Номер 157, страница 35 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Отношения, пропорции, проценты. Дополнения к главе 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов - номер 157, страница 35.

Условие.

157. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Рис. 15

Рис. 16

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Для того чтобы найти общее количество партий, нужно посчитать, сколько уникальных пар можно составить из 8 друзей, так как каждая партия играется между двумя людьми.

Эту задачу можно решить несколькими способами.

1. Логический способ рассуждения

Всего в турнире участвует 8 друзей. Каждый из них должен сыграть с 7 другими. Если мы просто умножим количество участников на количество их соперников, мы получим $8 \times 7 = 56$. Однако при таком подсчете каждая игра будет учтена дважды. Например, партия между Алёшей и Вовой будет посчитана как игра для Алёши и как игра для Вовы, хотя это одна и та же партия. Чтобы исправить это двойной счет, полученный результат необходимо разделить на 2.

Расчет: $\frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

2. Метод последовательного подсчета

Можно посчитать партии последовательно для каждого друга, исключая уже сыгранные:

• Первый друг сыграет с 7 остальными. Это 7 партий.
• Второй друг уже сыграл с первым, поэтому ему остается сыграть с 6 друзьями. Это 6 новых партий.
• Третий друг уже сыграл с первыми двумя, ему остается сыграть с 5 друзьями. Это 5 новых партий.
• Четвертый друг сыграет 4 новые партии.
• Пятый — 3 новые партии.
• Шестой — 2 новые партии.
• Седьмой сыграет 1 новую партию с восьмым.
• Восьмой друг к этому моменту уже сыграет со всеми.

Теперь сложим все эти уникальные партии: $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28$.

3. Использование формулы из комбинаторики

Эта задача является классическим примером нахождения числа сочетаний. Нам нужно найти, сколько пар (сочетаний по 2) можно составить из 8 человек. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=8$ (общее количество друзей), а $k=2$ (количество игроков в одной партии). Подставим значения в формулу:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$.

Все три способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Будет сыграно 28 партий.