Страница 21 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

70. Какова зависимость между:

а) количеством одинаковых тракторов и площадью, которую они вспашут за один день;

б) числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет;

в) количеством одинаковых тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

а) количеством одинаковых тракторов и площадью, которую они вспашут за один день
Между количеством одинаковых тракторов и площадью, которую они вспашут за один день, существует прямая пропорциональная зависимость. Это означает, что во сколько раз увеличится количество тракторов, во столько же раз увеличится и площадь, которую они вспашут за один день (при условии, что все тракторы работают с одинаковой производительностью).
Если обозначить количество тракторов как $N$, а площадь, которую один трактор вспахивает за день, как $s$ (производительность), то общая вспаханная площадь $S$ за день вычисляется по формуле: $S = N \cdot s$.
Поскольку производительность одного трактора $s$ является постоянной величиной, то с увеличением $N$ прямо пропорционально растет и $S$.
Ответ: прямая пропорциональная зависимость.

б) числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет
Между числом дней работы трактора и площадью, которую он вспашет, также существует прямая пропорциональная зависимость. Чем больше дней работает трактор, тем большую площадь он обработает.
Если обозначить число дней как $D$, а производительность трактора (площадь, вспахиваемая за один день) как $s$, то общая вспаханная площадь $S$ будет равна: $S = D \cdot s$.
Так как производительность $s$ трактора постоянна, то при увеличении количества дней $D$ в несколько раз, итоговая площадь $S$ увеличится во столько же раз.
Ответ: прямая пропорциональная зависимость.

в) количеством одинаковых тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле
Между количеством одинаковых тракторов и числом дней, необходимых для вспашки одного и того же поля, существует обратная пропорциональная зависимость. Это означает, что чем больше тракторов будет задействовано в работе, тем меньше дней потребуется для выполнения всего объёма работы (вспашки поля).
Пусть $S_{поле}$ — это постоянная площадь поля, которую нужно вспахать. Пусть $N$ — количество тракторов, $D$ — число дней, а $s$ — производительность одного трактора в день. Общий объем работы равен произведению суммарной производительности всех тракторов на время работы: $S_{поле} = (N \cdot s) \cdot D$.
Из этой формулы можно выразить зависимость между $N$ и $D$: $N \cdot D = \frac{S_{поле}}{s}$.
Поскольку площадь поля $S_{поле}$ и производительность одного трактора $s$ — величины постоянные, их отношение $\frac{S_{поле}}{s}$ также является константой. Следовательно, произведение $N \cdot D$ постоянно. Это и есть определение обратной пропорциональности: во сколько раз увеличится одна величина ($N$), во столько же раз уменьшится другая ($D$).
Ответ: обратная пропорциональная зависимость.

71. a) Покупают одинаковые тетради. Какова зависимость между количеством тетрадей и стоимостью всей покупки?

б) Некто хочет проехать расстояние между двумя городами с постоянной скоростью. Какова зависимость между скоростью и временем движения?

а)

Обозначим стоимость всей покупки как $C$, количество тетрадей как $n$, а цену одной тетради как $p$. Поскольку все тетради одинаковые, их цена $p$ является постоянной величиной (константой).

Стоимость всей покупки равна произведению цены одной тетради на их количество. Эту зависимость можно выразить формулой:

$C = p \cdot n$

Из этой формулы видно, что при увеличении количества тетрадей $n$ в несколько раз, стоимость покупки $C$ увеличится во столько же раз. Например, если купить в 2 раза больше тетрадей, то и заплатить придется в 2 раза больше. Такая зависимость называется прямой пропорциональностью. Стоимость покупки прямо пропорциональна количеству тетрадей.

Ответ: Прямая пропорциональность.

б)

Обозначим расстояние между городами как $S$, скорость движения как $v$, а время движения как $t$. Расстояние $S$ между двумя городами — это постоянная величина (константа).

Расстояние, скорость и время связаны следующей формулой:

$S = v \cdot t$

Чтобы найти зависимость между скоростью $v$ и временем $t$, выразим одну величину через другую, зная, что $S$ постоянно. Например, выразим время:

$t = \frac{S}{v}$

Из этой формулы видно, что при увеличении скорости $v$ в несколько раз, время движения $t$ уменьшится во столько же раз. Например, если ехать в 2 раза быстрее, то на дорогу уйдет в 2 раза меньше времени. Такая зависимость называется обратной пропорциональностью. Время движения обратно пропорционально скорости.

Ответ: Обратная пропорциональность.

72. За 6 ч поезд прошёл 480 км. Сколько километров поезд прошёл за первые 2 ч, двигаясь с постоянной скоростью?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти скорость поезда, а затем, используя эту скорость, вычислить расстояние, пройденное за 2 часа.

1. Вычисление скорости поезда

Скорость ($v$) вычисляется по формуле $v = S / t$, где $S$ — это расстояние, а $t$ — время. По условию задачи, поезд прошел расстояние $S = 480$ км за время $t = 6$ ч. Так как скорость поезда постоянна, мы можем ее найти:

$v = 480 \text{ км} / 6 \text{ ч} = 80 \text{ км/ч}$

Таким образом, скорость поезда составляет 80 километров в час.

2. Вычисление расстояния за 2 часа

Теперь, зная постоянную скорость поезда, мы можем найти расстояние, которое он прошел за 2 часа. Используем ту же формулу, преобразовав ее для нахождения расстояния: $S = v * t$.

Подставим известные значения: скорость $v = 80$ км/ч и время $t = 2$ ч.

$S = 80 \text{ км/ч} * 2 \text{ ч} = 160 \text{ км}$

Ответ: За первые 2 часа поезд прошёл 160 км.

73. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песку надо взять на 12 кг ягод?

Для решения этой задачи нужно определить, как изменится необходимое количество сахара при увеличении количества ягод. Мы видим, что количество ягод увеличилось с 6 кг до 12 кг. Найдем, во сколько раз оно увеличилось:

$12 \text{ кг} \div 6 \text{ кг} = 2$

Количество ягод увеличилось в 2 раза. Поскольку для приготовления варенья по тому же рецепту соотношение продуктов должно сохраняться, количество сахарного песка также нужно увеличить в 2 раза.

Изначально на 6 кг ягод брали 4 кг сахарного песка. Умножим это количество на 2:

$4 \text{ кг} \times 2 = 8 \text{ кг}$

Следовательно, на 12 кг ягод потребуется 8 кг сахарного песку.

Ответ: 8 кг.

74. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов ягод надо взять на 12 кг сахарного песку?

Для решения этой задачи воспользуемся методом пропорций, поскольку количество ягод и количество сахара для варенья — это прямо пропорциональные величины. Это значит, что во сколько раз увеличивается количество сахара, во столько же раз должно увеличиться и количество ягод.

Пусть $x$ — это искомое количество килограммов ягод.

Составим пропорцию на основе данных из условия задачи:

6 кг ягод соответствует 4 кг сахара.

$x$ кг ягод соответствует 12 кг сахара.

Отношение количества ягод к количеству сахара должно оставаться неизменным. Запишем это в виде математической пропорции:

$\frac{6}{4} = \frac{x}{12}$

Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, можно воспользоваться основным свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$6 \times 12 = 4 \times x$

$72 = 4x$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{72}{4}$

$x = 18$

Таким образом, на 12 кг сахарного песку потребуется 18 кг ягод.

Ответ: 18 кг.

75. a) В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько соли содержится в 300 г этого раствора?
б) В 4000 г раствора содержится 80 г соли. Сколько соли содержится в 200 г этого раствора?

а)

Чтобы найти количество соли в 300 г раствора, сначала определим, во сколько раз новая масса раствора больше исходной. Исходная масса — 100 г, новая — 300 г.
Найдем отношение масс:
$300 \text{ г} \div 100 \text{ г} = 3$
Масса раствора увеличилась в 3 раза. Поскольку концентрация соли в растворе постоянна, масса соли также увеличится в 3 раза.
$4 \text{ г} \times 3 = 12 \text{ г}$
Ответ: 12 г.

б)

Решим эту задачу аналогичным способом. Исходная масса раствора — 4000 г, а новая — 200 г. Найдем, во сколько раз изменилась масса раствора.
$4000 \text{ г} \div 200 \text{ г} = 20$
Масса раствора уменьшилась в 20 раз. Следовательно, количество соли в нем также уменьшилось в 20 раз.
$80 \text{ г} \div 20 = 4 \text{ г}$
Ответ: 4 г.

76. Расстояние между двумя городами первый поезд прошёл со скоростью $80 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ за 3 ч. За сколько часов второй поезд пройдёт то же расстояние со скоростью $60 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти расстояние между городами, используя данные о движении первого поезда, а затем рассчитать время, которое потребуется второму поезду, чтобы преодолеть это расстояние.

1. Найдём расстояние ($S$) между городами. Оно вычисляется по формуле: $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время.
Скорость первого поезда $v_1 = 80$ км/ч.
Время в пути первого поезда $t_1 = 3$ ч.
$S = 80 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 240 \text{ км}$.

2. Теперь, зная расстояние, найдём время ($t_2$), которое потребуется второму поезду. Оно вычисляется по формуле: $t = S / v$.
Расстояние $S = 240$ км.
Скорость второго поезда $v_2 = 60$ км/ч.
$t_2 = 240 \text{ км} / 60 \text{ км/ч} = 4 \text{ ч}$.

Ответ: 4 часа.

77. Пять маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней тот же забор покрасят:

а) 10 маляров;

б) 1 маляр?

Данная задача описывает обратно пропорциональную зависимость: чем больше работников (маляров), тем меньше времени (дней) им потребуется для выполнения одного и того же объема работы. Произведение количества маляров на количество дней является постоянной величиной, которая представляет собой общий объем работы в "человеко-днях".

1. Сначала вычислим общий объем работы, необходимый для покраски забора.

$5 \text{ маляров} \times 8 \text{ дней} = 40 \text{ человеко-дней}$

Таким образом, для покраски забора требуется 40 человеко-дней работы.

Теперь, зная общий объем работы, мы можем рассчитать время для разного количества маляров.

а)

Нам нужно определить, сколько дней потребуется 10 малярам. Разделим общий объем работы на количество маляров:

$\text{Время} = \frac{\text{Общий объем работы}}{\text{Количество маляров}} = \frac{40 \text{ человеко-дней}}{10 \text{ маляров}} = 4 \text{ дня}$

Также можно заметить, что количество маляров увеличилось в 2 раза ($10 \div 5 = 2$). Поскольку зависимость обратная, время выполнения работы уменьшится в 2 раза:

$8 \text{ дней} \div 2 = 4 \text{ дня}$

Ответ: 4 дня.

б)

Теперь определим, сколько дней потребуется одному маляру. Разделим общий объем работы на одного маляра:

$\text{Время} = \frac{40 \text{ человеко-дней}}{1 \text{ маляр}} = 40 \text{ дней}$

Также можно заметить, что количество маляров уменьшилось в 5 раз ($5 \div 1 = 5$). Следовательно, время выполнения работы увеличится в 5 раз:

$8 \text{ дней} \times 5 = 40 \text{ дней}$

Ответ: 40 дней.

78. 8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 14 м сукна?

Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Решение по действиям

1. Сначала найдем, сколько метров ситца можно купить за ту же цену, что и 1 метр сукна. Для этого разделим количество метров ситца на количество метров сукна из условия:

$63 \div 8 = 7,875$ (м)

Это означает, что 1 метр сукна стоит столько же, сколько 7,875 метров ситца.

2. Теперь узнаем, сколько метров ситца можно купить вместо 14 метров сукна. Для этого умножим количество метров ситца, эквивалентное 1 метру сукна, на 14:

$7,875 \times 14 = 110,25$ (м)

Способ 2: Составление пропорции

Пусть $x$ — это искомое количество метров ситца, которое можно купить вместо 14 м сукна. Составим прямую пропорцию, так как соотношение количества сукна к эквивалентному по стоимости количеству ситца постоянно:

8 м сукна — 63 м ситца

14 м сукна — $x$ м ситца

Запишем это соотношение в виде пропорции:

$\frac{8}{14} = \frac{63}{x}$

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$8 \cdot x = 14 \cdot 63$

$8x = 882$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{882}{8}$

$x = 110,25$ (м)

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 110,25 м ситца.

79. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса.

Для решения этой задачи необходимо понять, что количество косцов и время, за которое они выпивают бочонок кваса, находятся в обратной пропорциональной зависимости. Это означает, что чем меньше времени дается на работу, тем больше косцов потребуется, чтобы ее выполнить.

1. Сначала вычислим общий объем "работы" в "косцо-часах", необходимый для того, чтобы выпить один бочонок кваса. Для этого умножим количество косцов на затраченное время:

$6 \text{ косцов} \times 8 \text{ часов} = 48 \text{ косцо-часов}$

Таким образом, чтобы выпить весь квас, требуется совершить работу, равную 48 косцо-часам.

2. Теперь, зная общий объем работы, мы можем найти, сколько косцов потребуется, чтобы выполнить ее за 3 часа. Для этого разделим общий объем работы на новое время:

$\frac{48 \text{ косцо-часов}}{3 \text{ часа}} = 16 \text{ косцов}$

Следовательно, чтобы выпить такой же бочонок кваса за 3 часа, понадобится 16 косцов.

Ответ: 16 косцов.

80. Из «Арифметики» А. П. Киселёва. 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти стоимость одного аршина сукна, а затем умножить её на требуемое количество аршин.

1. Вычисление стоимости одного аршина сукна.
Из условия известно, что 8 аршин сукна стоят 30 рублей. Чтобы найти цену за один аршин, разделим общую стоимость на количество аршин:
$ \frac{30 \text{ р.}}{8 \text{ аршин}} = 3.75 \text{ р.} $
Таким образом, стоимость одного аршина сукна составляет 3,75 рубля (3 рубля 75 копеек).

2. Вычисление стоимости 15 аршин сукна.
Теперь, зная цену одного аршина, можно найти общую стоимость 15 аршин, умножив цену за единицу на количество:
$ 3.75 \text{ р./аршин} \times 15 \text{ аршин} = 56.25 \text{ р.} $

Также эту задачу можно решить с помощью пропорции. Пусть $x$ — искомая стоимость 15 аршин. Тогда:
$ \frac{8 \text{ аршин}}{30 \text{ р.}} = \frac{15 \text{ аршин}}{x \text{ р.}} $
Решая пропорцию, получаем:
$ 8 \cdot x = 30 \cdot 15 $
$ 8x = 450 $
$ x = \frac{450}{8} = 56.25 \text{ р.} $

Ответ: 15 аршин этого сукна стоят 56,25 р. (пятьдесят шесть рублей двадцать пять копеек).

81. Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошёл 720 км. Какое расстояние пройдёт за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

Для того чтобы найти расстояние, которое пройдёт пассажирский поезд, сначала необходимо определить время, которое был в пути товарный поезд. Время ($t$) можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость.
Из условий задачи известно, что товарный поезд прошёл расстояние $S_{товарного} = 720$ км со скоростью $v_{товарного} = 80$ км/ч. Вычислим время:
$t = \frac{720 \text{ км}}{80 \text{ км/ч}} = 9$ часов.

Пассажирский поезд находился в пути то же самое время, то есть 9 часов. Теперь, зная время и скорость пассажирского поезда ($v_{пассажирского} = 60$ км/ч), мы можем найти расстояние, которое он пройдёт ($S_{пассажирского}$), по формуле $S = v \times t$:
$S_{пассажирского} = 60 \text{ км/ч} \times 9 \text{ часов} = 540$ км.

Ответ: 540 км.