Номер 177, страница 40 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 1. Вероятность события - номер 177, страница 40.

Условие.

177. Придумайте справедливую и несправедливую игру:

а) с двумя игральными кубиками;

б) с двумя монетами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) с двумя игральными кубиками

Справедливая игра:
Два игрока бросают два игральных кубика. Игрок 1 выигрывает, если сумма выпавших очков чётная. Игрок 2 выигрывает, если сумма нечётная.
Обоснование:
При броске двух кубиков возможно $6 \times 6 = 36$ равновероятных исходов. Найдём количество исходов, благоприятных для каждого игрока.
Исходы, при которых сумма чётная (выигрыш Игрока 1):
Сумма 2: (1,1) – 1 исход.
Сумма 4: (1,3), (2,2), (3,1) – 3 исхода.
Сумма 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) – 5 исходов.
Сумма 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) – 5 исходов.
Сумма 10: (4,6), (5,5), (6,4) – 3 исхода.
Сумма 12: (6,6) – 1 исход.
Всего исходов в пользу Игрока 1: $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$.
Вероятность выигрыша Игрока 1: $P_1 = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Исходы, при которых сумма нечётная (выигрыш Игрока 2):
Сумма 3: (1,2), (2,1) – 2 исхода.
Сумма 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) – 4 исхода.
Сумма 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – 6 исходов.
Сумма 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) – 4 исхода.
Сумма 11: (5,6), (6,5) – 2 исхода.
Всего исходов в пользу Игрока 2: $2 + 4 + 6 + 4 + 2 = 18$.
Вероятность выигрыша Игрока 2: $P_2 = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Поскольку вероятности выигрыша игроков равны ($P_1 = P_2$), игра является справедливой.
Ответ: Игрок 1 выигрывает, если сумма очков чётная; Игрок 2 выигрывает, если сумма нечётная.

Несправедливая игра:
Два игрока бросают два игральных кубика. Игрок 1 выигрывает, если выпадает дубль (одинаковое количество очков на обоих кубиках). Игрок 2 выигрывает во всех остальных случаях.
Обоснование:
Всего существует 36 равновероятных исходов.
Исходы, благоприятные для Игрока 1 (дубли): (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Всего 6 исходов.
Вероятность выигрыша Игрока 1: $P_1 = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Игрок 2 выигрывает в остальных $36 - 6 = 30$ случаях.
Вероятность выигрыша Игрока 2: $P_2 = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.
Поскольку вероятности выигрыша игроков не равны ($P_1 \neq P_2$), игра является несправедливой.
Ответ: Игрок 1 выигрывает, если выпадает дубль; Игрок 2 выигрывает, если дубль не выпадает.

б) с двумя монетами

Справедливая игра:
Два игрока подбрасывают две монеты. Игрок 1 выигрывает, если монеты выпали одинаковыми сторонами (два орла или две решки). Игрок 2 выигрывает, если монеты выпали разными сторонами (орёл и решка).
Обоснование:
При подбрасывании двух монет возможны 4 равновероятных исхода: Орёл-Орёл (ОО), Орёл-Решка (ОР), Решка-Орёл (РО), Решка-Решка (РР).
Для Игрока 1 благоприятны 2 исхода (ОО, РР). Вероятность его выигрыша: $P_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Для Игрока 2 благоприятны 2 исхода (ОР, РО). Вероятность его выигрыша: $P_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Поскольку вероятности выигрыша игроков равны ($P_1 = P_2$), игра является справедливой.
Ответ: Игрок 1 выигрывает, если выпадают две одинаковые стороны; Игрок 2 выигрывает, если выпадают разные стороны.

Несправедливая игра:
Два игрока подбрасывают две монеты. Игрок 1 выигрывает, если выпало два орла. Игрок 2 выигрывает во всех остальных случаях.
Обоснование:
Всего существует 4 равновероятных исхода: ОО, ОР, РО, РР.
Для Игрока 1 благоприятен 1 исход (ОО). Вероятность его выигрыша: $P_1 = \frac{1}{4}$.
Для Игрока 2 благоприятны 3 остальных исхода (ОР, РО, РР). Вероятность его выигрыша: $P_2 = \frac{3}{4}$.
Поскольку вероятности выигрыша игроков не равны ($P_1 \neq P_2$), игра является несправедливой.
Ответ: Игрок 1 выигрывает, если выпало два орла; Игрок 2 выигрывает во всех остальных случаях.