Страница 40 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

172. Бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадет число очков:

а) делящееся и на 2, и на 3;

б) делящееся на 2 и не делящееся на 3;

в) делящееся на 3 и не делящееся на 2;

г) не делящееся ни на 2, ни на 3;

д) делящееся или на 2, или на 3?

Рис. 21

Указание. Решите задачу, используя рисунок 21.

При броске стандартного игрального кубика возможно 6 равновероятных исходов: выпадение очков от 1 до 6. Таким образом, общее число элементарных исходов $n=6$.

Для решения задачи воспользуемся предоставленной диаграммой Эйлера-Венна (Рис. 21). Левый круг представляет множество чисел, делящихся на 2 ({2, 4, 6}). Правый круг представляет множество чисел, делящихся на 3 ({3, 6}). Пересечение кругов — число, делящееся и на 2, и на 3 ({6}). Числа вне кругов не делятся ни на 2, ни на 3 ({1, 5}).

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

а) делящееся и на 2, и на 3;

Событию "выпало число, делящееся и на 2, и на 3" соответствует пересечение двух кругов на диаграмме. В этой области находится только одно число: 6. Следовательно, число благоприятных исходов $m=1$. Вероятность этого события равна $P = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

б) делящееся на 2 и не делящееся на 3;

Этому событию соответствует часть левого круга, не входящая в пересечение с правым. На диаграмме в этой области находятся числа 2 и 4. Следовательно, число благоприятных исходов $m=2$. Вероятность этого события равна $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

в) делящееся на 3 и не делящееся на 2;

Этому событию соответствует часть правого круга, не входящая в пересечение с левым. На диаграмме в этой области находится число 3. Следовательно, число благоприятных исходов $m=1$. Вероятность этого события равна $P = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

г) не делящееся ни на 2, ни на 3;

Этому событию соответствуют числа, находящиеся вне обоих кругов. На диаграмме это числа 1 и 5. Следовательно, число благоприятных исходов $m=2$. Вероятность этого события равна $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

д) делящееся или на 2, или на 3?

Этому событию соответствует объединение двух кругов, то есть все числа, которые находятся хотя бы в одном из них. На диаграмме это числа 2, 4, 6 и 3. Следовательно, число благоприятных исходов $m=4$. Вероятность этого события равна $P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

173. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность события:

a) A: «сумма очков равна 2»;

б) B: «сумма очков равна 10»;

в) C: «сумма очков равна 12»;

г) D: «сумма очков равна 13»;

д) E: «сумма очков равна 1»;

е) F: «сумма очков равна одному из натуральных чисел 2, 3, ..., 11, 12»?

При броске двух игральных кубиков общее число равновозможных исходов равно произведению числа граней на каждом кубике. Так как у каждого кубика 6 граней, общее число исходов $N = 6 \times 6 = 36$. Вероятность события вычисляется по классической формуле вероятности $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

а) A: «сумма очков равна 2»
Сумма очков, равная 2, может выпасть только в одном случае: когда на обоих кубиках выпала 1. То есть, благоприятный исход — это пара (1, 1). Число благоприятных исходов $m_A = 1$.
Вероятность события A равна: $P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$

б) B: «сумма очков равна 10»
Сумма очков, равная 10, может выпасть в следующих комбинациях: (4, 6), (5, 5), (6, 4).
Число благоприятных исходов $m_B = 3$.
Вероятность события B равна: $P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$

в) C: «сумма очков равна 12»
Сумма очков, равная 12, может выпасть только в одном случае: когда на обоих кубиках выпало по 6 очков. То есть, благоприятный исход — это пара (6, 6).
Число благоприятных исходов $m_C = 1$.
Вероятность события C равна: $P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$

г) D: «сумма очков равна 13»
Максимальное количество очков, которое может выпасть на одном кубике, равно 6. Соответственно, максимальная сумма очков на двух кубиках равна $6 + 6 = 12$. Получить сумму 13 невозможно.
Число благоприятных исходов $m_D = 0$.
Вероятность события D равна: $P(D) = \frac{m_D}{N} = \frac{0}{36} = 0$. Это невозможное событие.
Ответ: $0$

д) E: «сумма очков равна 1»
Минимальное количество очков, которое может выпасть на одном кубике, равно 1. Соответственно, минимальная сумма очков на двух кубиках равна $1 + 1 = 2$. Получить сумму 1 невозможно.
Число благоприятных исходов $m_E = 0$.
Вероятность события E равна: $P(E) = \frac{m_E}{N} = \frac{0}{36} = 0$. Это также невозможное событие.
Ответ: $0$

е) F: «сумма очков равна одному из натуральных чисел 2, 3, ..., 11, 12»
Минимально возможная сумма очков при броске двух кубиков — 2 (1+1), а максимально возможная — 12 (6+6). Любой исход броска двух кубиков даст в сумме целое число от 2 до 12. Таким образом, данное событие включает в себя все возможные 36 исходов.
Число благоприятных исходов $m_F = 36$.
Вероятность события F равна: $P(F) = \frac{m_F}{N} = \frac{36}{36} = 1$. Это достоверное событие.
Ответ: $1$

174. В первом ряду микроавтобуса имеется только 3 места. На них собираются сесть двое мужчин и одна женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных элементарных исходов.

Пусть у нас есть два мужчины (М1 и М2) и одна женщина (Ж). В ряду 3 места.

1. Найдем общее число всех возможных способов рассадки (N).
Число способов рассадить 3 разных людей на 3 места равно числу перестановок из 3 элементов. Оно вычисляется как 3 факториал ($3!$).
$N = P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
Таким образом, существует всего 6 возможных вариантов рассадки.

2. Найдем число благоприятных исходов (M), то есть тех, в которых мужчины сидят рядом.
Чтобы мужчины сидели рядом, будем рассматривать их как одну группу. Тогда нам нужно рассадить 2 объекта: "группу мужчин" и "женщину". Число способов сделать это равно $2! = 2$.
Варианты расположения: (группа мужчин, женщина) или (женщина, группа мужчин).
Внутри самой "группы мужчин" двое мужчин могут поменяться местами друг с другом. Число таких перестановок равно $2! = 2$.
Чтобы найти общее число благоприятных исходов, нужно перемножить число способов расположения группы и число перестановок внутри группы:
$M = 2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$
Эти 4 благоприятных варианта: (М1, М2, Ж), (М2, М1, Ж), (Ж, М1, М2), (Ж, М2, М1).

3. Вычислим искомую вероятность.
Вероятность $P$ того, что мужчины окажутся рядом, равна:
$P = \frac{M}{N} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Альтернативный, более простой способ:
Рассмотрим место, которое займет женщина. Всего 3 места. Мужчины будут сидеть рядом в том и только в том случае, если женщина не займет центральное (второе) место. Если женщина сядет на одно из двух крайних мест (первое или третье), то оставшиеся два места будут соседними, и мужчины сядут вместе.
Всего мест: 3.
Благоприятных мест для женщины (чтобы мужчины сели рядом): 2 (первое и третье).
Вероятность того, что женщина займет одно из этих двух мест, равна:
$P = \frac{\text{Число благоприятных мест}}{\text{Общее число мест}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

175. Бросают две монеты. Если выпадут два орла, то выиграл 1-й, если выпадут орёл и решка, то выиграл 2-й. Справедлива ли эта игра?

Для того чтобы определить, является ли игра справедливой, необходимо рассчитать и сравнить вероятности выигрыша каждого из игроков. Игра считается справедливой, если шансы на победу у всех игроков равны.

При бросании двух монет существует четыре равновероятных исхода. Обозначим орла буквой "О", а решку – "Р":

• Орёл, Орёл (ОО)
• Орёл, Решка (ОР)
• Решка, Орёл (РО)
• Решка, Решка (РР)

Общее число всех возможных исходов $n=4$.

1. Найдём вероятность выигрыша для первого игрока.
Согласно условию, первый игрок выигрывает, если выпадают два орла. Этому событию благоприятствует только один исход: (ОО).
Следовательно, вероятность выигрыша первого игрока составляет $P_1 = \frac{1}{4}$.

2. Найдём вероятность выигрыша для второго игрока.
Второй игрок выигрывает, если выпадают орёл и решка. Этому событию благоприятствуют два исхода: (ОР) и (РО).
Следовательно, вероятность выигрыша второго игрока составляет $P_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

3. Сравним вероятности выигрыша.
Вероятность победы первого игрока $P_1 = \frac{1}{4}$.
Вероятность победы второго игрока $P_2 = \frac{1}{2}$.
Поскольку $P_1 \neq P_2$ (так как $\frac{1}{4} \neq \frac{1}{2}$), шансы игроков на выигрыш не равны.

Ответ: игра несправедлива, так как вероятность выигрыша второго игрока ($1/2$) в два раза выше, чем вероятность выигрыша первого игрока ($1/4$).

176. Бросают два игральных кубика. Если сумма очков 11 — выиграл 1-й, если сумма очков 12 — выиграл 2-й. Справедлива ли эта игра?

Чтобы определить, является ли игра справедливой, необходимо рассчитать и сравнить вероятности выигрыша для каждого игрока. Игра считается справедливой, если шансы на победу у игроков равны.

При броске двух игральных кубиков общее количество равновероятных исходов равно произведению числа граней на каждом кубике: $6 \times 6 = 36$.

Найдем количество благоприятных исходов для первого игрока. Он выигрывает, если сумма очков равна 11. Это возможно при следующих комбинациях на кубиках: (5; 6) и (6; 5). Всего 2 благоприятных исхода.

Вероятность выигрыша первого игрока ($P_1$) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Теперь найдем количество благоприятных исходов для второго игрока. Он выигрывает, если сумма очков равна 12. Это возможно только при одной комбинации: (6; 6). Всего 1 благоприятный исход.

Вероятность выигрыша второго игрока ($P_2$) равна:

$P_2 = \frac{1}{36}$

Сравнивая вероятности выигрыша, видим, что $P_1 \neq P_2$, а именно $\frac{2}{36} > \frac{1}{36}$. Шансы игроков не равны: у первого игрока вероятность выигрыша в два раза выше, чем у второго. Следовательно, игра не является справедливой.

Ответ: Нет, игра не является справедливой, поскольку вероятность выигрыша первого игрока ($\frac{2}{36}$) не равна вероятности выигрыша второго игрока ($\frac{1}{36}$).

177. Придумайте справедливую и несправедливую игру:

а) с двумя игральными кубиками;

б) с двумя монетами.

а) с двумя игральными кубиками

Справедливая игра:
Два игрока бросают два игральных кубика. Игрок 1 выигрывает, если сумма выпавших очков чётная. Игрок 2 выигрывает, если сумма нечётная.
Обоснование:
При броске двух кубиков возможно $6 \times 6 = 36$ равновероятных исходов. Найдём количество исходов, благоприятных для каждого игрока.
Исходы, при которых сумма чётная (выигрыш Игрока 1):
Сумма 2: (1,1) – 1 исход.
Сумма 4: (1,3), (2,2), (3,1) – 3 исхода.
Сумма 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) – 5 исходов.
Сумма 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) – 5 исходов.
Сумма 10: (4,6), (5,5), (6,4) – 3 исхода.
Сумма 12: (6,6) – 1 исход.
Всего исходов в пользу Игрока 1: $1 + 3 + 5 + 5 + 3 + 1 = 18$.
Вероятность выигрыша Игрока 1: $P_1 = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Исходы, при которых сумма нечётная (выигрыш Игрока 2):
Сумма 3: (1,2), (2,1) – 2 исхода.
Сумма 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) – 4 исхода.
Сумма 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – 6 исходов.
Сумма 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) – 4 исхода.
Сумма 11: (5,6), (6,5) – 2 исхода.
Всего исходов в пользу Игрока 2: $2 + 4 + 6 + 4 + 2 = 18$.
Вероятность выигрыша Игрока 2: $P_2 = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
Поскольку вероятности выигрыша игроков равны ($P_1 = P_2$), игра является справедливой.
Ответ: Игрок 1 выигрывает, если сумма очков чётная; Игрок 2 выигрывает, если сумма нечётная.

Несправедливая игра:
Два игрока бросают два игральных кубика. Игрок 1 выигрывает, если выпадает дубль (одинаковое количество очков на обоих кубиках). Игрок 2 выигрывает во всех остальных случаях.
Обоснование:
Всего существует 36 равновероятных исходов.
Исходы, благоприятные для Игрока 1 (дубли): (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Всего 6 исходов.
Вероятность выигрыша Игрока 1: $P_1 = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
Игрок 2 выигрывает в остальных $36 - 6 = 30$ случаях.
Вероятность выигрыша Игрока 2: $P_2 = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$.
Поскольку вероятности выигрыша игроков не равны ($P_1 \neq P_2$), игра является несправедливой.
Ответ: Игрок 1 выигрывает, если выпадает дубль; Игрок 2 выигрывает, если дубль не выпадает.

б) с двумя монетами

Справедливая игра:
Два игрока подбрасывают две монеты. Игрок 1 выигрывает, если монеты выпали одинаковыми сторонами (два орла или две решки). Игрок 2 выигрывает, если монеты выпали разными сторонами (орёл и решка).
Обоснование:
При подбрасывании двух монет возможны 4 равновероятных исхода: Орёл-Орёл (ОО), Орёл-Решка (ОР), Решка-Орёл (РО), Решка-Решка (РР).
Для Игрока 1 благоприятны 2 исхода (ОО, РР). Вероятность его выигрыша: $P_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Для Игрока 2 благоприятны 2 исхода (ОР, РО). Вероятность его выигрыша: $P_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Поскольку вероятности выигрыша игроков равны ($P_1 = P_2$), игра является справедливой.
Ответ: Игрок 1 выигрывает, если выпадают две одинаковые стороны; Игрок 2 выигрывает, если выпадают разные стороны.

Несправедливая игра:
Два игрока подбрасывают две монеты. Игрок 1 выигрывает, если выпало два орла. Игрок 2 выигрывает во всех остальных случаях.
Обоснование:
Всего существует 4 равновероятных исхода: ОО, ОР, РО, РР.
Для Игрока 1 благоприятен 1 исход (ОО). Вероятность его выигрыша: $P_1 = \frac{1}{4}$.
Для Игрока 2 благоприятны 3 остальных исхода (ОР, РО, РР). Вероятность его выигрыша: $P_2 = \frac{3}{4}$.
Поскольку вероятности выигрыша игроков не равны ($P_1 \neq P_2$), игра является несправедливой.
Ответ: Игрок 1 выигрывает, если выпало два орла; Игрок 2 выигрывает во всех остальных случаях.

178. Витя задумал число, записанное цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения. Коля пытается это число угадать. Какова вероятность того, что Коля угадает число с первого раза, если это число:

а) двузначное;

б) трёхзначное;

в) четырёхзначное?

Вероятность события определяется по формуле классической вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ - число благоприятных исходов, а $n$ - общее число всех равновозможных исходов.

В данной задаче Коля пытается угадать число с первого раза, поэтому число благоприятных исходов $m=1$ во всех случаях. Общее число исходов $n$ равно количеству различных чисел, которые можно составить из заданных пяти цифр (1, 2, 3, 4, 5) без повторения.

Для нахождения общего числа возможных чисел мы используем формулу для размещений без повторений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n$ - это количество доступных элементов для выбора (у нас 5 цифр), а $k$ - количество элементов в комбинации (количество цифр в числе).

Если задуманное число двузначное, то мы выбираем 2 цифры из 5. Здесь $n=5$, $k=2$.

Общее число возможных двузначных чисел равно числу размещений из 5 по 2:

$n = A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$.

Таким образом, можно составить 20 различных двузначных чисел. Вероятность угадать число с первого раза равна:

$P = \frac{1}{20}$.

Ответ: $\frac{1}{20}$.

Если задуманное число трёхзначное, то мы выбираем 3 цифры из 5. Здесь $n=5$, $k=3$.

Общее число возможных трёхзначных чисел равно числу размещений из 5 по 3:

$n = A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.

Таким образом, можно составить 60 различных трёхзначных чисел. Вероятность угадать число с первого раза равна:

$P = \frac{1}{60}$.

Ответ: $\frac{1}{60}$.

Если задуманное число четырёхзначное, то мы выбираем 4 цифры из 5. Здесь $n=5$, $k=4$.

Общее число возможных четырёхзначных чисел равно числу размещений из 5 по 4:

$n = A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$.

Таким образом, можно составить 120 различных четырёхзначных чисел. Вероятность угадать число с первого раза равна:

$P = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$.

179. Коля задумал число, записанное цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторения. Витя пытается это число угадать. Какова вероятность того, что Витя угадает число с первого раза, если это число:

а) двузначное;

б) трёхзначное;

в) четырёхзначное?

Вероятность события находится по классической формуле $P = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число всех равновозможных исходов. В нашем случае Витя пытается угадать число с первого раза, поэтому число благоприятных исходов всегда равно 1 ($m=1$), так как загадано только одно число. Общее число исходов $n$ — это количество всех возможных чисел, которые можно составить из предложенных цифр по заданным правилам.

Коля составляет число из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 9 различных цифр) без повторения.

а) двузначное
Найдём общее количество $N_a$ двузначных чисел, которые можно составить из 9 данных цифр без повторения. Это задача на нахождение числа размещений из 9 элементов по 2.
Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае $n=9$ (общее количество цифр) и $k=2$ (количество цифр в числе).
$N_a = A_9^2 = \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{9!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72$.
Другой способ рассуждения: на место первой цифры (десятки) можно выбрать любую из 9 цифр. Так как цифры не повторяются, на место второй цифры (единицы) остаётся $9-1=8$ вариантов. Общее число комбинаций равно $9 \cdot 8 = 72$.
Вероятность угадать число с первого раза равна отношению числа благоприятных исходов (1) к общему числу возможных исходов (72).
$P(a) = \frac{1}{N_a} = \frac{1}{72}$.
Ответ: $\frac{1}{72}$

б) трёхзначное
Найдём общее количество $N_б$ трёхзначных чисел, которые можно составить из 9 данных цифр без повторения. Это число размещений из 9 элементов по 3.
Здесь $n=9$ и $k=3$.
$N_б = A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9!}{6!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$.
Рассуждая по-другому: для первой цифры есть 9 вариантов, для второй — 8, для третьей — 7. Общее число вариантов: $9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$.
Вероятность угадать число с первого раза равна:
$P(б) = \frac{1}{N_б} = \frac{1}{504}$.
Ответ: $\frac{1}{504}$

в) четырёхзначное
Найдём общее количество $N_в$ четырёхзначных чисел, которые можно составить из 9 данных цифр без повторения. Это число размещений из 9 элементов по 4.
Здесь $n=9$ и $k=4$.
$N_в = A_9^4 = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
Рассуждая иначе: для первой цифры есть 9 вариантов, для второй — 8, для третьей — 7 и для четвёртой — 6. Общее число вариантов: $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024$.
Вероятность угадать число с первого раза равна:
$P(в) = \frac{1}{N_в} = \frac{1}{3024}$.
Ответ: $\frac{1}{3024}$