Номер 151, страница 34 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

Дополнения к главе 1. Задачи на перебор всех возможных вариантов. Глава 1. Отношения, пропорции, проценты - номер 151, страница 34.

Условие.

151. a) Все четырёхзначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 4312?

б) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 54312?

в) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, выписывают в порядке возрастания. Сколько чисел в этом списке? Каким по счёту в этом списке будет число 54231?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

а)

Чтобы найти номер числа 4312 в списке, нужно посчитать, сколько чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений, меньше него.

1. Сначала посчитаем все числа, которые начинаются с цифр, меньших чем 4. Это цифры 1, 2 и 3.
- Числа, начинающиеся с 1: на остальные три позиции можно расставить оставшиеся три цифры (2, 3, 4) $3!$ способами. $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ чисел.
- Числа, начинающиеся с 2: аналогично, $3! = 6$ чисел.
- Числа, начинающиеся с 3: аналогично, $3! = 6$ чисел.
Всего чисел, меньших 4000: $3 \cdot 6 = 18$.

2. Теперь рассмотрим числа, начинающиеся с 4. Искомое число — 4312. Вторая цифра — 3.
- Посчитаем числа вида 4xxx, где вторая цифра меньше 3. Это цифры 1 и 2.
- Числа, начинающиеся с 41: на остальные две позиции можно расставить оставшиеся две цифры (2, 3) $2!$ способами. $2! = 2 \cdot 1 = 2$ числа.
- Числа, начинающиеся с 42: аналогично, $2! = 2$ числа.
Всего таких чисел: $2 \cdot 2 = 4$.

3. Далее рассмотрим числа, начинающиеся с 43. Искомое число — 4312. Третья цифра — 1.
- Посчитаем числа вида 43xx, где третья цифра меньше 1. Таких цифр среди оставшихся (1, 2) нет. Значит, таких чисел 0.

4. Четвертая цифра в 4312 — это 2. В числе вида 431x на последнем месте может быть только 2. Цифр меньше 2 среди оставшихся нет. Таких чисел 0.

Итак, перед числом 4312 находится $18 + 4 = 22$ числа. Следовательно, само число 4312 имеет номер $22 + 1 = 23$.

Ответ: 23

б)

Аналогично пункту а), посчитаем количество пятизначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без повторений), которые меньше числа 54312.

1. Числа, начинающиеся с цифры, меньшей 5. Это 1, 2, 3, 4.
- Для каждой из этих 4-х цифр остальные 4 позиции можно заполнить оставшимися четырьмя цифрами $4!$ способами. $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
- Всего таких чисел: $4 \cdot 24 = 96$.

2. Числа, начинающиеся с 5. Искомое число 54312. Вторая цифра — 4.
- Посчитаем числа вида 5xxxx, где вторая цифра меньше 4. Это 1, 2, 3.
- Для каждой из этих 3-х цифр остальные 3 позиции можно заполнить $3!$ способами. $3! = 6$.
- Всего таких чисел: $3 \cdot 6 = 18$.

3. Числа, начинающиеся с 54. Искомое число 54312. Третья цифра — 3.
- Посчитаем числа вида 54xxx, где третья цифра меньше 3. Это 1, 2.
- Для каждой из этих 2-х цифр остальные 2 позиции можно заполнить $2!$ способами. $2! = 2$.
- Всего таких чисел: $2 \cdot 2 = 4$.

4. Числа, начинающиеся с 543. Искомое число 54312. Четвертая цифра — 1.
- Посчитаем числа вида 543xx, где четвертая цифра меньше 1. Таких цифр среди оставшихся (1, 2) нет. Таких чисел 0.

Общее количество чисел, меньших 54312, равно $96 + 18 + 4 = 118$.
Значит, номер числа 54312 в списке — $118 + 1 = 119$.

Ответ: 119

в)

Сначала ответим на первый вопрос: сколько всего чисел в этом списке? Это количество всех возможных перестановок из 5 различных цифр (1, 2, 3, 4, 5). Оно равно $5!$.
$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
Всего в списке 120 чисел.

Теперь найдем, каким по счёту будет число 54231. Действуем так же, как в предыдущих пунктах.

1. Числа, начинающиеся с цифры, меньшей 5 (1, 2, 3, 4): $4 \cdot 4! = 4 \cdot 24 = 96$ чисел.

2. Числа, начинающиеся с 5. Искомое число 54231. Вторая цифра 4.
- Числа вида 5xxxx, где вторая цифра меньше 4 (1, 2, 3): $3 \cdot 3! = 3 \cdot 6 = 18$ чисел.

3. Числа, начинающиеся с 54. Искомое число 54231. Третья цифра 2.
- Числа вида 54xxx, где третья цифра меньше 2 (только 1): $1 \cdot 2! = 1 \cdot 2 = 2$ числа.

4. Числа, начинающиеся с 542. Искомое число 54231. Четвертая цифра 3.
- Числа вида 542xx, где четвертая цифра меньше 3 (только 1): $1 \cdot 1! = 1 \cdot 1 = 1$ число.

Суммируем количество чисел, которые меньше 54231: $96 + 18 + 2 + 1 = 117$.
Следовательно, число 54231 будет стоять на $117 + 1 = 118$-м месте.

Ответ: всего в списке 120 чисел, число 54231 будет 118-м по счёту.