Номер 179, страница 40 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Вероятность события. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 179, страница 40.

Условие.

179. Коля задумал число, записанное цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторения. Витя пытается это число угадать. Какова вероятность того, что Витя угадает число с первого раза, если это число:

а) двузначное;

б) трёхзначное;

в) четырёхзначное?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Вероятность события находится по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов. В нашем случае Витя пытается угадать число с первого раза, поэтому число благоприятных исходов всегда равно 1 ($m=1$), так как загадано только одно число. Общее число исходов $n$ — это количество всех возможных чисел, которые можно составить из предложенных цифр по заданным правилам.

Коля составляет число из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 9 различных цифр) без повторения.

а) двузначное
Найдём общее количество $N_a$ двузначных чисел, которые можно составить из 9 данных цифр без повторения. Это задача на нахождение числа размещений из 9 элементов по 2.
Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае $n=9$ (общее количество цифр) и $k=2$ (количество цифр в числе).
$N_a = A_9^2 = \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{9!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72$.
Другой способ рассуждения: на место первой цифры (десятки) можно выбрать любую из 9 цифр. Так как цифры не повторяются, на место второй цифры (единицы) остаётся $9-1=8$ вариантов. Общее число комбинаций равно $9 \cdot 8 = 72$.
Вероятность угадать число с первого раза равна отношению числа благоприятных исходов (1) к общему числу возможных исходов (72).
$P(a) = \frac{1}{N_a} = \frac{1}{72}$.
Ответ: $\frac{1}{72}$

б) трёхзначное
Найдём общее количество $N_б$ трёхзначных чисел, которые можно составить из 9 данных цифр без повторения. Это число размещений из 9 элементов по 3.
Здесь $n=9$ и $k=3$.
$N_б = A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$.
Рассуждая по-другому: для первой цифры есть 9 вариантов, для второй — 8, для третьей — 7. Общее число вариантов: $9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$.
Вероятность угадать число с первого раза равна:
$P(б) = \frac{1}{N_б} = \frac{1}{504}$.
Ответ: $\frac{1}{504}$

в) четырёхзначное
Найдём общее количество $N_в$ четырёхзначных чисел, которые можно составить из 9 данных цифр без повторения. Это число размещений из 9 элементов по 4.
Здесь $n=9$ и $k=4$.
$N_в = A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
Рассуждая иначе: для первой цифры есть 9 вариантов, для второй — 8, для третьей — 7 и для четвёртой — 6. Общее число вариантов: $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
Вероятность угадать число с первого раза равна:
$P(в) = \frac{1}{N_в} = \frac{1}{3024}$.
Ответ: $\frac{1}{3024}$