Номер 159, страница 36 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 159, страница 36.

Условие.

159. Несколько приятелей при встрече обменялись рукопожатиями. Только Петя Веселов был так рад встрече, что дважды пожал руку некоторым из своих приятелей (но не всем). Всего было $b$ рукопожатий. Скольким приятелям Петя пожал руку дважды?

Решите задачу, если:

а) $b=17$;

б) $b=18$;

в) $b=19$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $n$ — общее количество приятелей (включая Петю Веселова), а $k$ — количество приятелей, которым Петя пожал руку дважды.

Если бы все приятели обменялись рукопожатиями ровно по одному разу, общее число рукопожатий равнялось бы числу сочетаний из $n$ по 2, которое вычисляется по формуле: $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$.

Поскольку Петя совершил $k$ дополнительных рукопожатий, общее число рукопожатий $b$ можно выразить как сумму стандартных и дополнительных рукопожатий: $b = \frac{n(n-1)}{2} + k$.

Из этого уравнения мы можем выразить $k$: $k = b - \frac{n(n-1)}{2}$.

В условии сказано, что Петя пожал руку дважды «некоторым из своих приятелей (но не всем)». У Пети было $n-1$ приятель. Это означает, что $k$ должно быть целым числом, удовлетворяющим строгому неравенству $0 < k < n-1$.

Теперь решим задачу для каждого конкретного значения $b$, подбирая такое целое число $n$, чтобы вычисленное значение $k$ удовлетворяло указанному неравенству.

а) $b = 17$

Найдём подходящее значение $n$. Число стандартных рукопожатий $\frac{n(n-1)}{2}$ должно быть меньше 17. Проверим несколько значений $n \ge 2$:
- Если $n=4$, то $\frac{4(3)}{2} = 6$. Тогда $k = 17 - 6 = 11$. Количество приятелей у Пети $n-1=3$. Условие $0 < k < n-1$ не выполняется, так как $11 \not< 3$.
- Если $n=5$, то $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 17 - 10 = 7$. Количество приятелей у Пети $n-1=4$. Условие $0 < k < n-1$ не выполняется, так как $7 \not< 4$.
- Если $n=6$, то $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 17 - 15 = 2$. Количество приятелей у Пети $n-1=5$. Условие $0 < k < n-1$ выполняется, так как $0 < 2 < 5$.
- Если $n=7$, то $\frac{7(6)}{2} = 21$. Это значение больше 17, поэтому $n$ не может быть 7 или больше.
Единственное подходящее значение $n=6$, при котором $k=2$.Ответ: 2.

б) $b = 18$

Число стандартных рукопожатий $\frac{n(n-1)}{2}$ должно быть меньше 18. Проверим значения $n$:
- Если $n=5$, то $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 18 - 10 = 8$. Количество приятелей у Пети $n-1=4$. Условие $0 < k < n-1$ не выполняется, так как $8 \not< 4$.
- Если $n=6$, то $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 18 - 15 = 3$. Количество приятелей у Пети $n-1=5$. Условие $0 < k < n-1$ выполняется, так как $0 < 3 < 5$.
- Если $n=7$, то $\frac{7(6)}{2} = 21$, что больше 18.
Единственное подходящее значение $n=6$, при котором $k=3$.Ответ: 3.

в) $b = 19$

Число стандартных рукопожатий $\frac{n(n-1)}{2}$ должно быть меньше 19. Проверим значения $n$:
- Если $n=5$, то $\frac{5(4)}{2} = 10$. Тогда $k = 19 - 10 = 9$. Количество приятелей у Пети $n-1=4$. Условие $0 < k < n-1$ не выполняется, так как $9 \not< 4$.
- Если $n=6$, то $\frac{6(5)}{2} = 15$. Тогда $k = 19 - 15 = 4$. Количество приятелей у Пети $n-1=5$. Условие $0 < k < n-1$ выполняется, так как $0 < 4 < 5$.
- Если $n=7$, то $\frac{7(6)}{2} = 21$, что больше 19.
Единственное подходящее значение $n=6$, при котором $k=4$.Ответ: 4.