Страница 42 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

180. Пруд зарастает лилиями — за неделю площадь, занятая лилиями, удваивается. За сколько недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?

Пусть $S$ - это полная площадь пруда.

По условию, за 8 недель пруд полностью покрывается лилиями. Это означает, что к концу 8-й недели площадь, занятая лилиями, равна $S$.

Также по условию, каждую неделю площадь, занятая лилиями, удваивается. Это означает, что если мы рассмотрим процесс в обратном порядке, то каждую неделю назад площадь, занятая лилиями, была в два раза меньше.

Мы хотим найти, через сколько недель пруд был покрыт наполовину, то есть когда площадь, занятая лилиями, была равна $\frac{S}{2}$.

Если в конце 8-й недели площадь лилий была $S$, то за одну неделю до этого, то есть в конце $(8-1)$-й недели, она была в два раза меньше:

Площадь в конце 7-й недели = $\frac{\text{Площадь в конце 8-й недели}}{2} = \frac{S}{2}$

Следовательно, пруд был покрыт лилиями наполовину за 7 недель.

Ответ: 7 недель.

181. Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту каждая бактерия раздваивается). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится сосуд, если в него сначала посадить 2 бактерии?

Решение:

Процесс размножения бактерий — это удвоение их количества каждую минуту. По условию, если начать с одной бактерии, сосуд будет полностью заполнен через 1 час, то есть через 60 минут.

Рассмотрим процесс, который начинается с одной бактерии:

• В момент времени 0 минут: в сосуде 1 бактерия.
• В момент времени 1 минута: первая бактерия делится, и в сосуде становится 2 бактерии.

Таким образом, ситуация, когда в сосуде 2 бактерии, в первом сценарии наступает через 1 минуту после его начала. Весь оставшийся процесс до полного заполнения сосуда с этого момента занимает $60 \text{ минут} - 1 \text{ минута} = 59 \text{ минут}$.

Если изначально поместить в сосуд 2 бактерии, мы фактически пропускаем первый шаг (ожидание, пока первая бактерия разделится) и начинаем эксперимент со второго шага. Следовательно, общее время до заполнения сосуда сократится на 1 минуту.

Математическое обоснование:

Пусть $N_{полный}$ — количество бактерий, необходимое для полного заполнения сосуда.

В первом случае (начиная с 1 бактерии), количество бактерий через $t$ минут равно $1 \cdot 2^t$. Мы знаем, что при $t = 60$ сосуд полон, значит:

$N_{полный} = 2^{60}$

Во втором случае мы начинаем с 2 бактерий. Количество бактерий через $t$ минут будет $2 \cdot 2^t$. Нам нужно найти время $t$, когда это количество достигнет $N_{полный}$:

$2 \cdot 2^t = 2^{60}$

$2^{1+t} = 2^{60}$

Приравнивая степени, получаем:

$1 + t = 60$

$t = 59$

Таким образом, сосуд наполнится за 59 минут.

Ответ: 59 минут.

182. 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

Для решения этой задачи нужно сначала определить производительность одной курицы, то есть сколько яиц она несет в день. Затем, зная эту величину, можно рассчитать, сколько яиц снесет любое количество куриц за любой промежуток времени. Решим задачу по шагам.

1. Находим производительность одной курицы
Из условия известно, что 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Это означает, что 1 курица за 3 дня снесет в 3 раза меньше яиц:
$3 \text{ яйца} \div 3 \text{ курицы} = 1 \text{ яйцо}$
Итак, 1 курица несет 1 яйцо за 3 дня. Чтобы найти, сколько яиц несет 1 курица за 1 день, нужно разделить количество яиц на количество дней:
$1 \text{ яйцо} \div 3 \text{ дня} = \frac{1}{3} \text{ яйца в день}$
Таким образом, производительность одной курицы составляет $\frac{1}{3}$ яйца в день.

2. Рассчитываем количество яиц для 12 куриц за 12 дней
Теперь, когда мы знаем производительность одной курицы, мы можем найти, сколько яиц снесут 12 куриц за 1 день:
$12 \text{ куриц} \times \frac{1}{3} \frac{\text{яйца}}{\text{день}} = 4 \text{ яйца в день}$
Значит, 12 куриц вместе несут 4 яйца за 1 день. Чтобы узнать, сколько яиц они снесут за 12 дней, нужно их дневную производительность умножить на количество дней:
$4 \frac{\text{яйца}}{\text{день}} \times 12 \text{ дней} = 48 \text{ яиц}$

Ответ: 48 яиц.

183. 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

Эту задачу можно решить логически, последовательно изменяя условия и находя соответствующие им значения.

Шаг 1: Найдем, сколько зерна съедает одна синица за 100 дней

В условии сказано, что 100 синиц съедают 100 кг зерна за 100 дней. Предполагая, что все синицы едят одинаково, мы можем разделить общее количество зерна на количество синиц, чтобы узнать, сколько съедает одна.

$100 \text{ кг} \div 100 \text{ синиц} = 1 \text{ кг}$

Таким образом, 1 синица за 100 дней съедает 1 кг зерна.

Шаг 2: Найдем, сколько зерна съедает одна синица за 10 дней

Мы знаем, что 1 синица съедает 1 кг за 100 дней. Чтобы узнать, сколько она съест за 10 дней (что в 10 раз меньше), нужно разделить количество зерна на 10.

$1 \text{ кг} \div 10 = 0,1 \text{ кг}$

Итак, 1 синица за 10 дней съедает 0,1 кг зерна.

Шаг 3: Найдем, сколько зерна съедят 10 синиц за 10 дней

Теперь, зная, сколько съедает одна синица за 10 дней, мы можем легко вычислить, сколько съедят 10 синиц за то же время. Для этого нужно умножить норму одной синицы на 10.

$0,1 \text{ кг} \times 10 \text{ синиц} = 1 \text{ кг}$

Ответ: 1 кг.

184. 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность одного маляра, то есть сколько окон он красит за один день. Затем, зная производительность одного маляра, можно рассчитать, сколько окон покрасит любое количество маляров за любое количество дней.

1. Найдем, сколько окон красят 3 маляра за 1 день.

Если за 5 дней они покрасили 60 окон, то их производительность за один день составит:

$60 \text{ окон} \div 5 \text{ дней} = 12$ окон в день (для трех маляров).

2. Найдем производительность одного маляра.

Если 3 маляра вместе красят 12 окон в день, то один маляр за тот же день покрасит в 3 раза меньше:

$12 \text{ окон} \div 3 \text{ маляра} = 4$ окна в день (на одного маляра).

3. Рассчитаем, сколько окон покрасят 5 маляров за 1 день.

Теперь, зная производительность одного маляра, можно найти производительность бригады из 5 маляров:

$4 \text{ окна} \times 5 \text{ маляров} = 20$ окон в день (для пяти маляров).

4. Найдем, сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня.

Если за один день 5 маляров красят 20 окон, то за 4 дня они покрасят в 4 раза больше:

$20 \text{ окон} \times 4 \text{ дня} = 80$ окон.

Ответ: 80 окон.