Страница 36 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

158. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Вася Угрюмов был не в духе и пожал руку не всем своим приятелям. Всего было 13 рукопожатий. Скольким приятелям Вася пожал руку?

Пусть $n$ — общее количество приятелей. Если бы все $n$ приятелей обменялись рукопожатиями друг с другом, общее число рукопожатий составило бы $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

В условии сказано, что было совершено 13 рукопожатий, и только Вася пожал руку не всем. Это означает, что если бы Вася пожал руки всем, рукопожатий было бы больше 13. Следовательно, мы можем найти общее число приятелей $n$, подобрав такое минимальное значение, при котором $\frac{n(n-1)}{2} > 13$.

Проверим несколько значений $n$:

При $n=5$, максимальное число рукопожатий $\frac{5 \cdot (5-1)}{2} = 10$. Это меньше 13, значит, приятелей было больше.

При $n=6$, максимальное число рукопожатий $\frac{6 \cdot (6-1)}{2} = 15$. Это больше 13, так что это возможное общее количество приятелей.

Итак, предположим, что всего было 6 приятелей. Если бы все обменялись рукопожатиями, их было бы 15. По условию, их было 13. Разница $15 - 13 = 2$.

Эта разница в 2 рукопожатия возникла из-за того, что Вася не пожал руки некоторым своим приятелям. Поскольку все остальные приятели пожали друг другу руки, то недостающие 2 рукопожатия — это те, которые должен был сделать Вася. Это означает, что Вася не пожал руку двоим.

Всего у Васи было $n-1 = 6-1 = 5$ приятелей. Если он не пожал руку двоим, то он пожал руку $5 - 2 = 3$ приятелям.

Можно проверить этот вывод другим способом. Группа из 5 приятелей (без Васи) совершила между собой $\frac{5 \cdot (5-1)}{2} = 10$ рукопожатий. К этому числу нужно прибавить рукопожатия, которые сделал Вася. Если он пожал руку троим, то общее число рукопожатий будет $10 + 3 = 13$, что соответствует условию задачи.

Если бы приятелей было $n=7$, то максимальное число рукопожатий было бы $\frac{7 \cdot (7-1)}{2} = 21$. Тогда разница составила бы $21 - 13 = 8$. Это означало бы, что Вася не пожал руку 8 приятелям, что невозможно, так как у него их всего $7-1=6$.

Таким образом, единственно верный вариант: всего было 6 приятелей.

Ответ: Вася пожал руку 3 приятелям.

159. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Петя Веселов был так рад встрече, что дважды пожал руку некоторым из своих приятелей (но не всем). Всего было $b$ рукопожатий. Скольким приятелям Петя пожал руку дважды?

Решите задачу, если:

а) $b=17$;

б) $b=18$;

в) $b=19$.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $n$ — общее количество приятелей (включая Петю Веселова), а $k$ — количество приятелей, которым Петя пожал руку дважды.

Если бы все приятели обменялись рукопожатиями ровно по одному разу, общее число рукопожатий равнялось бы числу сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

Поскольку Петя совершил $k$ дополнительных рукопожатий, общее число рукопожатий $b$ можно выразить как сумму стандартных и дополнительных рукопожатий: $b = \frac{n(n-1)}{2} + k$.

Из этого уравнения мы можем выразить $k$: $k = b - \frac{n(n-1)}{2}$.

В условии сказано, что Петя пожал руку дважды «некоторым из своих приятелей (но не всем)». У Пети было $n-1$ приятель. Это означает, что $k$ должно быть целым числом, удовлетворяющим строгому неравенству $0 < k < n-1$.

Теперь решим задачу для каждого конкретного значения $b$, подбирая такое целое число $n$, чтобы вычисленное значение $k$ удовлетворяло указанному неравенству.

а) $b = 17$

Найдём подходящее значение $n$. Число стандартных рукопожатий $\frac{n(n-1)}{2}$ должно быть меньше 17. Проверим несколько значений $n \ge 2$:
- Если $n=4$, то $\frac{4(3)}{2} = 6$. Тогда $k = 17 - 6 = 11$. Количество приятелей у Пети $n-1=3$. Условие $0 < k < n-1$ не выполняется, так как $11 \not< 3$.
- Если $n=5$, то $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 17 - 10 = 7$. Количество приятелей у Пети $n-1=4$. Условие $0 < k < n-1$ не выполняется, так как $7 \not< 4$.
- Если $n=6$, то $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 17 - 15 = 2$. Количество приятелей у Пети $n-1=5$. Условие $0 < k < n-1$ выполняется, так как $0 < 2 < 5$.
- Если $n=7$, то $\frac{7(6)}{2} = 21$. Это значение больше 17, поэтому $n$ не может быть 7 или больше.
Единственное подходящее значение $n=6$, при котором $k=2$.Ответ: 2.

б) $b = 18$

Число стандартных рукопожатий $\frac{n(n-1)}{2}$ должно быть меньше 18. Проверим значения $n$:
- Если $n=5$, то $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 18 - 10 = 8$. Количество приятелей у Пети $n-1=4$. Условие $0 < k < n-1$ не выполняется, так как $8 \not< 4$.
- Если $n=6$, то $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 18 - 15 = 3$. Количество приятелей у Пети $n-1=5$. Условие $0 < k < n-1$ выполняется, так как $0 < 3 < 5$.
- Если $n=7$, то $\frac{7(6)}{2} = 21$, что больше 18.
Единственное подходящее значение $n=6$, при котором $k=3$.Ответ: 3.

в) $b = 19$

Число стандартных рукопожатий $\frac{n(n-1)}{2}$ должно быть меньше 19. Проверим значения $n$:
- Если $n=5$, то $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 19 - 10 = 9$. Количество приятелей у Пети $n-1=4$. Условие $0 < k < n-1$ не выполняется, так как $9 \not< 4$.
- Если $n=6$, то $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 19 - 15 = 4$. Количество приятелей у Пети $n-1=5$. Условие $0 < k < n-1$ выполняется, так как $0 < 4 < 5$.
- Если $n=7$, то $\frac{7(6)}{2} = 21$, что больше 19.
Единственное подходящее значение $n=6$, при котором $k=4$.Ответ: 4.

160. Постройте многоугольник, имеющий $n$ сторон, если:

а) $n=4$;

б) $n=5$;

в) $n=6$;

г) $n=7$;

д) $n=8$.

В каждом случае проведите все диагонали многоугольника.

Объясните, почему число $d$ всех диагоналей многоугольника вычисляется по формуле $d = \frac{n(n-3)}{2}$.

а) n=4
Многоугольник с 4 сторонами — это четырехугольник. Диагональ соединяет две несоседние вершины. Из каждой вершины четырехугольника можно провести только одну диагональ (к противоположной вершине). Так как диагональ, проведенная из вершины A в C, это та же самая диагональ, что проведена из C в A, то всего в четырехугольнике 2 диагонали.
Посчитаем по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$.
Ответ: 2 диагонали.

б) n=5
Многоугольник с 5 сторонами — это пятиугольник. Из каждой вершины можно провести $5-3=2$ диагонали. Всего в пятиугольнике 5 диагоналей (они образуют "звезду" внутри пятиугольника).
Посчитаем по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.
Ответ: 5 диагоналей.

в) n=6
Многоугольник с 6 сторонами — это шестиугольник. Из каждой вершины можно провести $6-3=3$ диагонали.
Посчитаем общее число диагоналей по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$.
Ответ: 9 диагоналей.

г) n=7
Многоугольник с 7 сторонами — это семиугольник. Из каждой вершины можно провести $7-3=4$ диагонали.
Посчитаем общее число диагоналей по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$.
Ответ: 14 диагоналей.

д) n=8
Многоугольник с 8 сторонами — это восьмиугольник. Из каждой вершины можно провести $8-3=5$ диагоналей.
Посчитаем общее число диагоналей по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$.
Ответ: 20 диагоналей.

Объяснение формулы для числа диагоналей
Рассмотрим произвольный многоугольник, у которого $n$ вершин. Диагональ — это отрезок, соединяющий две любые вершины, которые не являются соседними.
1. Выберем одну любую из $n$ вершин.
2. Из этой вершины можно провести отрезки ко всем остальным $n-1$ вершинам.
3. Два из этих отрезков являются сторонами многоугольника (они ведут к двум соседним вершинам), а не диагоналями.
4. Следовательно, из одной вершины можно провести $n-1-2 = n-3$ диагонали.
5. Поскольку у нас $n$ вершин, то, умножив количество диагоналей, выходящих из одной вершины, на общее число вершин, получим $n \cdot (n-3)$.
6. В этом произведении каждая диагональ посчитана дважды. Например, диагональ, соединяющая вершину A и вершину C, была посчитана один раз как выходящая из A, и второй раз — как выходящая из C.
7. Чтобы найти уникальное число диагоналей $d$, нужно полученное произведение разделить на 2.
Таким образом, мы получаем формулу: $d = \frac{n(n-3)}{2}$.

161. Ученица нарисовала многоугольник и провела 20 диагоналей. Ей осталось провести меньше половины всех диагоналей этого многоугольника. Сколько диагоналей ей осталось провести?

Пусть $n$ – количество вершин многоугольника. Общее число диагоналей $D$ в $n$-угольнике вычисляется по формуле: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

По условию, ученица провела 20 диагоналей. Обозначим количество диагоналей, которые осталось провести, через $R$. Тогда общее число диагоналей в многоугольнике составляет $D = 20 + R$.

В условии также сказано, что ей осталось провести меньше половины всех диагоналей. Это можно записать в виде математического неравенства:

$R < \frac{D}{2}$

Чтобы найти возможное общее число диагоналей, подставим в это неравенство выражение $R = D - 20$:

$D - 20 < \frac{D}{2}$

Решим полученное неравенство относительно $D$:

$D - \frac{D}{2} < 20$

$\frac{D}{2} < 20$

$D < 40$

Поскольку уже проведено 20 диагоналей и, по смыслу задачи, еще остались не проведенные ($R > 0$), общее число диагоналей $D$ должно быть строго больше 20. Таким образом, мы ищем многоугольник, у которого общее число диагоналей $D$ удовлетворяет двойному неравенству: $20 < D < 40$.

Теперь проверим по формуле, для каких целых значений $n$ (числа вершин, $n \ge 4$) общее число диагоналей $D$ попадает в этот интервал.
- При $n=8$: $D = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$. Не подходит, так как $D$ должно быть строго больше 20.
- При $n=9$: $D = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$. Подходит, так как $20 < 27 < 40$.
- При $n=10$: $D = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$. Подходит, так как $20 < 35 < 40$.
- При $n=11$: $D = \frac{11(11-3)}{2} = \frac{11 \cdot 8}{2} = 44$. Не подходит, так как $D$ должно быть меньше 40.

Мы видим, что условию задачи могут соответствовать два разных многоугольника. Рассмотрим каждый из возможных случаев.

Случай 1: Многоугольник является девятиугольником ($n=9$)
Общее число диагоналей $D = 27$.
Поскольку проведено 20 диагоналей, осталось провести: $R = D - 20 = 27 - 20 = 7$ диагоналей.
Проверим выполнение исходного условия: $R < D/2 \implies 7 < 27/2 \implies 7 < 13.5$. Условие выполняется.

Случай 2: Многоугольник является десятиугольником ($n=10$)
Общее число диагоналей $D = 35$.
Поскольку проведено 20 диагоналей, осталось провести: $R = D - 20 = 35 - 20 = 15$ диагоналей.
Проверим выполнение исходного условия: $R < D/2 \implies 15 < 35/2 \implies 15 < 17.5$. Условие также выполняется.

Так как условие задачи не позволяет однозначно определить, какой именно многоугольник нарисовала ученица, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 7 или 15.