Страница 26 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

95. Запишите проценты в виде дроби:

1 %, 5 %, 70 %, 100 %, 120 %, 150 %, 200 %, 1020 %.

Чтобы записать проценты в виде дроби, нужно убрать знак процента (%) и разделить число на 100. Затем, если возможно, следует сократить полученную дробь до простейшего вида.

96. Прочитайте предложение, запишите число процентов в виде дроби, прочитайте полученное предложение:

а) Число 25 составляет $25\%$ от 100.

б) Число 20 составляет $50\%$ от 40.

в) Число 500 увеличили на $10\%$ и получили 550.

а)

Исходное предложение: «Число 25 составляет 25 % от 100».

Чтобы записать проценты в виде дроби, нужно разделить число процентов на 100. Для 25% получаем:

$25\% = \frac{25}{100}$

Эту дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для 25 и 100 равен 25. Разделим числитель и знаменатель на 25:

$\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$

Теперь заменим 25% на дробь $\frac{1}{4}$ в исходном предложении. Получаем новое предложение:

«Число 25 составляет $\frac{1}{4}$ от 100».

Прочитаем его: «Число двадцать пять составляет одну четвертую от ста».

Проверим верность утверждения: $\frac{1}{4}$ от 100 вычисляется как $100 \cdot \frac{1}{4} = 25$. Утверждение верно.

Ответ: Число 25 составляет $\frac{1}{4}$ от 100.

б)

Исходное предложение: «Число 20 составляет 50 % от 40».

Выразим 50% в виде дроби, разделив 50 на 100:

$50\% = \frac{50}{100}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 50:

$\frac{50}{100} = \frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2}$

Заменим 50% на дробь $\frac{1}{2}$ в предложении. Получаем новое предложение:

«Число 20 составляет $\frac{1}{2}$ от 40».

Прочитаем его: «Число двадцать составляет одну вторую (или половину) от сорока».

Проверим верность утверждения: $\frac{1}{2}$ от 40 вычисляется как $40 \cdot \frac{1}{2} = 20$. Утверждение верно.

Ответ: Число 20 составляет $\frac{1}{2}$ от 40.

в)

Исходное предложение: «Число 500 увеличили на 10 % и получили 550».

Выразим 10% в виде дроби, разделив 10 на 100:

$10\% = \frac{10}{100}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$\frac{10}{100} = \frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10}$

Заменим 10% на дробь $\frac{1}{10}$ в предложении. Получаем новое предложение:

«Число 500 увеличили на $\frac{1}{10}$ и получили 550».

Прочитаем его: «Число пятьсот увеличили на одну десятую и получили пятьсот пятьдесят».

Проверим верность утверждения: $\frac{1}{10}$ от 500 это $500 \cdot \frac{1}{10} = 50$. Если число 500 увеличить на 50, получим $500 + 50 = 550$. Утверждение верно.

Ответ: Число 500 увеличили на $\frac{1}{10}$ и получили 550.

97. Запишите дроби в виде процентов:

а) $\frac{1}{100}, \frac{3}{100}, \frac{5}{100}, \frac{10}{100}, \frac{1}{10}, \frac{1}{20};$

б) $\frac{1}{50}, \frac{1}{5}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 2, 1\frac{15}{100}.$

Чтобы записать дробь в виде процентов, необходимо умножить эту дробь на 100 и добавить знак процента (%). Общая формула: $P = F \cdot 100\%$, где $F$ — это данное число (дробь), а $P$ — это число в процентах.

а)

$\frac{1}{100} \cdot 100\% = 1\%$.

$\frac{3}{100} \cdot 100\% = 3\%$.

$\frac{5}{100} \cdot 100\% = 5\%$.

$\frac{10}{100} \cdot 100\% = 10\%$.

$\frac{1}{10} \cdot 100\% = \frac{100}{10}\% = 10\%$.

$\frac{1}{20} \cdot 100\% = \frac{100}{20}\% = 5\%$.

Ответ: 1%, 3%, 5%, 10%, 10%, 5%.

б)

$\frac{1}{50} \cdot 100\% = \frac{100}{50}\% = 2\%$.

$\frac{1}{5} \cdot 100\% = \frac{100}{5}\% = 20\%$.

$\frac{1}{2} \cdot 100\% = \frac{100}{2}\% = 50\%$.

$\frac{1}{4} \cdot 100\% = \frac{100}{4}\% = 25\%$.

Целое число 2 можно представить как дробь $\frac{2}{1}$. Тогда $2 \cdot 100\% = 200\%$.

Смешанное число $1\frac{15}{100}$ сначала переведем в неправильную дробь: $1\frac{15}{100} = \frac{1 \cdot 100 + 15}{100} = \frac{115}{100}$. Затем умножим на 100%: $\frac{115}{100} \cdot 100\% = 115\%$.

Ответ: 2%, 20%, 50%, 25%, 200%, 115%.

?98. В начале XX века в России из каждых 100 человек, занятых в хозяйстве, 9 человек работали в промышленности, 75 работали в сельском хозяйстве, 9 человек работали в торговле. Выразите в процентах долю работников, занятых в промышленности, сельском хозяйстве и в торговле, от общего числа занятых в хозяйстве.

Для того чтобы выразить долю работников в процентах от общего числа, нужно количество работников в конкретной отрасли разделить на общее число занятых и умножить результат на 100%. В данной задаче за общее число занятых в хозяйстве принимается 100 человек.

Доля работников, занятых в промышленности
Согласно условию, в промышленности работало 9 человек из 100. Выразим эту долю в процентах:
$ \frac{9}{100} \times 100\% = 9\% $
Ответ: 9%

Доля работников, занятых в сельском хозяйстве
В сельском хозяйстве было занято 75 человек из 100. Рассчитаем их долю в процентах:
$ \frac{75}{100} \times 100\% = 75\% $
Ответ: 75%

Доля работников, занятых в торговле
В торговле было занято 9 человек из 100. Их доля в процентах составляет:
$ \frac{9}{100} \times 100\% = 9\% $
Ответ: 9%

99. Найдите 1 % от:

a) 1 метра;

б) 1 центнера;

в) 1 килограмма.

а) 1 метра

Чтобы найти $1\%$ от какой-либо величины, нужно разделить эту величину на 100. В данном случае мы ищем $1\%$ от 1 метра.

Для удобства вычислений переведем метры в сантиметры. В одном метре 100 сантиметров:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Теперь найдем $1\%$ от 100 сантиметров, разделив это значение на 100:

$100 \text{ см} \div 100 = 1 \text{ см}$

Таким образом, $1\%$ от 1 метра равен 1 сантиметру.

Ответ: 1 см.

б) 1 центнера

Один процент ($1\%$) — это одна сотая часть от целого. Чтобы найти $1\%$ от 1 центнера, разделим 1 центнер на 100.

Переведем центнеры в килограммы для более наглядного результата. В одном центнере 100 килограммов:

$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$

Найдем $1\%$ от 100 килограммов:

$100 \text{ кг} \div 100 = 1 \text{ кг}$

Следовательно, $1\%$ от 1 центнера составляет 1 килограмм.

Ответ: 1 кг.

в) 1 килограмма

Для нахождения $1\%$ от 1 килограмма, необходимо разделить 1 килограмм на 100.

Чтобы получить ответ в целых числах, переведем килограммы в граммы. В одном килограмме 1000 граммов:

$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$

Теперь найдем $1\%$ от 1000 граммов:

$1000 \text{ г} \div 100 = 10 \text{ г}$

Таким образом, $1\%$ от 1 килограмма равен 10 граммам.

Ответ: 10 г.

100. Найдите $5\%$, $17\%$, $23\%$ от:

а) 1 метра;

б) 1 центнера;

в) 1 килограмма.

Чтобы найти процент от некоторой величины, нужно представить процент в виде дроби и умножить эту величину на полученную дробь. Для удобства вычислений сначала переведем исходные величины в более мелкие единицы измерения.

а) 1 метра

В одном метре содержится 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

5% от 100 см: $100 \text{ см} \times \frac{5}{100} = 5 \text{ см}$.

17% от 100 см: $100 \text{ см} \times \frac{17}{100} = 17 \text{ см}$.

23% от 100 см: $100 \text{ см} \times \frac{23}{100} = 23 \text{ см}$.

Ответ: 5 см, 17 см, 23 см.

б) 1 центнера

В одном центнере содержится 100 килограммов: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.

5% от 100 кг: $100 \text{ кг} \times \frac{5}{100} = 5 \text{ кг}$.

17% от 100 кг: $100 \text{ кг} \times \frac{17}{100} = 17 \text{ кг}$.

23% от 100 кг: $100 \text{ кг} \times \frac{23}{100} = 23 \text{ кг}$.

Ответ: 5 кг, 17 кг, 23 кг.

в) 1 килограмма

В одном килограмме содержится 1000 граммов: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

5% от 1000 г: $1000 \text{ г} \times \frac{5}{100} = 10 \times 5 = 50 \text{ г}$.

17% от 1000 г: $1000 \text{ г} \times \frac{17}{100} = 10 \times 17 = 170 \text{ г}$.

23% от 1000 г: $1000 \text{ г} \times \frac{23}{100} = 10 \times 23 = 230 \text{ г}$.

Ответ: 50 г, 170 г, 230 г.

101. Найтите:

а) $1 \%$ от $100$;

б) $1 \%$ от $300$;

в) $5 \%$ от $40$;

г) $7 \%$ от $200$;

д) $20 \%$ от $15$;

е) $25 \%$ от $48$;

ж) $100 \%$ от $49$;

з) $120 \%$ от $250$;

и) $200 \%$ от $300$.

Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной или обыкновенной дроби и умножить на это число. Процент — это одна сотая часть числа, поэтому $1\% = \frac{1}{100} = 0.01$.

а) 1% от 100.
Чтобы найти 1% от 100, нужно 100 разделить на 100 и умножить на 1.
$100 \cdot \frac{1}{100} = 1$.
Ответ: 1.

б) 1% от 300.
Чтобы найти 1% от 300, нужно 300 разделить на 100 и умножить на 1.
$300 \cdot \frac{1}{100} = 3$.
Ответ: 3.

в) 5% от 40.
Чтобы найти 5% от 40, нужно 40 разделить на 100 и умножить на 5.
$40 \cdot \frac{5}{100} = 40 \cdot 0.05 = 2$.
Ответ: 2.

г) 7% от 200.
Чтобы найти 7% от 200, нужно 200 разделить на 100 и умножить на 7.
$200 \cdot \frac{7}{100} = 2 \cdot 7 = 14$.
Ответ: 14.

д) 20% от 15.
Чтобы найти 20% от 15, нужно 15 разделить на 100 и умножить на 20.
$15 \cdot \frac{20}{100} = 15 \cdot \frac{1}{5} = 3$.
Ответ: 3.

е) 25% от 48.
25% — это четверть числа. Чтобы найти 25% от 48, можно 48 разделить на 4.
$48 \cdot \frac{25}{100} = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12$.
Ответ: 12.

ж) 100% от 49.
100% — это само число.
$49 \cdot \frac{100}{100} = 49 \cdot 1 = 49$.
Ответ: 49.

з) 120% от 250.
Чтобы найти 120% от 250, нужно 250 разделить на 100 и умножить на 120.
$250 \cdot \frac{120}{100} = 250 \cdot 1.2 = 300$.
Ответ: 300.

и) 200% от 300.
200% — это число, вдвое большее исходного.
$300 \cdot \frac{200}{100} = 300 \cdot 2 = 600$.
Ответ: 600.

102. Служащий вложил 500 р. в акции своего предприятия и получил 20 % дохода. Сколько рублей дохода он получил?

Чтобы найти сумму дохода, необходимо рассчитать 20% от вложенной суммы в 500 рублей. Для этого можно воспользоваться одним из следующих способов.

1. Вычисление через десятичную дробь

Переведем проценты в десятичную дробь. Для этого разделим процентное значение на 100:

$20\% = \frac{20}{100} = 0.2$

Теперь умножим исходную сумму на полученное значение:

$500 \text{ рублей} \cdot 0.2 = 100 \text{ рублей}$

2. Вычисление с помощью пропорции

Примем вложенную сумму (500 рублей) за 100%. Искомую сумму дохода обозначим через $x$, что соответствует 20%.

Составим пропорцию:

$500 \text{ рублей} \quad — \quad 100\%$

$x \text{ рублей} \quad — \quad 20\%$

Отсюда получаем:

$\frac{x}{500} = \frac{20}{100}$

Выразим $x$:

$x = \frac{500 \cdot 20}{100} = \frac{10000}{100} = 100 \text{ рублей}$

Оба способа дают одинаковый результат. Доход служащего составил 100 рублей.

Ответ: 100 рублей.

103. Какую часть числа составляют его:

а) $1\%$;

б) $5\%$;

в) $10\%$;

г) $20\%$;

д) $25\%$;

е) $50\%$;

ж) $75\%$;

з) $100\%$?

Чтобы найти, какую часть от числа составляет указанный процент, необходимо представить этот процент в виде обыкновенной дроби. Для этого число процентов нужно записать в числитель, а в знаменатель поставить 100. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

а) Представим 1% в виде дроби. 1% — это одна сотая часть числа.
$1\% = \frac{1}{100}$
Эта дробь является несократимой.Ответ: $\frac{1}{100}$

б) Представим 5% в виде дроби и сократим её.
$5\% = \frac{5}{100}$
Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:$\frac{5 \div 5}{100 \div 5} = \frac{1}{20}$Ответ: $\frac{1}{20}$

в) Представим 10% в виде дроби и сократим её.
$10\% = \frac{10}{100}$
Сократим дробь на 10:$\frac{10 \div 10}{100 \div 10} = \frac{1}{10}$Ответ: $\frac{1}{10}$

г) Представим 20% в виде дроби и сократим её.
$20\% = \frac{20}{100}$
Сократим дробь на 20:$\frac{20 \div 20}{100 \div 20} = \frac{1}{5}$Ответ: $\frac{1}{5}$

д) Представим 25% в виде дроби и сократим её.
$25\% = \frac{25}{100}$
Сократим дробь на 25:$\frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$Ответ: $\frac{1}{4}$

е) Представим 50% в виде дроби и сократим её.
$50\% = \frac{50}{100}$
Сократим дробь на 50:$\frac{50 \div 50}{100 \div 50} = \frac{1}{2}$Ответ: $\frac{1}{2}$

ж) Представим 75% в виде дроби и сократим её.
$75\% = \frac{75}{100}$
Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 25:$\frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$Ответ: $\frac{3}{4}$

з) Представим 100% в виде дроби.
$100\% = \frac{100}{100} = 1$
100% составляет целое число, то есть само число.Ответ: $1$

104. Вычислите:

а) $50\%$ от $400$;

б) $10\%$ от $20$;

в) $25\%$ от $16$;

г) $75\%$ от $8$.

а) Чтобы найти 50% от числа 400, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на это число. 50% — это $50/100 = 0,5$. Также 50% — это половина.
Вычисление: $400 \times 0,5 = 200$.
Или, как половину от числа: $400 \div 2 = 200$.
Ответ: 200.

б) Чтобы найти 10% от числа 20, представим 10% в виде десятичной дроби: $10\% = 10/100 = 0,1$. 10% — это одна десятая часть числа.
Вычисление: $20 \times 0,1 = 2$.
Или, как десятую часть: $20 \div 10 = 2$.
Ответ: 2.

в) Чтобы найти 25% от числа 16, представим 25% в виде десятичной дроби: $25\% = 25/100 = 0,25$. 25% — это одна четвертая часть (четверть) числа.
Вычисление: $16 \times 0,25 = 4$.
Или, как четверть: $16 \div 4 = 4$.
Ответ: 4.

г) Чтобы найти 75% от числа 8, представим 75% в виде десятичной дроби: $75\% = 75/100 = 0,75$. 75% — это три четверти ($3/4$) числа.
Вычисление: $8 \times 0,75 = 6$.
Или, как три четверти: $(8 \div 4) \times 3 = 2 \times 3 = 6$.
Ответ: 6.

105. Из сахарной свёклы получают сахар, масса которого составляет $18 \text{ %}$ массы свёклы. Сколько сахара получится при переработке:

а) 40 т свёклы;

б) 30 т свёклы;

в) 500 т свёклы?

По условию задачи, масса сахара составляет 18% от массы переработанной сахарной свёклы. Чтобы найти, сколько сахара получится, нужно найти 18% от указанной массы свёклы.

Для этого сначала переведем проценты в десятичную дробь:

$18\% = \frac{18}{100} = 0.18$

Теперь мы можем найти массу сахара для каждого случая, умножив массу свёклы на полученную дробь.

а) Рассчитаем массу сахара, получаемого из 40 т свёклы:

$40 \text{ т} \times 0.18 = 7.2 \text{ т}$

Ответ: 7,2 т.

б) Рассчитаем массу сахара, получаемого из 30 т свёклы:

$30 \text{ т} \times 0.18 = 5.4 \text{ т}$

Ответ: 5,4 т.

в) Рассчитаем массу сахара, получаемого из 500 т свёклы:

$500 \text{ т} \times 0.18 = 90 \text{ т}$

Ответ: 90 т.

106. Магнитный железняк содержит 70 % чистого железа. Сколько тонн железа в 13 т железняка?

Для того чтобы найти, сколько тонн чистого железа содержится в 13 тоннах магнитного железняка, необходимо вычислить 70% от общей массы руды.

1. Сначала представим проценты в виде десятичной дроби. Для этого разделим число процентов на 100:

$70\% = \frac{70}{100} = 0.7$

2. Теперь умножим общую массу железняка на полученную долю, чтобы найти массу чистого железа:

$13 \text{ т} \times 0.7 = 9.1 \text{ т}$

Таким образом, в 13 тоннах магнитного железняка содержится 9,1 тонны чистого железа.

Ответ: 9.1 т

107. Сплав содержит 62 % олова и 38 % свинца. Сколько граммов олова и сколько свинца в 400 г сплава?

Для того чтобы найти, сколько граммов олова и свинца содержится в 400 г сплава, необходимо вычислить массу каждого металла, исходя из его процентного содержания.

Сколько граммов олова

Известно, что сплав содержит 62% олова. Общая масса сплава составляет 400 г. Чтобы найти массу олова, нужно найти 62% от 400 г.

1. Переведем проценты в десятичную дробь:

$62\% = \frac{62}{100} = 0.62$

2. Умножим общую массу сплава на полученную дробь:

$400 \text{ г} \cdot 0.62 = 248 \text{ г}$

Таким образом, масса олова в сплаве составляет 248 г.

Сколько граммов свинца

Сплав содержит 38% свинца. Массу свинца можно найти двумя способами.

Способ 1: Аналогично расчету массы олова.

1. Переведем проценты в десятичную дробь:

$38\% = \frac{38}{100} = 0.38$

2. Умножим общую массу сплава на эту дробь:

$400 \text{ г} \cdot 0.38 = 152 \text{ г}$

Способ 2: Вычитание массы олова из общей массы сплава.

Поскольку сплав состоит только из олова и свинца, масса свинца равна разности общей массы сплава и массы олова.

$400 \text{ г} - 248 \text{ г} = 152 \text{ г}$

Оба способа дают одинаковый результат, что подтверждает верность расчетов.

Ответ: в 400 г сплава содержится 248 г олова и 152 г свинца.