Страница 48 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

208. Какие числа называют противоположными? Приведите примеры противоположных чисел.

Какие числа называют противоположными?

Противоположными называют два числа, которые равны по модулю (абсолютной величине), но имеют разные знаки. Геометрически на числовой прямой противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но в разных направлениях.

Основные свойства противоположных чисел:

• Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$.
• Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю: $a + (-a) = 0$.
• Число, противоположное положительному числу, — отрицательное (например, для $10$ противоположное $-10$).
• Число, противоположное отрицательному числу, — положительное (например, для $-3$ противоположное $-(-3) = 3$).
• Число $0$ является противоположным самому себе.

Приведите примеры противоположных чисел.

Ниже приведены примеры пар противоположных чисел:

• $5$ и $-5$
• $21$ и $-21$
• $1.75$ и $-1.75$
• $\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{3}$
• $0$ и $0$

Ответ: Противоположными называют числа, которые отличаются только знаком, например, $8$ и $-8$. Их сумма всегда равна нулю.

209. Какое число противоположно числу 0?

По определению, противоположными называют числа, которые имеют одинаковый модуль (абсолютную величину), но разные знаки. Например, для числа 7 противоположным является число -7, а для числа -1,5 противоположным является 1,5.

Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю. Для любого числа $a$ и противоположного ему числа $-a$ справедливо равенство:
$a + (-a) = 0$

Давайте применим это правило к числу 0. Если мы ищем число, противоположное нулю, то их сумма должна быть равна нулю. Обозначим искомое число за $x$:
$0 + x = 0$

Единственное число, которое удовлетворяет этому уравнению, это $x=0$.
Также можно сказать, что противоположное число для 0 — это $-0$. Но поскольку 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом, то $-0$ — это то же самое, что и 0.
Таким образом, число 0 является противоположным самому себе.

Ответ: 0

210. Что получится, если перед целым числом поставить:

а) знак «+»;

б) знак «-»?

а) знак «+»

Если перед целым числом поставить знак «+», то число не изменится. Знак «+» перед числом указывает на то, что число является положительным, или просто подтверждает его знак, если он уже указан. Для положительных чисел знак «+» обычно опускается. Например, если взять произвольное целое число $a$, то запись $+a$ будет означать то же самое, что и $a$. Рассмотрим на примерах:
- Для положительного числа: $+7 = 7$.
- Для отрицательного числа: $+(-5) = -5$.
- Для нуля: $+0 = 0$.
Таким образом, постановка знака «+» перед целым числом не меняет его значения.

Ответ: Получится то же самое число.

б) знак «-»

Если перед целым числом поставить знак «-», то получится число, противоположное данному. Два числа называются противоположными, если они отличаются только знаком. Постановка знака «-» перед числом равносильна умножению этого числа на $-1$. Например, если взять произвольное целое число $a$, то в результате получится число $-a$. Рассмотрим на примерах:
- Если исходное число положительное, например $9$, то получится отрицательное число: $-(+9) = -9$.
- Если исходное число отрицательное, например $-4$, то получится положительное число: $-(-4) = 4$.
- Если исходное число нуль, то оно не изменится, так как нуль противоположен сам себе: $-0 = 0$.
Таким образом, постановка знака «-» перед целым числом меняет его знак на противоположный, за исключением нуля.

Ответ: Получится число, противоположное данному.

211. Что называют модулем:

а) положительного целого числа;

б) отрицательного целого числа;

в) числа нуль?

а) Модулем, или абсолютной величиной, положительного целого числа называют само это число. Модуль числа геометрически представляет собой расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (нуля). Поскольку число положительное, оно находится справа от нуля, и расстояние до нуля равно самому этому числу. Математически, для любого положительного числа $a$ (то есть $a > 0$) его модуль $|a|$ определяется как $a$. Например, модуль числа 15 равен 15: $|15| = 15$.
Ответ: само это число.

б) Модулем отрицательного целого числа называют противоположное ему положительное число. Чтобы найти модуль отрицательного числа, нужно отбросить его знак «минус». Геометрически, отрицательное число находится слева от нуля, и расстояние до нуля является положительной величиной, равной этому числу без знака. Математически, для любого отрицательного числа $b$ (то есть $b < 0$) его модуль $|b|$ определяется как $-b$. Например, модуль числа -23 равен $-(-23) = 23$, что записывается как $|-23| = 23$.
Ответ: противоположное ему число.

в) Модулем числа нуль является само число нуль. Нуль — это точка отсчета на координатной прямой, поэтому расстояние от нуля до самого себя равно нулю. Нуль является неотрицательным числом, и по общему определению модуля, если число $x \ge 0$, то $|x| = x$. Следовательно, $|0| = 0$.
Ответ: нуль.

212. Какие числа имеют одинаковый модуль? Приведите примеры.

Одинаковый модуль имеют противоположные числа. Это два числа, которые отличаются друг от друга только знаком.

Модуль числа (его также называют абсолютной величиной) — это расстояние от начала координат (точки 0) до точки, которая изображает это число на координатной прямой. Поскольку противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но в разных направлениях, их модули равны.

Для любого числа $a$ справедливо равенство: $|a| = |-a|$.

Единственным исключением является число 0, так как оно противоположно самому себе, и не существует другого числа с модулем, равным нулю: $|0| = 0$.

Приведите примеры.

- Числа 5 и -5. Их модули равны 5.
$|5| = 5$
$|-5| = 5$

- Числа 123 и -123. Их модули равны 123.
$|123| = 123$
$|-123| = 123$

- Десятичные дроби 8,4 и -8,4. Их модули равны 8,4.
$|8,4| = 8,4$
$|-8,4| = 8,4$

- Обыкновенные дроби $\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{3}$. Их модули равны $\frac{1}{3}$.
$|\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$
$|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$

Ответ: одинаковый модуль имеют противоположные числа, то есть числа, отличающиеся только знаком (например, 18 и -18; 2,5 и -2,5).

212 Какие числа имеют одинаковый модуль? Приводите примеры.

Для какого числа модуль — противоположное ему число? $|x| = -x$

Для какого числа модуль — противоположное ему число?

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте запишем его в виде математического уравнения. Пусть искомое число — это $x$. Тогда его модуль — это $|x|$, а противоположное ему число — это $-x$. Условие задачи можно записать как:
$|x| = -x$

Теперь рассмотрим это уравнение, основываясь на определении модуля (абсолютной величины):
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Разберем два возможных случая для $x$.

Случай 1: $x$ — неотрицательное число ($x \ge 0$)
В этом случае, по определению, $|x| = x$. Подставим это в наше уравнение:
$x = -x$
Прибавим $x$ к обеим частям уравнения:
$x + x = 0$
$2x = 0$
$x = 0$
Значение $x = 0$ удовлетворяет нашему первоначальному условию $x \ge 0$, значит, $0$ является решением.

Случай 2: $x$ — отрицательное число ($x < 0$)
В этом случае, по определению, $|x| = -x$. Подставим это в наше уравнение:
$-x = -x$
Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$, удовлетворяющего условию этого случая. А условие у нас — $x < 0$. Следовательно, любое отрицательное число является решением уравнения.

Объединяя результаты обоих случаев, мы приходим к выводу, что равенство $|x| = -x$ выполняется для числа $0$ и для всех отрицательных чисел. Множество таких чисел называется множеством неположительных чисел.

Проверим на примерах:
- Если взять отрицательное число, например, $-15$: его модуль $|-15| = 15$. Противоположное ему число $-(-15) = 15$. Равенство $15 = 15$ выполняется.
- Если взять ноль: его модуль $|0| = 0$. Противоположное ему число $-0 = 0$. Равенство $0 = 0$ выполняется.
- Если взять положительное число, например, $4$: его модуль $|4| = 4$. Противоположное ему число $-4$. Равенство $4 = -4$ не выполняется.

Ответ: Модуль числа является противоположным ему числом для любого неположительного числа (то есть для нуля и всех отрицательных чисел).