Страница 30 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

124. Виноград при сушке теряет $70\%$ своей массы.

а) Сколько изюма (сушёного винограда) получится из 100 кг свежего винограда?

б) Сколько изюма (сушёного винограда) получится из 250 кг свежего винограда?

в) Сколько изюма (сушёного винограда) получится из 80 кг свежего винограда?

По условию задачи, виноград при сушке теряет 70% своей массы. Это означает, что масса изюма (сушёного винограда) составляет оставшуюся часть от первоначальной массы свежего винограда. Вычислим, какая часть массы остаётся после сушки в процентах:

$100\% - 70\% = 30\%$

Следовательно, масса изюма составляет 30% от массы свежего винограда. Чтобы найти 30% от числа, нужно это число умножить на 0,3 (поскольку $30\% = \frac{30}{100} = 0,3$).

Теперь рассчитаем массу изюма для каждого из указанных случаев.

100 кг

Найдём массу изюма, которая получится из 100 кг свежего винограда:

$100 \text{ кг} \times 0,3 = 30 \text{ кг}$

Ответ: 30 кг.

250 кг

Найдём массу изюма, которая получится из 250 кг свежего винограда:

$250 \text{ кг} \times 0,3 = 75 \text{ кг}$

Ответ: 75 кг.

80 кг

Найдём массу изюма, которая получится из 80 кг свежего винограда:

$80 \text{ кг} \times 0,3 = 24 \text{ кг}$

Ответ: 24 кг.

125. Припой содержит 40 % олова, 2 % сурьмы, остальную часть составляет свинец. Сколько граммов олова, свинца и сурьмы в 300 г припоя?

Для того чтобы найти, сколько граммов олова, свинца и сурьмы содержится в 300 г припоя, необходимо рассчитать массу каждого компонента на основе его процентного содержания.

Олово
Согласно условию, припой содержит 40% олова. Чтобы найти массу олова в 300 г припоя, нужно общую массу умножить на долю, соответствующую этому проценту:
$300 \text{ г} \cdot \frac{40}{100} = 300 \cdot 0,4 = 120 \text{ г}$.
Ответ: 120 г.

Сурьма
Припой содержит 2% сурьмы. Рассчитаем ее массу аналогичным образом:
$300 \text{ г} \cdot \frac{2}{100} = 300 \cdot 0,02 = 6 \text{ г}$.
Ответ: 6 г.

Свинец
Остальную часть припоя составляет свинец. Сначала найдем его процентное содержание. Так как полный состав сплава составляет 100%, то процент свинца равен:
$100\% - (40\% + 2\%) = 100\% - 42\% = 58\%$.
Теперь рассчитаем массу свинца, которая составляет 58% от 300 г:
$300 \text{ г} \cdot \frac{58}{100} = 300 \cdot 0,58 = 174 \text{ г}$.
Проверить это можно, вычтя из общей массы припоя массы олова и сурьмы: $300 - 120 - 6 = 174$ г.
Ответ: 174 г.

126. Токарь до обеденного перерыва обточил 24 детали, что составляет 60 % сменной нормы. Сколько деталей должен обточить токарь за смену?

Пусть $x$ — это сменная норма, то есть общее количество деталей, которое токарь должен обточить за смену (100%).

Согласно условию задачи, 24 обточенные детали составляют 60% от сменной нормы.

Чтобы найти, чему равны 100% (вся сменная норма), можно составить пропорцию:

24 детали — 60%

$x$ деталей — 100%

Из этой пропорции получаем следующее уравнение:

$ \frac{24}{x} = \frac{60}{100} $

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$ x = \frac{24 \times 100}{60} $

$ x = \frac{2400}{60} $

$ x = 40 $

Следовательно, полная сменная норма токаря составляет 40 деталей.

Ответ: 40 деталей.

127. а) Туристы прошли $75 \%$ маршрута, и им осталось пройти ещё $5 \text{ км}$. Какова длина всего маршрута?

б) Туристы прошли $5 \%$ маршрута, и им осталось пройти ещё $19 \text{ км}$. Какова длина всего маршрута?

а)

Примем всю длину маршрута за 100%. Туристы уже прошли 75% пути. Чтобы найти, какая часть маршрута осталась, нужно из общей длины в процентах вычесть пройденную часть:
$100\% - 75\% = 25\%$
Из условия задачи мы знаем, что оставшаяся часть пути равна 5 км. Следовательно, 25% от всего маршрута составляют 5 км.
Теперь мы можем найти общую длину маршрута. Если 25% — это 5 км, то 100% (весь маршрут) будет в четыре раза больше, так как $100\% \div 25\% = 4$.
$5 \text{ км} \cdot 4 = 20 \text{ км}$
Также можно решить через пропорцию. Пусть $x$ — это длина всего маршрута:
$5 \text{ км} \rightarrow 25\%$
$x \text{ км} \rightarrow 100\%$
$x = \frac{5 \cdot 100}{25} = 20 \text{ км}$

Ответ: 20 км.

б)

Аналогично предыдущему пункту, вся длина маршрута составляет 100%. Туристы прошли 5% пути. Найдем оставшуюся часть маршрута в процентах:
$100\% - 5\% = 95\%$
Согласно условию, эта оставшаяся часть равна 19 км. Значит, 95% от всего маршрута составляют 19 км.
Чтобы найти общую длину маршрута ($x$), составим пропорцию:
$19 \text{ км} \rightarrow 95\%$
$x \text{ км} \rightarrow 100\%$
Из пропорции выразим $x$:
$x = \frac{19 \cdot 100}{95}$
Сократим дробь, заметив, что $95 = 19 \cdot 5$:
$x = \frac{19 \cdot 100}{19 \cdot 5} = \frac{100}{5} = 20 \text{ км}$

Ответ: 20 км.

128. Что больше:

а) $0.30 \cdot 40$ или $0.40 \cdot 30$;

б) $0.80 \cdot 60$ или $0.60 \cdot 70$?

а) 30 % от 40 или 40 % от 30

Чтобы сравнить два выражения, необходимо вычислить значение каждого из них.

1. Найдем 30% от числа 40. Для этого можно перевести проценты в десятичную дробь и умножить на число:

$30\% = \frac{30}{100} = 0,3$

$0,3 \times 40 = 12$

2. Найдем 40% от числа 30:

$40\% = \frac{40}{100} = 0,4$

$0,4 \times 30 = 12$

3. Сравним полученные результаты: $12 = 12$.

Это также следует из общего свойства процентов: $a\%$ от $b$ всегда равно $b\%$ от $a$, так как $\frac{a}{100} \times b = \frac{a \times b}{100}$ и $\frac{b}{100} \times a = \frac{b \times a}{100}$.

Ответ: эти значения равны.

б) 80 % от 60 или 60 % от 70

Аналогично пункту а), вычислим значение каждого выражения.

1. Найдем 80% от числа 60:

$80\% = \frac{80}{100} = 0,8$

$0,8 \times 60 = 48$

2. Найдем 60% от числа 70:

$60\% = \frac{60}{100} = 0,6$

$0,6 \times 70 = 42$

3. Сравним полученные результаты: $48 > 42$.

Ответ: 80% от 60 больше.

129. Определите без вычислений, что больше:

a) $12\%$ от $34$ или $13\%$ от $34$;

б) $12\%$ от $49$ или $12\%$ от $50$.

а) 12 % от 34 или 13 % от 34

В этом пункте сравниваются разные проценты от одного и того же числа. Чем больше процент, тем большую долю от числа он представляет.
Так как $13\% > 12\%$, то и $13\%$ от числа $34$ будет больше, чем $12\%$ от этого же числа.
Ответ: $13\%$ от $34$ больше, чем $12\%$ от $34$.

б) 12 % от 49 или 12 % от 50

Здесь сравнивается одинаковый процент, но от разных чисел. Мы берем одинаковую долю ($12\%$) от разных по величине чисел.
Так как $50 > 49$, то и $12\%$ от большего числа ($50$) будут больше, чем $12\%$ от меньшего числа ($49$).
Ответ: $12\%$ от $50$ больше, чем $12\%$ от $49$.

130. Товар стоил 500 р. Его цена повысилась на 20 %. На сколько рублей повысилась цена?

Чтобы узнать, на сколько рублей повысилась цена, нужно найти 20% от её первоначальной стоимости в 500 рублей.

Для этого можно выразить проценты в виде десятичной дроби. Чтобы перевести проценты в дробь, нужно разделить их значение на 100:

$20\% = \frac{20}{100} = 0.2$

Теперь умножим первоначальную цену на эту дробь, чтобы найти величину повышения:

$500 \text{ р.} \times 0.2 = 100 \text{ р.}$

Таким образом, цена товара повысилась на 100 рублей.

Ответ: 100 рублей.

131. У Алёши 80 марок, у Бори на 20 % больше, чем у Алёши. У Вовы на 25 % меньше, чем у Алёши. Сколько марок у Бори и Вовы в отдельности?

Для решения этой задачи необходимо найти количество марок у Бори и Вовы, исходя из того, что у Алёши 80 марок.

1. Сколько марок у Бори?

По условию, у Бори на 20% марок больше, чем у Алёши. Сначала вычислим, сколько марок составляют эти 20%. За 100% принимаем количество марок Алёши.

$80 \text{ марок} - 100\%$

$x \text{ марок} - 20\%$

$x = \frac{80 \times 20}{100} = 16$ марок.

Теперь прибавим это количество к маркам Алёши, чтобы найти, сколько марок у Бори:

$80 + 16 = 96$ марок.

Другой способ — сразу вычислить итоговое количество, зная, что оно составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от количества марок Алёши:

$80 \times \frac{120}{100} = 80 \times 1.2 = 96$ марок.

Ответ: у Бори 96 марок.

2. Сколько марок у Вовы?

По условию, у Вовы на 25% марок меньше, чем у Алёши. Сначала вычислим, сколько марок составляют 25% от количества марок Алёши.

$x = \frac{80 \times 25}{100} = 20$ марок.

Теперь вычтем это количество из марок Алёши, чтобы найти, сколько марок у Вовы:

$80 - 20 = 60$ марок.

Другой способ — сразу вычислить итоговое количество, зная, что оно составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от количества марок Алёши:

$80 \times \frac{75}{100} = 80 \times 0.75 = 60$ марок.

Ответ: у Вовы 60 марок.

132. Увеличьте число:

а) 60 на $10\%$;

в) 40 на $50\%$;

б) 80 на $25\%$;

г) 425 на $4\%$.

а)

Чтобы увеличить число 60 на 10%, необходимо найти 10% от 60 и прибавить полученное значение к исходному числу.

1. Находим 10% от 60. Для этого можно умножить 60 на 10 и разделить на 100, либо умножить 60 на десятичную дробь 0,1.
$60 \cdot \frac{10}{100} = 60 \cdot 0,1 = 6$

2. Прибавляем полученное значение к исходному числу:
$60 + 6 = 66$

Другой способ – это сразу умножить число на коэффициент. Исходное число – это 100%. Увеличение на 10% означает, что новое число составит $100\% + 10\% = 110\%$ от исходного. Переведем проценты в десятичную дробь: $110 / 100 = 1,1$.
$60 \cdot 1,1 = 66$

Ответ: 66

б)

Чтобы увеличить число 80 на 25%, нужно найти 25% от 80 и прибавить результат к 80.

1. Находим 25% от 80. Так как 25% – это четверть, можно просто разделить 80 на 4.
$80 \cdot \frac{25}{100} = 80 \cdot 0,25 = 20$

2. Складываем исходное число с найденным значением:
$80 + 20 = 100$

Используя коэффициент: увеличение на 25% эквивалентно умножению на $1 + 0,25 = 1,25$.
$80 \cdot 1,25 = 100$

Ответ: 100

в)

Чтобы увеличить число 40 на 50%, найдем 50% от 40 и прибавим к 40.

1. Находим 50% от 40. 50% – это половина, поэтому можно разделить 40 на 2.
$40 \cdot \frac{50}{100} = 40 \cdot 0,5 = 20$

2. Прибавляем 20 к 40:
$40 + 20 = 60$

Используя коэффициент: увеличение на 50% соответствует умножению на $1 + 0,5 = 1,5$.
$40 \cdot 1,5 = 60$

Ответ: 60

г)

Чтобы увеличить число 425 на 4%, найдем 4% от 425 и прибавим к 425.

1. Находим 4% от 425.
$425 \cdot \frac{4}{100} = 425 \cdot 0,04 = 17$

2. Увеличиваем 425 на 17:
$425 + 17 = 442$

Используя коэффициент: увеличение на 4% соответствует умножению на $1 + 0,04 = 1,04$.
$425 \cdot 1,04 = 442$

Ответ: 442

133. Уменьшите число:

а) 60 на 10 %;

б) 80 на 25 %;

в) 90 на 50 %;

г) 125 на 20 %.

Чтобы уменьшить число на определенный процент, необходимо найти значение этого процента от числа и вычесть его из исходного числа. Другой способ — сразу вычислить, какой процент от числа останется после уменьшения, и найти его.

а) Уменьшить число 60 на 10%.

1. Сначала найдем, чему равны 10% от числа 60. Для этого умножим 60 на 10 и разделим на 100.

$ \frac{60 \cdot 10}{100} = \frac{600}{100} = 6 $

2. Теперь вычтем полученное значение из исходного числа 60.

$ 60 - 6 = 54 $

Ответ: 54

б) Уменьшить число 80 на 25%.

1. Найдем 25% от 80. Для удобства можно представить 25% как десятичную дробь 0,25 или обыкновенную дробь $ \frac{1}{4} $.

$ 80 \cdot \frac{25}{100} = 80 \cdot 0.25 = 20 $

2. Вычтем полученное значение из 80.

$ 80 - 20 = 60 $

Ответ: 60

в) Уменьшить число 90 на 50%.

Уменьшение на 50% означает, что от первоначального числа останется $ 100\% - 50\% = 50\% $. Найдем 50% (то есть половину) от 90.

$ 90 \cdot \frac{50}{100} = 90 \cdot 0.5 = 45 $

Ответ: 45

г) Уменьшить число 125 на 20%.

Уменьшение на 20% означает, что от первоначального числа останется $ 100\% - 20\% = 80\% $. Найдем 80% от 125.

$ 125 \cdot \frac{80}{100} = 125 \cdot 0.8 = 100 $

Ответ: 100

134. а) Увеличьте число 80 на 20%; 30%; 65%; 80%.

б) Уменьшите число 60 на 15%; 20%; 25%; 75%.

а)

Чтобы увеличить число на определенный процент, нужно сначала найти это процентное значение от числа, а затем прибавить его к исходному числу.

Увеличить число 80 на 20 %:
1. Находим 20 % от 80: $80 \cdot \frac{20}{100} = 80 \cdot 0.2 = 16$.
2. Прибавляем полученное значение к исходному числу: $80 + 16 = 96$.

Увеличить число 80 на 30 %:
1. Находим 30 % от 80: $80 \cdot \frac{30}{100} = 80 \cdot 0.3 = 24$.
2. Прибавляем полученное значение к исходному числу: $80 + 24 = 104$.

Увеличить число 80 на 65 %:
1. Находим 65 % от 80: $80 \cdot \frac{65}{100} = 80 \cdot 0.65 = 52$.
2. Прибавляем полученное значение к исходному числу: $80 + 52 = 132$.

Увеличить число 80 на 80 %:
1. Находим 80 % от 80: $80 \cdot \frac{80}{100} = 80 \cdot 0.8 = 64$.
2. Прибавляем полученное значение к исходному числу: $80 + 64 = 144$.

Ответ: 96; 104; 132; 144.

б)

Чтобы уменьшить число на определенный процент, нужно сначала найти это процентное значение от числа, а затем вычесть его из исходного числа.

Уменьшить число 60 на 15 %:
1. Находим 15 % от 60: $60 \cdot \frac{15}{100} = 60 \cdot 0.15 = 9$.
2. Вычитаем полученное значение из исходного числа: $60 - 9 = 51$.

Уменьшить число 60 на 20 %:
1. Находим 20 % от 60: $60 \cdot \frac{20}{100} = 60 \cdot 0.2 = 12$.
2. Вычитаем полученное значение из исходного числа: $60 - 12 = 48$.

Уменьшить число 60 на 25 %:
1. Находим 25 % от 60: $60 \cdot \frac{25}{100} = 60 \cdot 0.25 = 15$.
2. Вычитаем полученное значение из исходного числа: $60 - 15 = 45$.

Уменьшить число 60 на 75 %:
1. Находим 75 % от 60: $60 \cdot \frac{75}{100} = 60 \cdot 0.75 = 45$.
2. Вычитаем полученное значение из исходного числа: $60 - 45 = 15$.

Ответ: 51; 48; 45; 15.

135. Мясо при варке теряет 40 % своей массы.

а) Сколько варёного мяса получится из 6 кг свежего?

б) Сколько свежего мяса нужно взять, чтобы получить 6 кг варёного?

По условию, мясо при варке теряет 40% своей массы. Это означает, что масса варёного мяса составляет $100\% - 40\% = 60\%$ от массы свежего мяса.

а) Сколько варёного мяса получится из 6 кг свежего?

Чтобы найти массу варёного мяса, нужно вычислить 60% от 6 кг. Сначала представим 60% в виде десятичной дроби:

$60\% = \frac{60}{100} = 0.6$

Теперь умножим массу свежего мяса на эту дробь:

$6 \text{ кг} \times 0.6 = 3.6 \text{ кг}$

Ответ: из 6 кг свежего мяса получится 3,6 кг варёного.

б) Сколько свежего мяса нужно взять, чтобы получить 6 кг варёного?

В данном случае нам известно, что 6 кг варёного мяса — это 60% от первоначальной массы свежего мяса. Пусть $x$ — это искомая масса свежего мяса. Тогда мы можем составить уравнение:

$x \times 0.6 = 6 \text{ кг}$

Чтобы найти $x$, нужно разделить массу варёного мяса на долю, которую она составляет от массы свежего мяса:

$x = \frac{6}{0.6} = \frac{60}{6} = 10 \text{ кг}$

Ответ: чтобы получить 6 кг варёного мяса, нужно взять 10 кг свежего.

136. Найдите в справочной литературе, школьных учебниках по другим предметам, периодической печати или Интернете примеры применения процентов. Составьте задачу на проценты и решите её.

Примеры применения процентов

Проценты широко используются в различных сферах жизни для выражения доли чего-либо по отношению к целому. Вот несколько примеров из разных областей:

• Финансы и экономика:
  • Банковские вклады и кредиты: процентные ставки по депозитам (например, 5% годовых) и кредитам (например, 12% годовых).
  • Скидки в магазинах: во время распродаж цены на товары снижаются на определенный процент (например, "скидка 30% на всю зимнюю коллекцию").
  • Налоги: ставка налога на добавленную стоимость (НДС) составляет 20% в России, налог на доходы физических лиц (НДФЛ) — 13%.
  • Инфляция: изменение уровня цен в экономике выражается в процентах за год.
• Наука (химия, география, биология):
  • Химия: концентрация растворов (например, 9%-й раствор хлорида натрия — это физиологический раствор).
  • Биология: состав человеческого тела (около 60% воды), содержание питательных веществ в продуктах на этикетках.
  • География: влажность воздуха, процентное соотношение суши и воды на планете.
• Повседневная жизнь и технологии:
  • Заряд батареи телефона или ноутбука отображается в процентах.
  • Индикаторы выполнения задач на компьютере (загрузка файла, установка программы).
  • Результаты опросов и голосований (например, "за кандидата проголосовало 55% избирателей").

Задача на проценты и её решение

Условие задачи:
Ноутбук изначально стоил 60 000 рублей. Во время распродажи "Черная пятница" его цена была снижена на 20%. После окончания распродажи новую цену повысили на 15%. Какова стала итоговая цена ноутбука?

Решение:

1. Найдем цену ноутбука после снижения на 20%.
Скидка составляет 20% от первоначальной цены. Рассчитаем сумму скидки:
$60000 \cdot \frac{20}{100} = 60000 \cdot 0.2 = 12000$ рублей.
Теперь вычтем сумму скидки из первоначальной цены, чтобы найти цену во время распродажи:
$60000 - 12000 = 48000$ рублей.
Можно было решить и другим способом: если цена снизилась на 20%, то она стала составлять $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной.
$60000 \cdot 0.8 = 48000$ рублей.

2. Теперь найдем итоговую цену после повышения на 15%.
Важно помнить, что 15% рассчитываются от новой цены (48 000 рублей), а не от первоначальной.
Рассчитаем сумму повышения:
$48000 \cdot \frac{15}{100} = 48000 \cdot 0.15 = 7200$ рублей.
Прибавим эту сумму к цене после скидки, чтобы найти итоговую цену:
$48000 + 7200 = 55200$ рублей.
Другой способ: новая цена составит $100\% + 15\% = 115\%$ от цены распродажи.
$48000 \cdot 1.15 = 55200$ рублей.

Ответ: итоговая цена ноутбука составила 55 200 рублей.