Номер 181, страница 42 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 1. Занимательные задачи - номер 181, страница 42.

Условие.

181. Некоторый вид бактерий размножается со скоростью 1 деление в минуту (каждую минуту каждая бактерия раздваивается). Если посадить 1 бактерию в пустой сосуд, то он наполнится за 1 ч. За какое время наполнится сосуд, если в него сначала посадить 2 бактерии?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение:

Процесс размножения бактерий — это удвоение их количества каждую минуту. По условию, если начать с одной бактерии, сосуд будет полностью заполнен через 1 час, то есть через 60 минут.

Рассмотрим процесс, который начинается с одной бактерии:

• В момент времени 0 минут: в сосуде 1 бактерия.
• В момент времени 1 минута: первая бактерия делится, и в сосуде становится 2 бактерии.

Таким образом, ситуация, когда в сосуде 2 бактерии, в первом сценарии наступает через 1 минуту после его начала. Весь оставшийся процесс до полного заполнения сосуда с этого момента занимает $60 \text{ минут} - 1 \text{ минута} = 59 \text{ минут}$.

Если изначально поместить в сосуд 2 бактерии, мы фактически пропускаем первый шаг (ожидание, пока первая бактерия разделится) и начинаем эксперимент со второго шага. Следовательно, общее время до заполнения сосуда сократится на 1 минуту.

Математическое обоснование:

Пусть $N_{полный}$ — количество бактерий, необходимое для полного заполнения сосуда.

В первом случае (начиная с 1 бактерии), количество бактерий через $t$ минут равно $1 \cdot 2^t$. Мы знаем, что при $t = 60$ сосуд полон, значит:

$N_{полный} = 2^{60}$

Во втором случае мы начинаем с 2 бактерий. Количество бактерий через $t$ минут будет $2 \cdot 2^t$. Нам нужно найти время $t$, когда это количество достигнет $N_{полный}$:

$2 \cdot 2^t = 2^{60}$

$2^{1+t} = 2^{60}$

Приравнивая степени, получаем:

$1 + t = 60$

$t = 59$

Таким образом, сосуд наполнится за 59 минут.

Ответ: 59 минут.