: Число 3 находится правее числа -4, следовательно, $3 > -4$. Число -5 находится левее числа -2, следовательно, $-5 < -2$.

Ответ: Большим из двух целых чисел является то, которое на числовой прямой находится правее.

Исходя из общего правила, можно сформулировать несколько простых следствий:

• Любое положительное число больше нуля. Например, $5 > 0$.
• Любое отрицательное число меньше нуля. Например, $-10 < 0$.
• Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Это логично, так как все положительные числа на числовой прямой находятся правее нуля, а все отрицательные — левее. Например, $1 > -1000$.

Ответ: Положительное число всегда больше нуля и любого отрицательного числа, а отрицательное число всегда меньше нуля.

Два положительных целых числа сравниваются так же, как и натуральные числа. Большим является то число, у которого модуль (абсолютная величина) больше.

Пример: Сравним 25 и 8. Модули этих чисел равны самим числам: $|25| = 25$ и $|8| = 8$. Поскольку $25 > 8$, то и $25 > 8$.

Ответ: Из двух положительных чисел больше то, у которого больше модуль.

При сравнении двух отрицательных чисел большим является то, у которого модуль (абсолютная величина) меньше. На числовой прямой это число расположено ближе к нулю, то есть правее.

Пример: Сравним -15 и -4. Найдем их модули: $|-15| = 15$ и $|-4| = 4$. Поскольку модуль числа -4 меньше модуля числа -15 ($4 < 15$), то число -4 больше числа -15. Запись: $-4 > -15$.

Ответ: Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

234. Какие числа:

а) больше нуля;

б) меньше нуля?

а) больше нуля

Числа, которые больше нуля, называются положительными числами. Это такие числа $x$, для которых выполняется неравенство $x > 0$. На координатной прямой они располагаются справа от нуля. Положительные числа могут быть целыми ($1, 2, 100$), дробными ($0,5; 1/3; 2,75$) или иррациональными ($\sqrt{2}, \pi$). Знак «+» перед положительными числами обычно не ставится.

Ответ: Положительные числа.

б) меньше нуля

Числа, которые меньше нуля, называются отрицательными числами. Это такие числа $x$, для которых выполняется неравенство $x < 0$. На координатной прямой они располагаются слева от нуля. Отрицательные числа всегда записываются со знаком «−» (минус) перед ними. Отрицательные числа, так же как и положительные, могут быть целыми ($-1, -2, -100$), дробными ($-0,5; -1/3; -2,75$) или иррациональными ($-\sqrt{2}, -\pi$).

Ответ: Отрицательные числа.

235. Какое число больше: положительное или отрицательное?

Чтобы определить, какое число больше — положительное или отрицательное, — можно обратиться к определению этих чисел и их расположению на числовой прямой.

Положительные числа — это все числа, которые больше нуля. На числовой прямой они находятся справа от точки 0.

Отрицательные числа — это все числа, которые меньше нуля. На числовой прямой они находятся слева от точки 0.

Основное правило сравнения чисел гласит: из двух чисел больше то, которое на числовой прямой расположено правее. Поскольку любая точка, соответствующая положительному числу, находится правее любой точки, соответствующей отрицательному числу, то любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Например, сравним числа 1 и -100. Число 1 является положительным, а -100 — отрицательным. На числовой прямой точка 1 расположена значительно правее точки -100, следовательно, $1 > -100$.

Математически это можно доказать следующим образом. Пусть $a$ — любое положительное число, а $b$ — любое отрицательное число. По определению, это означает, что $a > 0$ и $b < 0$. Объединив эти два неравенства, получаем цепочку: $b < 0 < a$. По свойству транзитивности неравенств из $b < 0$ и $0 < a$ следует, что $b < a$, то есть $a > b$.

Ответ: Положительное число.

236. Сформулируйте правило сравнения:

а) целого числа с нулём;

б) положительного числа с отрицательным;

в) отрицательного числа с отрицательным.

а) целого числа с нулём

Правило сравнения целого числа с нулём можно сформулировать так:
1. Любое положительное целое число (число со знаком «+» или без знака) всегда больше нуля. Например, $5 > 0$, $128 > 0$.
2. Любое отрицательное целое число (число со знаком «–») всегда меньше нуля. Например, $-1 < 0$, $-99 < 0$.
3. Число нуль не является ни положительным, ни отрицательным. Оно равно самому себе: $0 = 0$.

Ответ: Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.

б) положительного числа с отрицательным

Правило сравнения положительного и отрицательного чисел очень простое: любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Это легко представить на координатной прямой: все положительные числа находятся справа от нуля, а все отрицательные – слева. Любое число, расположенное правее, всегда больше числа, расположенного левее.
Например, $1 > -1000$; $50 > -1$.

Ответ: Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

в) отрицательного числа с отрицательным

Чтобы сравнить два отрицательных числа, необходимо сравнить их модули (абсолютные величины). Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
На координатной прямой это означает, что большее отрицательное число находится ближе к нулю (правее).
Например, сравним числа $-15$ и $-8$.
Найдем их модули: $|-15| = 15$ и $|-8| = 8$.
Поскольку модуль числа $-8$ меньше модуля числа $-15$ ($8 < 15$), то число $-8$ больше числа $-15$. Записываем это так: $-8 > -15$.

Ответ: Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

237. Существует ли:

а) наибольшее натуральное число;

б) наименьшее натуральное число;

в) наибольшее отрицательное целое число;

г) наименьшее отрицательное целое число;

д) наибольшее целое число;

е) наименьшее целое число?

а) наибольшее натуральное число;

Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$ является бесконечным. Для любого, сколь угодно большого, натурального числа $n$ всегда можно указать число, которое будет еще больше, например, $n+1$. Если бы наибольшее натуральное число существовало, назовем его $M$, то $M+1$ было бы больше $M$ и при этом также являлось бы натуральным числом. Это приводит к противоречию. Следовательно, наибольшего натурального числа не существует.
Ответ: не существует.

б) наименьшее натуральное число;

Множество натуральных чисел, используемых для счета, начинается с числа 1. Это число является натуральным, и любое другое натуральное число больше него. Таким образом, 1 — это наименьший элемент в множестве натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.
Ответ: да, существует, это число 1.

в) наибольшее отрицательное целое число;

Множество целых чисел — это $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Отрицательные целые числа — это $\{..., -3, -2, -1\}$. На числовой прямой большее число находится правее. Из всех отрицательных целых чисел число -1 расположено правее всех, то есть ближе всего к нулю. Любое другое отрицательное целое число (например, -2, -3, -100) будет меньше, чем -1, так как находится левее на числовой прямой. Значит, -1 является наибольшим отрицательным целым числом.
Ответ: да, существует, это число -1.

г) наименьшее отрицательное целое число;

Множество отрицательных целых чисел $\{..., -3, -2, -1\}$ бесконечно в сторону отрицательных значений. Для любого отрицательного целого числа $k$ всегда можно найти число, которое будет меньше него, например, $k-1$. Если бы наименьшее отрицательное целое число существовало, назовем его $S$, то число $S-1$ было бы еще меньше и при этом являлось бы отрицательным целым. Это противоречие доказывает, что наименьшего отрицательного целого числа не существует.
Ответ: не существует.

д) наибольшее целое число;

Множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ бесконечно как в положительную, так и в отрицательную сторону. По той же причине, что и для натуральных чисел, для любого целого числа $n$ всегда найдется большее целое число, например, $n+1$. Следовательно, наибольшего целого числа не существует.
Ответ: не существует.

е) наименьшее целое число?

Множество целых чисел $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ бесконечно в сторону уменьшения. По той же причине, что и для отрицательных целых чисел, для любого целого числа $n$ всегда найдется меньшее целое число, например, $n-1$. Следовательно, наименьшего целого числа не существует.
Ответ: не существует.

Сравните числа (238–240):

238. а) $5$ и $0$;

б) $-5$ и $0$;

в) $7$ и $0$;

г) $-7$ и $0$;

д) $8$ и $-7$;

е) $-3$ и $100$.

а) 5 и 0

Чтобы сравнить числа 5 и 0, нужно определить, какое из них больше. Число 5 является положительным, а 0 — это число, разделяющее положительные и отрицательные числа. Любое положительное число больше нуля. Следовательно, 5 больше 0.
Ответ: $5 > 0$

б) -5 и 0

Чтобы сравнить числа -5 и 0, нужно определить, какое из них больше. Число -5 является отрицательным. Любое отрицательное число меньше нуля. Следовательно, -5 меньше 0.
Ответ: $-5 < 0$

в) 7 и 0

Сравниваем числа 7 и 0. Число 7 — положительное. Любое положительное число больше нуля. Таким образом, 7 больше 0.
Ответ: $7 > 0$

г) -7 и 0

Сравниваем числа -7 и 0. Число -7 — отрицательное. Любое отрицательное число меньше нуля. Таким образом, -7 меньше 0.
Ответ: $-7 < 0$

д) 8 и -7

Сравниваем числа 8 и -7. Число 8 является положительным, а число -7 — отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, 8 больше -7.
Ответ: $8 > -7$

е) -3 и 100

Сравниваем числа -3 и 100. Число -3 является отрицательным, а число 100 — положительным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, -3 меньше 100.
Ответ: $-3 < 100$

239. а) $-9$ и $-6$;

б) $-3$ и $-20$;

в) $-7$ и $-15$;

г) $-25$ и $-1$;

д) $-20$ и $0$;

е) $0$ и $-40$;

ж) $-8$ и $13$;

з) $128$ и $-300$;

и) $-5$ и $-6$.

а) Чтобы найти сумму двух отрицательных чисел, -9 и -6, необходимо сложить их абсолютные величины (модули) и поставить перед полученным числом знак минус.

Вычисление: $ -9 + (-6) = -(9 + 6) = -15 $.

Ответ: -15

б) Складываем два отрицательных числа, -3 и -20. Складываем их модули и ставим знак минус.

Вычисление: $ -3 + (-20) = -(3 + 20) = -23 $.

Ответ: -23

в) Находим сумму двух отрицательных чисел: -7 и -15.

Вычисление: $ -7 + (-15) = -(7 + 15) = -22 $.

Ответ: -22

г) Складываем два отрицательных числа: -25 и -1.

Вычисление: $ -25 + (-1) = -(25 + 1) = -26 $.

Ответ: -26

д) Находим сумму чисел -20 и 0. Прибавление нуля не изменяет исходное число.

Вычисление: $ -20 + 0 = -20 $.

Ответ: -20

е) Находим сумму чисел 0 и -40. Добавление нуля не меняет число.

Вычисление: $ 0 + (-40) = -40 $.

Ответ: -40

ж) Чтобы сложить числа с разными знаками, -8 и 13, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.

Сравниваем модули: $ |13| = 13 $ и $ |-8| = 8 $. Так как $ 13 > 8 $, результат будет положительным.

Вычисление: $ -8 + 13 = 13 - 8 = 5 $.

Ответ: 5

з) Складываем числа с разными знаками: 128 и -300.

Сравниваем модули: $ |-300| = 300 $ и $ |128| = 128 $. Так как $ 300 > 128 $, результат будет отрицательным.

Вычисление: $ 128 + (-300) = -(300 - 128) = -172 $.

Ответ: -172

и) Находим сумму двух отрицательных чисел: -5 и -6.

Вычисление: $ -5 + (-6) = -(5 + 6) = -11 $.

Ответ: -11

240. а) 728 и 800;

б) -296 и 1;

в) -999 и 2;

г) 0 и -500;

д) 725 и 0;

е) -600 и -5;

ж) -856 и -100;

з) -51 и -510;

и) 326 и 32.

а) Чтобы сравнить два положительных числа 728 и 800, нужно сравнить их значения. Так как 728 меньше, чем 800, то 728 находится левее 800 на числовой прямой. Ответ: $728 < 800$.

б) При сравнении отрицательного числа -296 и положительного числа 1, нужно помнить, что любое положительное число всегда больше любого отрицательного. Ответ: $-296 < 1$.

в) Сравниваем отрицательное число -999 и положительное число 2. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому 2 больше, чем -999. Ответ: $-999 < 2$.

г) При сравнении нуля и отрицательного числа -500, следует помнить, что ноль всегда больше любого отрицательного числа. На числовой прямой 0 находится правее -500. Ответ: $0 > -500$.

д) Сравниваем положительное число 725 и ноль. Любое положительное число всегда больше нуля. На числовой прямой 725 находится правее 0. Ответ: $725 > 0$.

е) Чтобы сравнить два отрицательных числа -600 и -5, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Модуль числа -600 равен $|-600| = 600$. Модуль числа -5 равен $|-5| = 5$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $5 < 600$, то $-5 > -600$. Ответ: $-600 < -5$.

ж) Сравниваем два отрицательных числа -856 и -100. Находим их модули: $|-856| = 856$ и $|-100| = 100$. Так как $100 < 856$, то число с меньшим модулем ($-100$) будет больше. Ответ: $-856 < -100$.

з) Сравниваем два отрицательных числа -51 и -510. Находим их модули: $|-51| = 51$ и $|-510| = 510$. Так как $51 < 510$, то число с меньшим модулем ($-51$) будет больше. Ответ: $-51 > -510$.

и) Чтобы сравнить два положительных числа 326 и 32, нужно сравнить их значения. Так как 326 больше, чем 32, то 326 находится правее 32 на числовой прямой. Ответ: $326 > 32$.

241. Запишите числа в порядке возрастания:

а) 400, -400, 0, 236, -528;

б) 752, 0, -35, -257, 432.

а) Чтобы записать числа 400, -400, 0, 236, -528 в порядке возрастания, то есть от наименьшего к наибольшему, необходимо их сравнить.

1. Все отрицательные числа меньше нуля, а все положительные числа больше нуля. Поэтому сначала расположим отрицательные числа, затем ноль, а после него — положительные.

2. Сравним отрицательные числа: -400 и -528. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. $|-528| = 528$, а $|-400| = 400$. Так как $528 > 400$, то $-528 < -400$.

3. Сравним положительные числа: 400 и 236. Здесь $236 < 400$.

4. Теперь объединим все числа в одну последовательность по возрастанию: -528, -400, 0, 236, 400.

Ответ: -528, -400, 0, 236, 400.

б) Чтобы записать числа 752, 0, -35, -257, 432 в порядке возрастания, выполним аналогичные действия.

1. Выделим группы чисел: отрицательные (-35, -257), ноль (0) и положительные (752, 432).

2. Сравним отрицательные числа: -35 и -257. Модуль числа -257 равен $|-257| = 257$, а модуль числа -35 равен $|-35| = 35$. Так как $257 > 35$, то $-257 < -35$.

3. Сравним положительные числа: 752 и 432. Здесь $432 < 752$.

4. Расположим все числа в порядке возрастания: -257, -35, 0, 432, 752.

Ответ: -257, -35, 0, 432, 752.

242. Запишите числа в порядке убывания:

а) $-250, 367, 0, -8, 12, -400;$

б) $-790, 790, 0, -9, -12, 425.$

Чтобы записать числа в порядке убывания, необходимо расположить их от самого большого к самому маленькому. Положительные числа всегда больше нуля, а ноль больше любого отрицательного числа. Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль (абсолютная величина) меньше.

а) В наборе чисел $-250, 367, 0, -8, 12, -400$ определим порядок.
1. Самые большие числа — положительные. Расположим их по убыванию: $367, 12$.
2. Следующим числом будет $0$.
3. Оставшиеся числа — отрицательные: $-8, -250, -400$. Сравним их модули: $|-8| = 8$, $|-250| = 250$, $|-400| = 400$. Чем меньше модуль, тем больше отрицательное число. Таким образом, в порядке убывания они располагаются так: $-8, -250, -400$.
4. Соединив все части, получаем итоговый ряд.
Ответ: $367, 12, 0, -8, -250, -400$.

б) В наборе чисел $-790, 790, 0, -9, -12, 425$ определим порядок.
1. Самые большие числа — положительные. Расположим их по убыванию: $790, 425$.
2. Следующим числом будет $0$.
3. Оставшиеся числа — отрицательные: $-9, -12, -790$. Сравним их модули: $|-9| = 9$, $|-12| = 12$, $|-790| = 790$. В порядке убывания они располагаются так: $-9, -12, -790$.
4. Соединив все части, получаем итоговый ряд.
Ответ: $790, 425, 0, -9, -12, -790$.

243. Найдите разность:

а) $|+5| - |-5|;$

б) $|-5| - |+5|;$

в) $|+3| - |-3|;$

г) $|-3| - |+3|.$

а)

Чтобы найти разность $|+5| - |-5|$, сначала определим значение каждого модуля. Модуль (абсолютная величина) числа — это его значение без знака. Модуль положительного числа $+5$ равен самому числу: $|+5| = 5$. Модуль отрицательного числа $-5$ равен противоположному ему положительному числу: $|-5| = 5$. Теперь выполним вычитание: $5 - 5 = 0$.

Ответ: 0

б)

Чтобы найти разность $|-5| - |+5|$, определим значение каждого модуля. Модуль числа $-5$ равен $5$: $|-5| = 5$. Модуль числа $+5$ равен $5$: $|+5| = 5$. Теперь выполним вычитание: $5 - 5 = 0$.

Ответ: 0

в)

Чтобы найти разность $|+3| - |-3|$, определим значение каждого модуля. Модуль числа $+3$ равен $3$: $|+3| = 3$. Модуль числа $-3$ равен $3$: $|-3| = 3$. Теперь выполним вычитание: $3 - 3 = 0$.

Ответ: 0

г)

Чтобы найти разность $|-3| - |+3|$, определим значение каждого модуля. Модуль числа $-3$ равен $3$: $|-3| = 3$. Модуль числа $+3$ равен $3$: $|+3| = 3$. Теперь выполним вычитание: $3 - 3 = 0$.

Ответ: 0

244. Верно ли утверждение: если $a > b$, то $|a| > |b|$?

Нет, данное утверждение неверно.

Утверждение "если $a > b$, то $|a| > |b|$" не всегда является истинным. Чтобы доказать, что общее утверждение ложно, достаточно привести хотя бы один пример (контрпример), для которого условие ($a > b$) выполняется, а заключение ($|a| > |b|$) — нет.

Рассмотрим следующий контрпример:

Пусть $a = 2$ и $b = -3$.

1. Сначала проверим выполнение условия $a > b$.

$2 > -3$. Это неравенство верное, поскольку любое положительное число больше любого отрицательного числа.

2. Теперь проверим, выполняется ли для этих чисел заключение $|a| > |b|$.

$|2| > |-3|$

Модуль числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой, поэтому $|2| = 2$ и $|-3| = 3$.

Подставим значения модулей в неравенство:

$2 > 3$. Это неравенство является ложным.

Мы нашли пример, в котором условие $a > b$ выполнено, а заключение $|a| > |b|$ — нет. Это доказывает, что исходное утверждение является неверным в общем случае.

Ответ: утверждение неверно.

245. Верно ли утверждение: если $a > b$, то $|a| < |b|$?

Нет, данное утверждение неверно. Чтобы математическое утверждение считалось верным, оно должно выполняться для всех без исключения случаев, удовлетворяющих его условию. Если можно найти хотя бы один пример (контрпример), для которого условие выполняется, а заключение — нет, то всё утверждение считается ложным.

Рассмотрим утверждение: если $a > b$, то $|a| < |b|$.

Для опровержения этого утверждения достаточно найти один контрпример.

Пример 1: Положительные числа
Пусть $a = 5$ и $b = 2$.
Проверим условие: $a > b$. Неравенство $5 > 2$ является верным.
Теперь проверим заключение: $|a| < |b|$.
$|5| < |2|$, что равносильно $5 < 2$. Это неравенство ложно.
Поскольку мы нашли случай, когда условие выполняется, а заключение — нет, исходное утверждение неверно.

Когда утверждение может быть верным?
Утверждение будет верным лишь в некоторых частных случаях. Например, если оба числа отрицательные.
Пусть $a = -3$ и $b = -8$.
Условие $a > b$ выполняется, так как $-3 > -8$.
Заключение $|a| < |b|$ также выполняется, так как $|-3| < |-8|$, что равносильно $3 < 8$.
Однако наличие частных случаев, в которых утверждение верно, не делает его верным в общем виде.

Ответ: нет, утверждение неверно.

246. Может ли быть так, чтобы $a \ne b$, но $|a| = |b|$? Приведите примеры. Как называют такие числа $a$ и $b$?

Да, может. Такая ситуация возникает, когда числа $a$ и $b$ являются противоположными. Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Два разных числа могут находиться на одинаковом расстоянии от нуля, только если они расположены по разные стороны от него, то есть одно число положительное, а другое — такое же по величине, но отрицательное.

Приведите примеры.

• Пусть $a = 8$ и $b = -8$. Очевидно, что $a \ne b$. При этом их модули равны: $|a| = |8| = 8$ и $|b| = |-8| = 8$.
• Пусть $a = -2.5$ и $b = 2.5$. Здесь также $a \ne b$, но $|a| = |-2.5| = 2.5$ и $|b| = |2.5| = 2.5$.
• Пусть $a = \frac{1}{3}$ и $b = -\frac{1}{3}$. Числа не равны, но их модули равны: $|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$ и $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$.

Как называют такие числа $a$ и $b$?

Два числа, которые отличаются друг от друга только знаком (при этом они не равны нулю), называются противоположными числами. Для любого числа $x$ противоположным ему является число $-x$.

Ответ: Да, может. Например, для чисел $a=10$ и $b=-10$ выполняется условие $a \ne b$, но при этом их модули равны: $|10| = |-10| = 10$. Такие числа называют противоположными.