Номер 161, страница 36 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов - номер 161, страница 36.

Условие.

161. Ученица нарисовала многоугольник и провела 20 диагоналей. Ей осталось провести меньше половины всех диагоналей этого многоугольника. Сколько диагоналей ей осталось провести?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Пусть $n$ – количество вершин многоугольника. Общее число диагоналей $D$ в $n$-угольнике вычисляется по формуле: $D = \frac{n(n-3)}{2}$.

По условию, ученица провела 20 диагоналей. Обозначим количество диагоналей, которые осталось провести, через $R$. Тогда общее число диагоналей в многоугольнике составляет $D = 20 + R$.

В условии также сказано, что ей осталось провести меньше половины всех диагоналей. Это можно записать в виде математического неравенства:

$R < \frac{D}{2}$

Чтобы найти возможное общее число диагоналей, подставим в это неравенство выражение $R = D - 20$:

$D - 20 < \frac{D}{2}$

Решим полученное неравенство относительно $D$:

$D - \frac{D}{2} < 20$

$\frac{D}{2} < 20$

$D < 40$

Поскольку уже проведено 20 диагоналей и, по смыслу задачи, еще остались не проведенные ($R > 0$), общее число диагоналей $D$ должно быть строго больше 20. Таким образом, мы ищем многоугольник, у которого общее число диагоналей $D$ удовлетворяет двойному неравенству: $20 < D < 40$.

Теперь проверим по формуле, для каких целых значений $n$ (числа вершин, $n \ge 4$) общее число диагоналей $D$ попадает в этот интервал.
- При $n=8$: $D = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$. Не подходит, так как $D$ должно быть строго больше 20.
- При $n=9$: $D = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$. Подходит, так как $20 < 27 < 40$.
- При $n=10$: $D = \frac{10(10-3)}{2} = \frac{10 \cdot 7}{2} = 35$. Подходит, так как $20 < 35 < 40$.
- При $n=11$: $D = \frac{11(11-3)}{2} = \frac{11 \cdot 8}{2} = 44$. Не подходит, так как $D$ должно быть меньше 40.

Мы видим, что условию задачи могут соответствовать два разных многоугольника. Рассмотрим каждый из возможных случаев.

Случай 1: Многоугольник является девятиугольником ($n=9$)
Общее число диагоналей $D = 27$.
Поскольку проведено 20 диагоналей, осталось провести: $R = D - 20 = 27 - 20 = 7$ диагоналей.
Проверим выполнение исходного условия: $R < D/2 \implies 7 < 27/2 \implies 7 < 13.5$. Условие выполняется.

Случай 2: Многоугольник является десятиугольником ($n=10$)
Общее число диагоналей $D = 35$.
Поскольку проведено 20 диагоналей, осталось провести: $R = D - 20 = 35 - 20 = 15$ диагоналей.
Проверим выполнение исходного условия: $R < D/2 \implies 15 < 35/2 \implies 15 < 17.5$. Условие также выполняется.

Так как условие задачи не позволяет однозначно определить, какой именно многоугольник нарисовала ученица, задача имеет два возможных решения.

Ответ: 7 или 15.