Номер 160, страница 36 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 160, страница 36.

Условие.

160. Постройте многоугольник, имеющий $n$ сторон, если:

а) $n=4$;

б) $n=5$;

в) $n=6$;

г) $n=7$;

д) $n=8$.

В каждом случае проведите все диагонали многоугольника.

Объясните, почему число $d$ всех диагоналей многоугольника вычисляется по формуле $d = \frac{n(n-3)}{2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а) n=4
Многоугольник с 4 сторонами — это четырехугольник. Диагональ соединяет две несоседние вершины. Из каждой вершины четырехугольника можно провести только одну диагональ (к противоположной вершине). Так как диагональ, проведенная из вершины A в C, это та же самая диагональ, что проведена из C в A, то всего в четырехугольнике 2 диагонали.
Посчитаем по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2$.
Ответ: 2 диагонали.

б) n=5
Многоугольник с 5 сторонами — это пятиугольник. Из каждой вершины можно провести $5-3=2$ диагонали. Всего в пятиугольнике 5 диагоналей (они образуют "звезду" внутри пятиугольника).
Посчитаем по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.
Ответ: 5 диагоналей.

в) n=6
Многоугольник с 6 сторонами — это шестиугольник. Из каждой вершины можно провести $6-3=3$ диагонали.
Посчитаем общее число диагоналей по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$.
Ответ: 9 диагоналей.

г) n=7
Многоугольник с 7 сторонами — это семиугольник. Из каждой вершины можно провести $7-3=4$ диагонали.
Посчитаем общее число диагоналей по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$.
Ответ: 14 диагоналей.

д) n=8
Многоугольник с 8 сторонами — это восьмиугольник. Из каждой вершины можно провести $8-3=5$ диагоналей.
Посчитаем общее число диагоналей по формуле: $d = \frac{n(n-3)}{2} = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$.
Ответ: 20 диагоналей.

Объяснение формулы для числа диагоналей
Рассмотрим произвольный многоугольник, у которого $n$ вершин. Диагональ — это отрезок, соединяющий две любые вершины, которые не являются соседними.
1. Выберем одну любую из $n$ вершин.
2. Из этой вершины можно провести отрезки ко всем остальным $n-1$ вершинам.
3. Два из этих отрезков являются сторонами многоугольника (они ведут к двум соседним вершинам), а не диагоналями.
4. Следовательно, из одной вершины можно провести $n-1-2 = n-3$ диагонали.
5. Поскольку у нас $n$ вершин, то, умножив количество диагоналей, выходящих из одной вершины, на общее число вершин, получим $n \cdot (n-3)$.
6. В этом произведении каждая диагональ посчитана дважды. Например, диагональ, соединяющая вершину A и вершину C, была посчитана один раз как выходящая из A, и второй раз — как выходящая из C.
7. Чтобы найти уникальное число диагоналей $d$, нужно полученное произведение разделить на 2.
Таким образом, мы получаем формулу: $d = \frac{n(n-3)}{2}$.