Страница 17 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

51. Замените пропорцией равенство:

а) $12 \cdot 2 = 6 \cdot 4;$

б) $15 \cdot 6 = 9 \cdot 10;$

в) $42 \cdot 4 = 84 \cdot 2;$

г) $24 \cdot 10 = 2 \cdot 120.$

Основное свойство пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ заключается в том, что произведение её крайних членов равно произведению средних: $a \cdot d = b \cdot c$. Чтобы преобразовать равенство вида $X \cdot Y = Z \cdot W$ в пропорцию, нужно выполнить обратное действие. Этого можно достичь, разделив обе части равенства на произведение двух сомножителей, по одному из каждой части.

а)

Дано равенство: $12 \cdot 2 = 6 \cdot 4$.

Проверим его истинность: $24 = 24$. Равенство верно.

Чтобы составить пропорцию, разделим обе части равенства на произведение одного множителя из левой части и одного из правой, например, на $6 \cdot 2$.

$\frac{12 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{6 \cdot 4}{6 \cdot 2}$

После сокращения дробей получаем пропорцию:

$\frac{12}{6} = \frac{4}{2}$

Проверим полученную пропорцию: $12 \div 6 = 2$ и $4 \div 2 = 2$. Так как $2=2$, пропорция верна.

Ответ: $\frac{12}{6} = \frac{4}{2}$

б)

Дано равенство: $15 \cdot 6 = 9 \cdot 10$.

Проверим его истинность: $90 = 90$. Равенство верно.

Чтобы составить пропорцию, разделим обе части равенства на произведение, составленное из множителей разных частей равенства, например, на $9 \cdot 6$.

$\frac{15 \cdot 6}{9 \cdot 6} = \frac{9 \cdot 10}{9 \cdot 6}$

После сокращения дробей получаем пропорцию:

$\frac{15}{9} = \frac{10}{6}$

Проверим полученную пропорцию, сократив дроби: $\frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ и $\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$. Так как $\frac{5}{3}=\frac{5}{3}$, пропорция верна.

Ответ: $\frac{15}{9} = \frac{10}{6}$

в)

Дано равенство: $42 \cdot 4 = 84 \cdot 2$.

Проверим его истинность: $168 = 168$. Равенство верно.

Чтобы составить пропорцию, разделим обе части равенства на произведение, составленное из множителей разных частей равенства, например, на $84 \cdot 4$.

$\frac{42 \cdot 4}{84 \cdot 4} = \frac{84 \cdot 2}{84 \cdot 4}$

После сокращения дробей получаем пропорцию:

$\frac{42}{84} = \frac{2}{4}$

Проверим полученную пропорцию, сократив дроби: $\frac{42}{84} = \frac{1}{2}$ и $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, пропорция верна.

Ответ: $\frac{42}{84} = \frac{2}{4}$

г)

Дано равенство: $24 \cdot 10 = 2 \cdot 120$.

Проверим его истинность: $240 = 240$. Равенство верно.

Чтобы составить пропорцию, разделим обе части равенства на произведение, составленное из множителей разных частей равенства, например, на $2 \cdot 10$.

$\frac{24 \cdot 10}{2 \cdot 10} = \frac{2 \cdot 120}{2 \cdot 10}$

После сокращения дробей получаем пропорцию:

$\frac{24}{2} = \frac{120}{10}$

Проверим полученную пропорцию: $24 \div 2 = 12$ и $120 \div 10 = 12$. Так как $12=12$, пропорция верна.

Ответ: $\frac{24}{2} = \frac{120}{10}$

52. Из данной пропорции получите новую, поменяв местами крайние члены (средние члены):

а) $\frac{25}{13} = \frac{50}{26}$;

б) $28 : 25 = 84 : 75.$

а) В данной пропорции $\frac{25}{13} = \frac{50}{26}$, которая также может быть записана как $25 : 13 = 50 : 26$, крайними членами являются числа 25 и 26, а средними – 13 и 50.

Чтобы получить новую пропорцию, можно поменять местами крайние члены. Заменим 25 на 26 и 26 на 25. Новая пропорция будет выглядеть так:
$\frac{26}{13} = \frac{50}{25}$.
Проверим, верна ли она. Произведение крайних членов: $26 \cdot 25 = 650$. Произведение средних членов: $13 \cdot 50 = 650$. Так как произведения равны ($650=650$), пропорция верна.

Также можно получить новую пропорцию, поменяв местами средние члены. Заменим 13 на 50 и 50 на 13. Новая пропорция:
$\frac{25}{50} = \frac{13}{26}$.
Проверим ее. Произведение крайних членов: $25 \cdot 26 = 650$. Произведение средних членов: $50 \cdot 13 = 650$. Пропорция также верна.
Ответ: $\frac{26}{13} = \frac{50}{25}$ или $\frac{25}{50} = \frac{13}{26}$.

б) В данной пропорции $28 : 25 = 84 : 75$ крайними членами являются числа 28 и 75, а средними – 25 и 84.

Поменяем местами крайние члены (28 и 75). Получим новую пропорцию:
$75 : 25 = 84 : 28$.
Проверим ее, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $75 \cdot 28 = 2100$ и $25 \cdot 84 = 2100$. Так как $2100 = 2100$, пропорция верна.

Теперь поменяем местами средние члены (25 и 84) в исходной пропорции. Получим:
$28 : 84 = 25 : 75$.
Проверим ее: $28 \cdot 75 = 2100$ и $84 \cdot 25 = 2100$. Пропорция также верна.
Ответ: $75 : 25 = 84 : 28$ или $28 : 84 = 25 : 75$.

Решите пропорцию (53–58):

53. a) $\frac{x}{2} = \frac{3}{7}$;

б) $\frac{x}{3} = \frac{2}{5}$;

в) $\frac{x}{12} = \frac{7}{10}$;

г) $\frac{x}{16} = \frac{9}{32}$;

а)

Дана пропорция: $\frac{x}{2} = \frac{3}{7}$.
Согласно основному свойству пропорции (правило перекрестного умножения), произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$x \cdot 7 = 2 \cdot 3$
$7x = 6$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 7:
$x = \frac{6}{7}$
Ответ: $x = \frac{6}{7}$.

б)

Дана пропорция: $\frac{x}{3} = \frac{2}{5}$.
Воспользуемся основным свойством пропорции:
$x \cdot 5 = 3 \cdot 2$
$5x = 6$
Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x$:
$x = \frac{6}{5}$
Этот ответ можно также представить в виде смешанной дроби $1\frac{1}{5}$ или десятичной дроби $1.2$.
Ответ: $x = \frac{6}{5}$.

в)

Дана пропорция: $\frac{x}{12} = \frac{7}{10}$.
По основному свойству пропорции:
$x \cdot 10 = 12 \cdot 7$
$10x = 84$
Найдем $x$, разделив обе части на 10:
$x = \frac{84}{10}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$x = \frac{42}{5}$
Этот ответ можно также представить в виде смешанной дроби $8\frac{2}{5}$ или десятичной дроби $8.4$.
Ответ: $x = \frac{42}{5}$.

г)

Дана пропорция: $\frac{x}{16} = \frac{9}{32}$.
По основному свойству пропорции:
$x \cdot 32 = 16 \cdot 9$
Выразим $x$ из этого уравнения:
$x = \frac{16 \cdot 9}{32}$
Сократим дробь на 16 (так как $32 = 2 \cdot 16$):
$x = \frac{9}{2}$
Этот ответ можно также представить в виде смешанной дроби $4\frac{1}{2}$ или десятичной дроби $4.5$.
Ответ: $x = \frac{9}{2}$.

54. a) $\frac{7}{8} = \frac{x}{6}$

б) $\frac{13}{15} = \frac{x}{10}$

в) $\frac{12}{21} = \frac{x}{14}$

г) $\frac{48}{51} = \frac{x}{34}$

а) Дана пропорция $ \frac{7}{8} = \frac{x}{6} $. Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, воспользуемся основным свойством пропорции (правилом перекрестного умножения): произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$ 7 \cdot 6 = 8 \cdot x $

$ 42 = 8x $

Отсюда находим $x$:

$ x = \frac{42}{8} $

Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$ x = \frac{21}{4} $

Этот результат можно также представить в виде смешанного числа $5 \frac{1}{4}$ или десятичной дроби $5.25$.

Ответ: $ x = \frac{21}{4} $

б) Дана пропорция $ \frac{13}{15} = \frac{x}{10} $. Применим основное свойство пропорции.

$ 13 \cdot 10 = 15 \cdot x $

$ 130 = 15x $

Выразим $x$:

$ x = \frac{130}{15} $

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:

$ x = \frac{26}{3} $

Этот результат можно также представить в виде смешанного числа $8 \frac{2}{3}$.

Ответ: $ x = \frac{26}{3} $

в) Дана пропорция $ \frac{12}{21} = \frac{x}{14} $. Для упрощения вычислений сначала сократим дробь в левой части уравнения. Числитель и знаменатель делятся на 3.

$ \frac{12}{21} = \frac{12 \div 3}{21 \div 3} = \frac{4}{7} $

Теперь пропорция имеет вид: $ \frac{4}{7} = \frac{x}{14} $.

Применим основное свойство пропорции:

$ 4 \cdot 14 = 7 \cdot x $

$ 56 = 7x $

Находим $x$:

$ x = \frac{56}{7} = 8 $

Ответ: $ x = 8 $

г) Дана пропорция $ \frac{48}{51} = \frac{x}{34} $. Сначала сократим дробь $ \frac{48}{51} $. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 3.

$ \frac{48}{51} = \frac{48 \div 3}{51 \div 3} = \frac{16}{17} $

Получаем пропорцию: $ \frac{16}{17} = \frac{x}{34} $.

Используем основное свойство пропорции:

$ 16 \cdot 34 = 17 \cdot x $

Выразим $x$:

$ x = \frac{16 \cdot 34}{17} $

Заметим, что $34$ делится на $17$ ( $ 34 \div 17 = 2 $ ). Сократим дробь:

$ x = 16 \cdot 2 = 32 $

Ответ: $ x = 32 $

55. а) $\frac{15}{x} = \frac{5}{8};$

б) $\frac{24}{x} = \frac{8}{7};$

в) $\frac{12}{x} = \frac{4}{5};$

г) $\frac{25}{x} = \frac{5}{7}.$

а)

Дано уравнение в виде пропорции: $\frac{15}{x} = \frac{5}{8}$.
Чтобы найти неизвестный член пропорции $x$, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов (или правило "крест-накрест").
$15 \cdot 8 = x \cdot 5$
$120 = 5x$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{120}{5}$
$x = 24$
Ответ: 24

б)

Дано уравнение в виде пропорции: $\frac{24}{x} = \frac{8}{7}$.
Применим основное свойство пропорции:
$24 \cdot 7 = x \cdot 8$
$168 = 8x$
Разделим обе части уравнения на 8, чтобы найти $x$:
$x = \frac{168}{8}$
$x = 21$
Ответ: 21

в)

Дано уравнение в виде пропорции: $\frac{12}{x} = \frac{4}{5}$.
Используем основное свойство пропорции:
$12 \cdot 5 = x \cdot 4$
$60 = 4x$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:
$x = \frac{60}{4}$
$x = 15$
Ответ: 15

г)

Дано уравнение в виде пропорции: $\frac{25}{x} = \frac{5}{7}$.
Воспользуемся основным свойством пропорции:
$25 \cdot 7 = x \cdot 5$
$175 = 5x$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{175}{5}$
$x = 35$
Ответ: 35

56. а) $\frac{3}{5} = \frac{7}{x}$;

б) $\frac{8}{7} = \frac{15}{x}$;

в) $\frac{7}{1} = \frac{12}{x}$;

г) $\frac{8}{1} = \frac{3}{x}$.

а) Чтобы решить пропорцию $\frac{3}{5} = \frac{7}{x}$, воспользуемся основным свойством пропорции (правилом креста), согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних. В данном случае получаем уравнение: $3 \cdot x = 5 \cdot 7$.

Выполним умножение в правой части: $3x = 35$.

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3: $x = \frac{35}{3}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x = 11 \frac{2}{3}$.

Ответ: $11 \frac{2}{3}$

б) Решим пропорцию $\frac{8}{7} = \frac{15}{x}$. Применим основное свойство пропорции: $8 \cdot x = 7 \cdot 15$.

Вычислим произведение в правой части: $8x = 105$.

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 8: $x = \frac{105}{8}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x = 13 \frac{1}{8}$.

Ответ: $13 \frac{1}{8}$

в) Решим пропорцию $\frac{7}{1} = \frac{12}{x}$. По основному свойству пропорции: $7 \cdot x = 1 \cdot 12$.

Упростим уравнение: $7x = 12$.

Найдем $x$, разделив обе части на 7: $x = \frac{12}{7}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x = 1 \frac{5}{7}$.

Ответ: $1 \frac{5}{7}$

г) Решим пропорцию $\frac{8}{1} = \frac{3}{x}$. Используя основное свойство пропорции, получаем: $8 \cdot x = 1 \cdot 3$.

Упростим уравнение: $8x = 3$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8: $x = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

57. a) $x : \frac{1}{2} = 3 : 5;$

Б) $x : \frac{2}{3} = 3 : 4;$

В) $x : 5 = 7 : \frac{1}{2};$

Г) $x : 6 = \frac{1}{3} : 8.$

а) Дана пропорция $x : \frac{1}{2} = 3 : 5$.
Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данной пропорции крайние члены – это $x$ и $5$, а средние члены – это $\frac{1}{2}$ и $3$.
Составим и решим уравнение:
$x \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 3$
$5x = \frac{3}{2}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{3}{2} : 5$
$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5}$
$x = \frac{3}{10}$
Ответ: $x = \frac{3}{10}$.

б) Дана пропорция $x : \frac{2}{3} = 3 : 4$.
Применим основное свойство пропорции: произведение крайних членов ($x$ и $4$) равно произведению средних членов ($\frac{2}{3}$ и $3$).
Составим и решим уравнение:
$x \cdot 4 = \frac{2}{3} \cdot 3$
$4x = 2$
Разделим обе части уравнения на 4:
$x = \frac{2}{4}$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

в) Дана пропорция $x : 5 = 7 : \frac{1}{2}$.
Согласно основному свойству пропорции, произведение крайних членов ($x$ и $\frac{1}{2}$) равно произведению средних членов ($5$ и $7$).
Составим и решим уравнение:
$x \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot 7$
$\frac{1}{2}x = 35$
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:
$x = 35 \cdot 2$
$x = 70$
Ответ: $x = 70$.

г) Дана пропорция $x : 6 = \frac{1}{3} : 8$.
По основному свойству пропорции, произведение крайних членов ($x$ и $8$) равно произведению средних членов ($6$ и $\frac{1}{3}$).
Составим и решим уравнение:
$x \cdot 8 = 6 \cdot \frac{1}{3}$
$8x = \frac{6}{3}$
$8x = 2$
Разделим обе части уравнения на 8:
$x = \frac{2}{8}$
$x = \frac{1}{4}$
Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

58. a) $14 : 15 = 3 : x;$

б) $12 : 29 = \frac{1}{58} : x;$

в) $12 : 25 = \frac{7}{15} : x;$

г) $144 : 125 = 1\frac{1}{2} : x.$

а)

Дана пропорция $14 : 15 = 3 : x$.

Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. В данном случае крайние члены — это $14$ и $x$, а средние — $15$ и $3$.

Составим уравнение:
$14 \cdot x = 15 \cdot 3$
$14x = 45$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $14$:
$x = \frac{45}{14}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:
$x = 3\frac{3}{14}$

Ответ: $3\frac{3}{14}$.

б)

Дана пропорция $12 : 29 = \frac{1}{58} : x$.

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$12 \cdot x = 29 \cdot \frac{1}{58}$

Упростим правую часть уравнения. Заметим, что $58 = 29 \cdot 2$.
$12x = \frac{29}{58}$
$12x = \frac{29}{29 \cdot 2}$
$12x = \frac{1}{2}$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на $12$:
$x = \frac{1}{2} : 12$
$x = \frac{1}{2 \cdot 12}$
$x = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$.

в)

Дана пропорция $12 : 25 = \frac{7}{15} : x$.

Применяем основное свойство пропорции:
$12 \cdot x = 25 \cdot \frac{7}{15}$

Упростим правую часть. Сократим $25$ и $15$ на $5$.
$12x = \frac{25 \cdot 7}{15}$
$12x = \frac{5 \cdot 5 \cdot 7}{3 \cdot 5}$
$12x = \frac{5 \cdot 7}{3}$
$12x = \frac{35}{3}$

Найдем $x$:
$x = \frac{35}{3} : 12$
$x = \frac{35}{3 \cdot 12}$
$x = \frac{35}{36}$

Ответ: $\frac{35}{36}$.

г)

Дана пропорция $144 : 125 = 1\frac{1}{2} : x$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Пропорция принимает вид: $144 : 125 = \frac{3}{2} : x$.

Применяем основное свойство пропорции:
$144 \cdot x = 125 \cdot \frac{3}{2}$
$144x = \frac{125 \cdot 3}{2}$
$144x = \frac{375}{2}$

Найдем $x$:
$x = \frac{375}{2} : 144$
$x = \frac{375}{2 \cdot 144}$
$x = \frac{375}{288}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя $3+7+5=15$ (делится на 3), сумма цифр знаменателя $2+8+8=18$ (делится на 3).
$x = \frac{375 : 3}{288 : 3} = \frac{125}{96}$

Выделим целую часть:
$x = 1\frac{29}{96}$

Ответ: $1\frac{29}{96}$.

59. Докажите, что если $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $, то:

а) $ \frac{d}{b} = \frac{c}{a}; $

б) $ \frac{d}{c} = \frac{b}{a}; $

в) $ \frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d}; $

г) $ \frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d}. $

а)

Нам дано, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Из основного свойства пропорции следует, что произведение крайних членов равно произведению средних: $ad = bc$.

Нам нужно доказать, что $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$. Применим к этому выражению то же свойство пропорции (перекрестное умножение): $d \cdot a = b \cdot c$, что эквивалентно $ad = bc$.

Поскольку равенство $ad = bc$ следует из начального условия, то и доказываемое равенство $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ является верным.

В качестве альтернативного доказательства, разделим обе части равенства $ad = bc$ на $ab$ (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$):

$\frac{ad}{ab} = \frac{bc}{ab}$

Сократив дроби, получаем:

$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$

Что и требовалось доказать.Ответ: Доказано.

б)

Исходное условие: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, что равносильно равенству $ad = bc$.

Требуется доказать: $\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$. Используем перекрестное умножение для этого равенства: $d \cdot a = c \cdot b$, или $ad = bc$.

Это то же самое равенство, которое мы получили из исходного условия. Следовательно, утверждение верно.

Для прямого доказательства разделим обе части равенства $ad = bc$ на $ac$ (при условии, что $a \neq 0$ и $c \neq 0$):

$\frac{ad}{ac} = \frac{bc}{ac}$

После сокращения дробей получаем:

$\frac{d}{c} = \frac{b}{a}$

Что и требовалось доказать.Ответ: Доказано.

в)

Пусть $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Из этого соотношения мы можем выразить $a$ и $c$:

$a = bk$

$c = dk$

Теперь подставим эти выражения в левую часть доказываемого равенства $\frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d}$:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk + dk}{b+d}$

Вынесем общий множитель $k$ в числителе:

$\frac{k(b+d)}{b+d}$

Сократив на $(b+d)$ (при условии, что $b+d \neq 0$), получаем $k$.

Правая часть равенства, которое мы доказываем, это $\frac{c}{d}$. По нашему определению, $\frac{c}{d} = k$.

Поскольку и левая, и правая части равенства равны $k$, то равенство $\frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d}$ верно.

Что и требовалось доказать.Ответ: Доказано.

г)

Используем тот же подход, что и в пункте в). Пусть $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$.

Тогда $a = bk$ и $c = dk$.

Левая часть доказываемого равенства $\frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d}$ равна $\frac{a}{b}$. По нашему определению, $\frac{a}{b} = k$.

Теперь рассмотрим правую часть:

$\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk + dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d}$

Сократив дробь на $(b+d)$, получаем $k$.

Так как обе части равенства равны $k$, они равны между собой: $\frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d}$.

Также можно заметить, что из условия $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ и доказанного в пункте в) равенства $\frac{a+c}{b+d} = \frac{c}{d}$, по свойству транзитивности следует, что $\frac{a}{b} = \frac{a+c}{b+d}$.

Что и требовалось доказать.Ответ: Доказано.

Решите пропорцию (60–61):

60. а) $ \frac{2x}{3} = \frac{4}{9} $;

б) $ \frac{3x}{5} = \frac{9}{10} $;

в) $ \frac{8}{15} = \frac{6x}{9} $;

г) $ \frac{12}{13} = \frac{18x}{39} $.

а)

Дана пропорция: $\frac{2x}{3} = \frac{4}{9}$.
Чтобы решить пропорцию, воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестное умножение): произведение крайних членов равно произведению средних.
$2x \cdot 9 = 3 \cdot 4$
$18x = 12$
Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 18:
$x = \frac{12}{18}$
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 18 равен 6.
$x = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$
Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

б)

Дана пропорция: $\frac{3x}{5} = \frac{9}{10}$.
Применим основное свойство пропорции:
$3x \cdot 10 = 5 \cdot 9$
$30x = 45$
Выразим $x$, разделив обе части уравнения на 30:
$x = \frac{45}{30}$
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 45 и 30 равен 15.
$x = \frac{45 \div 15}{30 \div 15} = \frac{3}{2}$
Этот ответ также можно записать в виде десятичной дроби $1.5$ или смешанного числа $1\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \frac{3}{2}$.

в)

Дана пропорция: $\frac{8}{15} = \frac{6x}{9}$.
Используем правило перекрестного умножения:
$8 \cdot 9 = 15 \cdot 6x$
$72 = 90x$
Найдем $x$:
$x = \frac{72}{90}$
Сократим дробь. Можно сокращать поэтапно, например, на 9, а затем на 2. Или найти наибольший общий делитель, который равен 18.
$x = \frac{72 \div 18}{90 \div 18} = \frac{4}{5}$
В виде десятичной дроби ответ равен $0.8$.
Ответ: $x = \frac{4}{5}$.

г)

Дана пропорция: $\frac{12}{13} = \frac{18x}{39}$.
По основному свойству пропорции:
$12 \cdot 39 = 13 \cdot 18x$
Чтобы найти $x$, выразим его из уравнения. Для удобства вычислений не будем сразу перемножать числа.
$x = \frac{12 \cdot 39}{13 \cdot 18}$
Теперь сократим дробь. Заметим, что 39 делится на 13 ($39 = 3 \cdot 13$).
$x = \frac{12 \cdot (3 \cdot 13)}{13 \cdot 18}$
Сокращаем на 13:
$x = \frac{12 \cdot 3}{18} = \frac{36}{18}$
Теперь разделим 36 на 18:
$x = 2$
Ответ: $x = 2$.

61. a) $ \frac{1}{5} = 2 : 3x $;

б) $ \frac{2}{7} = \frac{3}{4x} $;

B) $ \frac{21}{25} = \frac{49}{50x} $;

Г) $ \frac{16}{19} = 32 : 38x. $

а) $\frac{1}{5} = 2 : 3x$

Чтобы решить уравнение, сначала представим отношение $2 : 3x$ в виде дроби $\frac{2}{3x}$. В результате получим пропорцию:

$\frac{1}{5} = \frac{2}{3x}$

Теперь воспользуемся основным свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов (правило "крест-накрест"):

$1 \cdot 3x = 5 \cdot 2$

$3x = 10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{10}{3}$

Ответ: $x = \frac{10}{3}$.

б) $\frac{2}{7} = \frac{3}{4x}$

Данное уравнение уже представляет собой пропорцию. Применим основное свойство пропорции (умножение крест-накрест):

$2 \cdot 4x = 7 \cdot 3$

Выполним умножение в обеих частях уравнения:

$8x = 21$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 8:

$x = \frac{21}{8}$

Ответ: $x = \frac{21}{8}$.

в) $\frac{21}{25} = \frac{49}{50x}$

Применим основное свойство пропорции, перемножив члены крест-накрест:

$21 \cdot 50x = 25 \cdot 49$

Выразим $x$ из полученного уравнения:

$x = \frac{25 \cdot 49}{21 \cdot 50}$

Для упрощения вычислений сократим дробь. Разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители:

$x = \frac{5^2 \cdot 7^2}{3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5^2}$

Сократим одинаковые множители ($5^2$ и 7):

$x = \frac{7}{3 \cdot 2}$

$x = \frac{7}{6}$

Ответ: $x = \frac{7}{6}$.

г) $\frac{16}{19} = 32 : 38x$

Сначала представим отношение $32 : 38x$ в виде дроби $\frac{32}{38x}$. Пропорция примет вид:

$\frac{16}{19} = \frac{32}{38x}$

Заметим, что дробь в правой части можно сократить на 2:

$\frac{32}{38x} = \frac{16 \cdot 2}{19 \cdot 2 \cdot x} = \frac{16}{19x}$

Подставим упрощенную дробь обратно в пропорцию:

$\frac{16}{19} = \frac{16}{19x}$

Поскольку числители в обеих частях уравнения равны (16), для равенства дробей их знаменатели также должны быть равны:

$19 = 19x$

Разделив обе части на 19, найдем $x$:

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.