Страница 34 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

144. Запишите все двузначные числа, в записи которых используют-ся цифры:

а) 1, 3, 9 без повторения;

б) 1, 3, 9 с повторением;

в) 2, 4, 6 без повторения;

г) 2, 4, 6 с повторением.

а) 1, 3, 9 без повторения

Для составления двузначных чисел из цифр 1, 3, 9 без повторения, необходимо выбрать одну цифру для разряда десятков и другую, отличную от первой, для разряда единиц. Это задача на нахождение числа размещений без повторений из 3 элементов по 2.

• Если первая цифра (десятки) – 1, то вторая (единицы) может быть 3 или 9. Получаем числа: 13, 19.
• Если первая цифра – 3, то вторая может быть 1 или 9. Получаем числа: 31, 39.
• Если первая цифра – 9, то вторая может быть 1 или 3. Получаем числа: 91, 93.

Количество таких чисел можно найти по формуле размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае $n=3$, $k=2$, поэтому $A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = 3 \times 2 = 6$ чисел.

Ответ: 13, 19, 31, 39, 91, 93.

б) 1, 3, 9 с повторением

Если цифры в записи числа могут повторяться, то для выбора цифры в разряде десятков есть 3 варианта (1, 3 или 9), и для выбора цифры в разряде единиц также есть 3 варианта. Это задача на нахождение числа размещений с повторениями.

• С цифрой 1 в разряде десятков можно составить числа: 11, 13, 19.
• С цифрой 3 в разряде десятков можно составить числа: 31, 33, 39.
• С цифрой 9 в разряде десятков можно составить числа: 91, 93, 99.

Общее количество таких чисел можно найти по формуле $n^k$, где $n=3$, $k=2$. Итого: $3^2 = 9$ чисел.

Ответ: 11, 13, 19, 31, 33, 39, 91, 93, 99.

в) 2, 4, 6 без повторения

Аналогично пункту а), составляем двузначные числа из цифр 2, 4, 6 так, чтобы цифры не повторялись.

• Если первая цифра – 2, то вторая может быть 4 или 6. Получаем числа: 24, 26.
• Если первая цифра – 4, то вторая может быть 2 или 6. Получаем числа: 42, 46.
• Если первая цифра – 6, то вторая может быть 2 или 4. Получаем числа: 62, 64.

Всего можно составить $A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = 6$ чисел.

Ответ: 24, 26, 42, 46, 62, 64.

г) 2, 4, 6 с повторением

Аналогично пункту б), составляем двузначные числа из цифр 2, 4, 6 с возможностью их повторения.

• С цифрой 2 в разряде десятков можно составить числа: 22, 24, 26.
• С цифрой 4 в разряде десятков можно составить числа: 42, 44, 46.
• С цифрой 6 в разряде десятков можно составить числа: 62, 64, 66.

Общее количество таких чисел равно $3^2 = 9$.

Ответ: 22, 24, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66.

145. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются цифры 0, 1, 5:

а) без повторения;

б) с повторением.

а) без повторения

Чтобы составить двузначное число из цифр 0, 1, 5, нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. В этом пункте цифры не должны повторяться.

1. Выбор цифры для разряда десятков:
Двузначное число не может начинаться с нуля, поэтому на место десятков можно поставить только цифру 1 или 5.

2. Выбор цифры для разряда единиц:
- Если на месте десятков стоит 1, то для разряда единиц остаются цифры 0 и 5 (так как цифра 1 уже использована). Получаем числа: 10, 15.
- Если на месте десятков стоит 5, то для разряда единиц остаются цифры 0 и 1 (так как цифра 5 уже использована). Получаем числа: 50, 51.

Таким образом, все возможные числа: 10, 15, 50, 51.

Ответ: 10, 15, 50, 51.

б) с повторением

В этом случае цифры в записи числа могут повторяться.

1. Выбор цифры для разряда десятков:
Как и в предыдущем пункте, на место десятков можно поставить 1 или 5.

2. Выбор цифры для разряда единиц:
На место единиц можно поставить любую из трех данных цифр (0, 1 или 5), так как повторение разрешено.
- Если на месте десятков стоит 1, то на месте единиц может стоять 0, 1 или 5. Получаем числа: 10, 11, 15.
- Если на месте десятков стоит 5, то на месте единиц может стоять 0, 1 или 5. Получаем числа: 50, 51, 55.

Таким образом, все возможные числа: 10, 11, 15, 50, 51, 55.

Ответ: 10, 11, 15, 50, 51, 55.

146. Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 9, 8, 7:

а) с повторением цифр;

б) без повторения цифр?

а) с повторением цифр

Для составления двузначного числа нам нужно выбрать цифру для разряда десятков и цифру для разряда единиц. В нашем распоряжении есть три цифры: 9, 8, 7.

На место первой цифры (десятки) можно поставить любую из трёх данных цифр. Таким образом, есть 3 варианта выбора.

Поскольку цифры могут повторяться, на место второй цифры (единицы) мы также можем поставить любую из трёх данных цифр. Это еще 3 варианта выбора.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции (правило умножения в комбинаторике):

$3 \times 3 = 9$

Можно составить 9 двузначных чисел.

Ответ: 9

б) без повторения цифр

Нам снова нужно выбрать две цифры для составления двузначного числа из цифр 9, 8, 7, но на этот раз без повторений.

На место первой цифры (десятки) можно выбрать любую из трёх цифр. У нас есть 3 варианта.

После того как первая цифра выбрана, для второй позиции (единицы) остается на одну цифру меньше, так как повторения запрещены. Если мы выбрали 9 первой, то для второй остаются 8 и 7. Если 8 — остаются 9 и 7, и так далее. То есть, для выбора второй цифры всегда остается 2 варианта.

Общее количество возможных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции:

$3 \times 2 = 6$

Можно составить 6 двузначных чисел.

Ответ: 6

147. Сколько двузначных чисел можно записать цифрами 0, 2, 4, 6:

а) с повторением цифр;

б) без повторения цифр?

а) с повторением цифр

Для составления двузначного числа нам нужно выбрать две цифры: одну для разряда десятков, другую для разряда единиц. Даны цифры: 0, 2, 4, 6 (всего 4 цифры).

На место первой цифры (десятки) можно поставить любую из данных цифр, кроме нуля, так как число не может начинаться с нуля. Значит, у нас есть 3 варианта для первой цифры: 2, 4 или 6.

На место второй цифры (единицы) можно поставить любую из четырёх данных цифр (0, 2, 4, 6), так как по условию цифры могут повторяться. Значит, у нас есть 4 варианта для второй цифры.

Чтобы найти общее количество возможных двузначных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции: $3 \times 4 = 12$.

Ответ: 12

б) без повторения цифр

Как и в предыдущем случае, на место первой цифры (десятки) можно поставить любую из трёх цифр (2, 4, 6), так как ноль не может быть первой цифрой.

Выбор второй цифры (единицы) зависит от выбора первой, так как цифры не должны повторяться. Изначально у нас было 4 цифры. После того как мы выбрали одну цифру для разряда десятков, у нас осталось $4 - 1 = 3$ цифры для выбора. Например, если первой цифрой была 2, то для второй можно выбрать 0, 4 или 6.

Таким образом, для каждого из 3 вариантов первой цифры существует 3 варианта второй цифры. Общее количество чисел равно произведению вариантов: $3 \times 3 = 9$.

Ответ: 9

148. Четыре подружки купили 4 билета в кино. Сколькими различными способами они могут занять свои места в зрительном зале?

Данная задача является классическим примером на нахождение числа перестановок. У нас есть 4 подруги и 4 места, и нам нужно определить, сколькими способами их можно рассадить.

Рассуждаем следующим образом:

На первое место может сесть любая из четырех подруг, то есть существует 4 варианта выбора.

После того, как одна подруга заняла свое место, на второе место может сесть любая из оставшихся трех. Таким образом, есть 3 варианта выбора.

На третье место может претендовать одна из двух оставшихся подруг, то есть есть 2 варианта.

И на последнее, четвертое место, сядет последняя оставшаяся подруга — 1 вариант.

Чтобы найти общее количество различных способов, нужно перемножить число вариантов для каждого места. В комбинаторике это называется числом перестановок из $n$ элементов и обозначается как $P_n = n!$ (читается как "эн факториал").

В нашем случае $n=4$, поэтому количество способов равно:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

Следовательно, существует 24 различных способа, которыми подруги могут занять свои места.

Ответ: 24.

149. Сколько двузначных; трёхзначных; четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 без повторения?

Для решения этой задачи используется формула для нахождения числа размещений без повторений, так как важен порядок цифр в числе и по условию цифры не могут повторяться. Формула имеет вид: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, где $n$ — общее количество доступных элементов, а $k$ — количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае общее количество доступных цифр $n=5$ (это цифры 1, 2, 3, 4, 5).

двузначных

Для составления двузначных чисел мы выбираем 2 цифры из 5 ($k=2$). На первую позицию (десятки) можно поставить любую из 5 цифр. После этого на вторую позицию (единицы) останется 4 варианта. Общее количество возможных чисел равно произведению вариантов для каждой позиции: $5 \times 4 = 20$.

Расчет по формуле размещений: $A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20$.

Ответ: 20.

трёхзначных

Для составления трёхзначных чисел мы выбираем 3 цифры из 5 ($k=3$). На первую позицию есть 5 вариантов, на вторую — 4, а на третью — 3. Общее количество возможных чисел: $5 \times 4 \times 3 = 60$.

Расчет по формуле размещений: $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Ответ: 60.

четырёхзначных

Для составления четырёхзначных чисел мы выбираем 4 цифры из 5 ($k=4$). На первую позицию есть 5 вариантов, на вторую — 4, на третью — 3, на четвертую — 2. Общее количество возможных чисел: $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.

Расчет по формуле размещений: $A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.

Ответ: 120.

150. Сколько двузначных; трёхзначных; четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5 с повторением?

Для решения этой задачи мы будем использовать правило произведения из комбинаторики. Нам дано 5 цифр: 1, 2, 3, 4, 5. Так как цифры в числе могут повторяться, для каждой позиции в числе мы можем выбрать любую из этих 5 цифр.

двузначных
Двузначное число состоит из двух позиций (разряд десятков и разряд единиц). На первую позицию можно поставить любую из 5 цифр. На вторую позицию также можно поставить любую из 5 цифр. Общее количество возможных двузначных чисел равно произведению количества вариантов для каждой позиции.
Количество чисел = $5 \times 5 = 5^2 = 25$.
Ответ: 25

трёхзначных
Трёхзначное число состоит из трёх позиций. На каждую из трёх позиций (сотни, десятки, единицы) можно выбрать любую из 5 данных цифр.
Количество чисел = $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$.
Ответ: 125

четырёхзначных
Четырёхзначное число состоит из четырёх позиций. Аналогично предыдущим случаям, на каждую из четырёх позиций можно поставить любую из 5 цифр.
Количество чисел = $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$.
Ответ: 625

151. a) Все четырёхзначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 4312?

б) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, занумеровали в порядке возрастания чисел. Какой номер имеет число 54312?

в) Все пятизначные числа, записанные цифрами 1, 2, 3, 4, 5 без повторения, выписывают в порядке возрастания. Сколько чисел в этом списке? Каким по счёту в этом списке будет число 54231?

а)

Чтобы найти номер числа 4312 в списке, нужно посчитать, сколько чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений, меньше него.

1. Сначала посчитаем все числа, которые начинаются с цифр, меньших чем 4. Это цифры 1, 2 и 3.
- Числа, начинающиеся с 1: на остальные три позиции можно расставить оставшиеся три цифры (2, 3, 4) $3!$ способами. $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ чисел.
- Числа, начинающиеся с 2: аналогично, $3! = 6$ чисел.
- Числа, начинающиеся с 3: аналогично, $3! = 6$ чисел.
Всего чисел, меньших 4000: $3 \cdot 6 = 18$.

2. Теперь рассмотрим числа, начинающиеся с 4. Искомое число — 4312. Вторая цифра — 3.
- Посчитаем числа вида 4xxx, где вторая цифра меньше 3. Это цифры 1 и 2.
- Числа, начинающиеся с 41: на остальные две позиции можно расставить оставшиеся две цифры (2, 3) $2!$ способами. $2! = 2 \cdot 1 = 2$ числа.
- Числа, начинающиеся с 42: аналогично, $2! = 2$ числа.
Всего таких чисел: $2 \cdot 2 = 4$.

3. Далее рассмотрим числа, начинающиеся с 43. Искомое число — 4312. Третья цифра — 1.
- Посчитаем числа вида 43xx, где третья цифра меньше 1. Таких цифр среди оставшихся (1, 2) нет. Значит, таких чисел 0.

4. Четвертая цифра в 4312 — это 2. В числе вида 431x на последнем месте может быть только 2. Цифр меньше 2 среди оставшихся нет. Таких чисел 0.

Итак, перед числом 4312 находится $18 + 4 = 22$ числа. Следовательно, само число 4312 имеет номер $22 + 1 = 23$.

Ответ: 23

б)

Аналогично пункту а), посчитаем количество пятизначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без повторений), которые меньше числа 54312.

1. Числа, начинающиеся с цифры, меньшей 5. Это 1, 2, 3, 4.
- Для каждой из этих 4-х цифр остальные 4 позиции можно заполнить оставшимися четырьмя цифрами $4!$ способами. $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
- Всего таких чисел: $4 \cdot 24 = 96$.

2. Числа, начинающиеся с 5. Искомое число 54312. Вторая цифра — 4.
- Посчитаем числа вида 5xxxx, где вторая цифра меньше 4. Это 1, 2, 3.
- Для каждой из этих 3-х цифр остальные 3 позиции можно заполнить $3!$ способами. $3! = 6$.
- Всего таких чисел: $3 \cdot 6 = 18$.

3. Числа, начинающиеся с 54. Искомое число 54312. Третья цифра — 3.
- Посчитаем числа вида 54xxx, где третья цифра меньше 3. Это 1, 2.
- Для каждой из этих 2-х цифр остальные 2 позиции можно заполнить $2!$ способами. $2! = 2$.
- Всего таких чисел: $2 \cdot 2 = 4$.

4. Числа, начинающиеся с 543. Искомое число 54312. Четвертая цифра — 1.
- Посчитаем числа вида 543xx, где четвертая цифра меньше 1. Таких цифр среди оставшихся (1, 2) нет. Таких чисел 0.

Общее количество чисел, меньших 54312, равно $96 + 18 + 4 = 118$.
Значит, номер числа 54312 в списке — $118 + 1 = 119$.

Ответ: 119

в)

Сначала ответим на первый вопрос: сколько всего чисел в этом списке? Это количество всех возможных перестановок из 5 различных цифр (1, 2, 3, 4, 5). Оно равно $5!$.
$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
Всего в списке 120 чисел.

Теперь найдем, каким по счёту будет число 54231. Действуем так же, как в предыдущих пунктах.

1. Числа, начинающиеся с цифры, меньшей 5 (1, 2, 3, 4): $4 \cdot 4! = 4 \cdot 24 = 96$ чисел.

2. Числа, начинающиеся с 5. Искомое число 54231. Вторая цифра 4.
- Числа вида 5xxxx, где вторая цифра меньше 4 (1, 2, 3): $3 \cdot 3! = 3 \cdot 6 = 18$ чисел.

3. Числа, начинающиеся с 54. Искомое число 54231. Третья цифра 2.
- Числа вида 54xxx, где третья цифра меньше 2 (только 1): $1 \cdot 2! = 1 \cdot 2 = 2$ числа.

4. Числа, начинающиеся с 542. Искомое число 54231. Четвертая цифра 3.
- Числа вида 542xx, где четвертая цифра меньше 3 (только 1): $1 \cdot 1! = 1 \cdot 1 = 1$ число.

Суммируем количество чисел, которые меньше 54231: $96 + 18 + 2 + 1 = 117$.
Следовательно, число 54231 будет стоять на $117 + 1 = 118$-м месте.

Ответ: всего в списке 120 чисел, число 54231 будет 118-м по счёту.